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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.4.已知為實數(shù)集,,,則()A. B. C. D.5.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(shù)(上一年同月)變化圖表,則以下說法錯誤的是()(注:圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份;圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶)A.3月份四個城市之間的居民消費價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B.4月份僅有三個城市居民消費價格指數(shù)超過102C.四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費價格指數(shù)增長幅度波動較小D.僅有天津市從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢6.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則7.已知向量,(其中為實數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種9.已知函數(shù),將的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)保持不變;再把所得圖象向上平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.10.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.12.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點,,則球O的體積為______.14.已知,,,的夾角為30°,,則_________.15.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.16.在中,,,,則________,的面積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積18.(12分)對于很多人來說,提前消費的認(rèn)識首先是源于信用卡,在那個工資不高的年代,信用卡絕對是神器,稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買,甚至于分期買,然后慢慢還!現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的,從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人)經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中,按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取10人,然后,再從這10人中隨機(jī)選出4人贈送積分,求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率;②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取3人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設(shè)直線(為坐標(biāo)原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.20.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量,求的值.21.(12分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表:并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進(jìn)行體育鍛煉體會交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會交流的人中,隨機(jī)選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522.(10分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結(jié)合,分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當(dāng)時與有兩個交點,故只需當(dāng)時,與有一個交點即可.若當(dāng)時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.3.C【解析】
根據(jù),兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實數(shù)集,,,或,.故選:.【點睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法,考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.5.D【解析】
采用逐一驗證法,根據(jù)圖表,可得結(jié)果.【詳解】A正確,從圖表二可知,3月份四個城市的居民消費價格指數(shù)相差不大B正確,從圖表二可知,4月份只有北京市居民消費價格指數(shù)低于102C正確,從圖表一中可知,只有北京市4個月的居民消費價格指數(shù)相差不大D錯誤,從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選:D【點睛】本題考查圖表的認(rèn)識,審清題意,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.6.C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,也可以滿足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時,也可以滿足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時,能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時,也可以滿足,b∥,故本命題不正確.故選:C【點睛】本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.7.A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題考查平面向量的運算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.8.B【解析】
分三種情況,任務(wù)A排在第一位時,E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時,E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時,E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點睛】本題考查了排列組合問題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.9.C【解析】
利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡,然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域為,結(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域為.若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標(biāo),的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.10.B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.11.A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.12.C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解:,,,因為為的中點,所以為的外心,因為,所以點在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,屬于中檔題.14.1【解析】
由求出,代入,進(jìn)行數(shù)量積的運算即得.【詳解】,存在實數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
利用余弦定理可求得的值,進(jìn)而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了三角形面積的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】
(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點的極坐標(biāo)為,點的極坐標(biāo)為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題,考查計算能力,屬于中等題.18.(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān);(2)①;②分布列見解析,,【解析】
(1)計算再對照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】(1)由列聯(lián)表可知,,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).(2)①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有(人),偶爾或不用信用卡的有(人).則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機(jī)變量的分布列為:0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式等.屬于中檔題.19.(1)證明見解析(0,2);(2)存在,理由見解析【解析】
(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過定點(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過原點,故設(shè)由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.(2)由(1)知設(shè)由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,直線過定點問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.20.【解析】
由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣,,所以.矩陣的特征多項式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運算能力,是一道容易題.21.(1)能;(2)(i)男生有人,女生
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