高等數學同濟七版-第九章

lim x, A x, x,yx0,y0y重極limfx,yA是要求點x,y以任意方式趨于點x0y0時xyfx,y都趨于同一個常數A；否則該極限就是不存在.要掌握說明重極限limfxy不存在的經典方法：xy取不同路徑趨于點x0,y0時,limfx,y會有不同的xy或沿著某一路徑趨于點x0,y0時,limfx,y不存在xy唯一性；局部有界性；局部保號性極限值與無窮小的關系；無窮小與有界變量乘積仍為無窮四則運算法則；等價代換；轉化為一無窮小與有界變量乘積仍為無窮小 準則xyx1limx2y2sin limsinxy;3lim2xyx

x2

x0x2

x0

2y4 limfx,yfx0,y0xy注:1.二元函數fxy如果在x0y0處不連續(xù)是不討論x0y0是什么類型間斷點的若fxy在有界閉區(qū)域D上連續(xù)則fxy在D若fxy在有界閉區(qū)域D上連續(xù)則mfxyM若fxy在有界閉區(qū)域D上連續(xù)mM則fxy都可以取到

x,y

,x,y0,

x,yfx0x, , , 0 0fxx0,y0 0 0

fx,y0

xx

x

x fx,

lim

x0,

yfx0,y0limfx0,yfx0,y0

fx,

y

y

y

x,y

,x,y0,

x,yxy例5設fx,yxy ,則fxx,1 xyz

2

z

2xx

x,y,yx

fxyx,yz

2z

z

2z

f

x,y,

f

x,y 若fxyxy和fyxxy在某區(qū)域內連續(xù)則fxyxy=fyxxy

x2

:2

2

滿足方程

若全增量zfx0xy0yfx0y0可以表示為AxByo,zAxByo

,則稱zfxy在點xyAxBy稱為z

xy在點x0y0處的微分記為

x0,y0

Ax定理2:可微的必要條件）若函數zfxy在點xy處可微,則fxy在點xy處的兩個偏導數zz都存在,且dzzdxzdy.x 3

若函數zfxy的兩個偏導數zz都在點xy處連續(xù),則fx,y在點x,y 用定義判定可微（重要若fxx0y0與fyx0y0都存在,則考查重極fx0x,y0yfx0,y0fxx0,y0xfyx,yx2y也就是重極fx,yfx0,y0fxx0,y0xx0fyx,yyy0

是否為？y

是否為xx220 y0

x,y

,x,y0,

x,y例8函數zexy在點2,1處的全微分 x2

,x,y

x,y

y2

3x,y3

證明:fxy在00點處連續(xù)且偏導數存在但不可微分鏈式求導法設uux,y,vvx,y在點x,y處有對x,y的偏導數,z fu,v在對應點可微,zfufvfufv zfufvfufv 例1設zeusinv而uxyvxyz和z 例2設ufxyzex2y2z2而zx2siny求z和z 例3設ufuvtuvsint而uetvcostdu 2例4設wfxyzxyz,fx及xz例5設zf 具有二階連續(xù)導數,

,2z

2z 2z ,f例6設z

uxyuxey,f

2z

2,

且

fx,fxxd3x

.

隱函數存在定理設Fxy有連續(xù)一階偏導數,且Fy0,則Fxy0確定yydy 隱函數存在定理設Fxyz有連續(xù)一階偏導數且Fz0,則Fxyz0確定zzxy，且zFx， F

F Fx,y,u, 設uux,y,vvx,y有方程組 0FFuFv u v

x,xG

v 例1設sinyexxy20,dy 例2設2sinx2y3zx2y3z證明zz 例3設xxyzyyxz,zzxy都是由方程Fxyz所確定的具有連續(xù)偏導數的函數,證明xyz 例4設uv具有連續(xù)偏導數,證明由方程cxazcybz所確定的函數zfxy滿足azbz yuxv 例5設xu yuxv 在P0x0y0的某鄰域內,對該鄰域內任何異于點P0x0y0的點x,yfxyfx0y0或fxyfx0y0則稱點P0x0y0是fxy例已知函數fx,y在點00的某個鄰域內連續(xù),且

fx,y2

1, A點00不是fxyB點00是fxyC點00是fxy

x2D根據所給條件無法判斷00是否為fx,y設函數zfxy在x0y0處存在偏導數fxx0y0和fyx0y0且在x0y0處取極值,則fxx0y00,fyx0y0設函數zfx,y在x0y0且fxx0y00,fyx0y00,記fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C, 若B2AC0,則xy是fxy的極值點 A0時,x0y0為fxy的極小值點；A0時,x0y0為fx,y的極大值點.若B2AC0,則x0y0不是fxy若B2AC0,則x0y0可能是也可能不是fxy例2求函數fxy=x3y33x23y29x例2求函數fxy=x3y33x23y29x例2004年數一設zzxy由方程x26xy10y22yzz2180確定求zzxy的極值求zfxy在條件xy0下的最值（1）構 日函數Fx,y, （2）列方程組Ffx,yx,y

解上述方程組，4根據實際問題所得即所求.上述方法可推廣:求三元函數z

x,y,z在約

y,

0yz

下的最值

y,

例1求函數uxyz1111xyza0下的最值 zx2例2008年數二）求函數ux2y2z2在約束條件 下的最值xyz求連續(xù)函數zfx,y在有界閉區(qū)域D求fx,y在求fx,y在D例1設有一圓板占有平面閉區(qū)域Dx2y21,該圓板被加熱,以至在點xy溫度是Tx22y2x.xxt空間曲線以參數形式給出yyt,tzzt其對應的切向量xtytzt空間曲線以一般式給出

Fxyz0其對應的切向量=nnGx,y,z x例1求曲線yt

在點1,1,1處的切線及法平面方程 zt x2y2z2 在點1,2,1處的切線及法平面方程 xyz曲面以顯示給出zzxy其對應的法向量nzxzy例3求曲面x2y2z214在點12,3處的切平面及法線方程例4求曲面zx2y21在點2,14處的切平面及法線方程例5設函數fxy在點00的某鄰域內有定義,且fx0,03,fy001,Adz0,03dxB曲面zfxy在點0,0,f00的一個法向量為3yC曲線zfxy在點0,0,f00yyD曲線zfxy在點0,0,f00y

P t

ux0tcos,y0tcos,z0tcosux0,y0,z0t若uuxyz在點P0x0y0z0可微則uuxyz在點P0x0