安徽省安師大附中2022年高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是13．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．4．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-25．已知向量與的夾角為，，，則()A． B．0 C．0或 D．6．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④7．若不相等的非零實數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．8．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．9．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．510．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-211．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．12．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.14．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.15．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為____16．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，．，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值.18．（12分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項的和，若，求．19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.20．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.21．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).（1）求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；（2）設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關(guān)于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).3．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．4．D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.5．B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，，，，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7．A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數(shù)，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應用，考查了學生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.8．D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.10．B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當時，有最大值，當時，有最小值.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．12．B【解析】，∴，選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由棱長為的正四面體求出外接球的半徑，進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因為，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.14．【解析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第個等式即可．【詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數(shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【點睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15．【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因為軸截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.16．【解析】

利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比為1．又，所以當時，有．這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）最大值為.【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進而可證得結(jié)論成立；（2）由可得出，并將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因為恒成立，且，，所以恒成立，即.因為，當且僅當時等號成立，所以，實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解，同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18．（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項公式；（2）由等差數(shù)列前項和公式求得，可求得．【詳解】解：（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得因為，所以解得，故．（2）由（1）得．所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得．【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前項和公式，解題方法是基本量法．19．（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.20．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結(jié)合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當時，，即，由得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一