風(fēng)險(xiǎn)限制下的最優(yōu)動(dòng)態(tài)交易策略

風(fēng)險(xiǎn)限制下的最優(yōu)動(dòng)態(tài)交易策略經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)近年作為用來(lái)測(cè)量和控制交易組合風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工具出現(xiàn)。然而，交易者受VaR限制的的現(xiàn)有理論分析的最優(yōu)行為產(chǎn)生了一個(gè)作為風(fēng)險(xiǎn)控制工具的關(guān)于VaR的負(fù)面的看法。特別是在一些國(guó)家VaR限制已被發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)暴露的增加和極端損失概率的增加。然而，這些結(jié)論是基于靜態(tài)模型或動(dòng)態(tài)模型是不一致的。在本文中我們制定了一個(gè)受VaR限制的動(dòng)態(tài)一致的模型的最優(yōu)投資組合選擇，并且表明在早期論文中所表達(dá)的擔(dān)心不被適用，始終與常見(jiàn)的做法，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值限制被動(dòng)態(tài)地重新評(píng)估。特別是，我們發(fā)現(xiàn)，-個(gè)受風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型限制的交易者的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)暴露總是要比一個(gè)無(wú)約束的交易者的風(fēng)險(xiǎn)暴露低，而且極端虧損的概率也較低。我們也考慮到風(fēng)險(xiǎn)限制表示在尾部條件期望TCE),—致性風(fēng)險(xiǎn)度量往往被主張作為VaR的一種替代。并且表明在我們的動(dòng)態(tài)設(shè)定中，把TCE限制轉(zhuǎn)變成一個(gè)等價(jià)的VaR限制往往是可能的，反過(guò)來(lái)也可以。主題分類(lèi)：投資，管理，證券投資組合涉及領(lǐng)域：金融歷史記錄：2006年2月收；2006年12月，2007年1月得到修正；2007年1月接受；2007年9月21日提前在文章上發(fā)表1.介紹投資企業(yè)通常通過(guò)對(duì)交易的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)上施加限制來(lái)限制其交易員的自由交易。因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)作為風(fēng)險(xiǎn)度量近年來(lái)得到了廣泛普及，這些限制往往頻繁的由VaR指定，如上,Jorion(2001,p.379)所述，“在商業(yè)區(qū)或單位，VaR可以用來(lái)確定交易者的頭寸限制并決定如何分配有限的資本資源。VaR的一大優(yōu)點(diǎn)是，它創(chuàng)建了一個(gè)共同標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可以用來(lái)比較不同的冒險(xiǎn)活動(dòng)。傳統(tǒng)上，頭寸限制依據(jù)名義風(fēng)險(xiǎn)來(lái)設(shè)定。舉個(gè)例子，一個(gè)交易者可能有一個(gè)一千萬(wàn)的五年期國(guó)債的隔夜頭寸的限制。然而這個(gè)相同的限制對(duì)于三十年國(guó)債或者國(guó)債期貨只具有更大的風(fēng)險(xiǎn)。因此在名義頭寸限制不具有直接可比性單位。相反,VaR提供了一個(gè)共同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較各種資產(chǎn)類(lèi)別，并且可以作為指導(dǎo)去為業(yè)務(wù)單位制定頭寸限制?！彼鼤?huì)很清楚在下面的分析中，我們考慮把風(fēng)險(xiǎn)限制很自然地轉(zhuǎn)變成頭寸限制，考慮到頭寸的風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益。(見(jiàn)備注2和3)。VaR的流行是至少因?yàn)橛幸徊糠值氖聦?shí)，它是一個(gè)很容易理解的風(fēng)險(xiǎn)度量：特別是在一個(gè)給定的置信水平下，VaR是投資組合的最大損失。盡管在它被廣泛使用，VaR也廣為人知具有不吸引人的特征。Artzner等人(1999)通過(guò)識(shí)別合理的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度應(yīng)該滿(mǎn)足的四個(gè)屬性，并且通過(guò)提供一個(gè)滿(mǎn)足這些屬性的風(fēng)險(xiǎn)界定方法,提出了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量的公理基礎(chǔ)，被稱(chēng)作是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量Folmer和Schied(2002)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的概念，這是一個(gè)對(duì)一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的概念的延伸(參見(jiàn)Frittelli和RosazzaGianin2002)。眾所周知，VaR即是不相關(guān)也不是凸風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。這已經(jīng)引起Artzner等人(1999)提出的尾部條件期望(TCE)方法的使用，這種方法被定義為上述VaR損失的條件期望，作為一種替代VaR的測(cè)度方法。TCE是技術(shù)條件下風(fēng)險(xiǎn)分布下的一個(gè)連貫的凸風(fēng)險(xiǎn)度量oDelbaen(2000,2002)，F(xiàn)olmer和Schied(2004)提供了靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的詳細(xì)調(diào)查，其中包括其他一致性和凸風(fēng)險(xiǎn)度量的例子。最近靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度已經(jīng)延伸到了動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度Artzner等人(2003)，Cheriditoet等人(2004,2005,2006),Detlefsen和Sc和olo(2005),Weber(2006),Follmer和Penner(2006)。在本文中我們的關(guān)注點(diǎn)是基于VaR或者TCE風(fēng)險(xiǎn)限制下的交易者的動(dòng)態(tài)投資組合的選擇。這個(gè)問(wèn)題在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中還沒(méi)有得到完整的解決方案。Ahn等人(1999)研究了一個(gè)給定的使用股票看跌期權(quán)的股票暴露的VaR的靜態(tài)最小化。 Alex和er，Baptista(2002),Huisman等人(1999),Kast等人(1999),和Vorst(2001),他們注重基于靜態(tài)(一期)設(shè)定下的VaR約束的投資組合的預(yù)期收益最大化問(wèn)題，而Rockafellar和Uryasev(2000)考慮靜態(tài)設(shè)定下TCE的最小化問(wèn)題。?)基于風(fēng)險(xiǎn)限制的投資組合選擇的分析是包括動(dòng)態(tài)交易的第一個(gè)延伸Emmer等人(2001)，Basak和Shapiro(2001)。Emmer等人(2001)考慮了交易者面臨VaR約束的連續(xù)交易的模型。然而，因?yàn)榉治龅囊滋幚硇?，他們僅僅考慮保持固定的投資組合權(quán)重的策略：這降低了它們的問(wèn)題到了一個(gè)靜態(tài)問(wèn)題，導(dǎo)致一個(gè)動(dòng)態(tài)的不一致的交易策略。Basak和Shapiro(2001)考慮了下邊的靜態(tài)的最優(yōu)問(wèn)題：supElu(W)]TELWJ<W,PW-W」<WrPW-W>VA^」<a /1X0T (1)此處u是交易者的效用方程,T>0是投資水平線(xiàn)(這個(gè)水平線(xiàn)被認(rèn)為和VaR的水平線(xiàn)相一致)，Wt(W0)是末端投資組合值(初始投資組合值)，￡t是T時(shí)刻的指定價(jià)格，1-a是可選的置信水平，VaR>0是VaR的限制。模型(1)中的第一個(gè)約束條件時(shí)通常的預(yù)算約束，第二個(gè)約束相當(dāng)于投資組合VaR，而不是單個(gè)VaR約束。在模型(1)中，這個(gè)問(wèn)題被解釋在一個(gè)有著連續(xù)交易的完整的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，基于VaR約束動(dòng)態(tài)證券投資問(wèn)題的靜態(tài)規(guī)劃。令e滿(mǎn)足PT>￡二a，Basak和Shapiro(2001)指出無(wú)論什么時(shí)候，這個(gè)約束都是有約束力的，在某些國(guó)家，被迫減少投資組合損失來(lái)滿(mǎn)足VaR約束的交易削將通過(guò)增加“昂貴的國(guó)家”投資組合損失來(lái)優(yōu)化選擇來(lái)進(jìn)行資助這些減少的損失，此時(shí)￡T>￡。因?yàn)檫@些國(guó)家已經(jīng)具有無(wú)約束最優(yōu)策略下的最低終端組合價(jià)值，VaR約束導(dǎo)致的分布的尾部留下一個(gè)育肥終端產(chǎn)品組合的價(jià)值。（例如，極端損失的概率增加）。這使得Basak和Shapiro（2001）得出結(jié)論：VaR風(fēng)險(xiǎn)管理被許多人視為一種工具，使經(jīng)濟(jì)主體免于巨額虧損，當(dāng)巨額虧損發(fā)生時(shí)，可能導(dǎo)致信用和償付能力問(wèn)題。但是，我們的解決方案表明，當(dāng)一個(gè)大的損失發(fā)生時(shí)，它又是下一個(gè)大的VaR風(fēng)險(xiǎn)管理下的損失，因此更容易導(dǎo)致信貸問(wèn)題，擊垮使用VaR風(fēng)險(xiǎn)管理的目的。Basak和Shapiro（2001）也發(fā)現(xiàn)了在模型（1）中的VaR約束導(dǎo)致交易者在某些情況下比在沒(méi)有這個(gè)約束下更多地投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn):持有風(fēng)險(xiǎn)增加有必要意識(shí)到“昂貴的國(guó)家”的損失的增加。最后Basak和Shapiro（2001）報(bào)告了對(duì)于建立在風(fēng)險(xiǎn)下的尾部期望的風(fēng)險(xiǎn)限制將導(dǎo)致既不是極端的損失的增加，也不是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)分配的增加:因此，出于風(fēng)險(xiǎn)控制的目的，建立在尾部期望的測(cè)度應(yīng)該優(yōu)先于建立在分位點(diǎn)上的測(cè)度（例如VaR）。然而，模型（1）的問(wèn)題作為基于風(fēng)險(xiǎn)限制下交易者的動(dòng)態(tài)投資組合決策的模型有一些缺點(diǎn)。第一，我們認(rèn)為在初始數(shù)據(jù)后，投資組合的VaR從來(lái)沒(méi)有被重新估值:因此，在規(guī)定的VaR的最大值下投資組合損失的條件概率為零，而交易者被允許繼續(xù)遵循他的交易策略。這個(gè)假設(shè)是極端的:事實(shí)上，大多數(shù)金融機(jī)構(gòu)為了內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)控制使用VaR至少每天重新估值。第二，因?yàn)閂aR約束僅僅在初始數(shù)據(jù)中應(yīng)用，交易策略是動(dòng)態(tài)的前后不一的，且必定被解釋為委托方法:另外，交易者會(huì)發(fā)現(xiàn)，在初始日期后，最優(yōu)投資策略會(huì)瞬間恢復(fù)到無(wú)約束的最優(yōu)投資策略，VaR約束將永遠(yuǎn)不會(huì)失去其約束力。第三，模型（1）的公式假定投資組合的VaR在所有未來(lái)不可預(yù)見(jiàn)事件下完全了解投資者的投資策略的條件下計(jì)算出來(lái)。此外，這個(gè)假設(shè)是極端的，它不符合事實(shí)的實(shí)踐情況Jorion（2001,p.107））提出在存在投資組合在VaR水平線(xiàn)上保持不變的假設(shè)下，VaR算出來(lái)是一個(gè)常數(shù)。在文章中，第一個(gè)貢獻(xiàn)就是形成了一個(gè)更為實(shí)際的基于風(fēng)險(xiǎn)約束的交易者最優(yōu)行為的動(dòng)態(tài)一致的模型。與Basak和Shapiro（2001）不同，我們認(rèn)為投資組合交易的風(fēng)險(xiǎn)是動(dòng)態(tài)的不斷連續(xù)重新估值的:因此，交易者必須始終滿(mǎn)足特定的風(fēng)險(xiǎn)限制，而不是僅僅滿(mǎn)足初始日期的風(fēng)險(xiǎn)限制。另外，我們?cè)谀Ｐ椭凶龀龅娘L(fēng)險(xiǎn)估計(jì)和通過(guò)假設(shè)的實(shí)踐是相一致的，假設(shè)就是當(dāng)估計(jì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，在假設(shè)當(dāng)前的投資組合保持在水平線(xiàn)上不變的情況下計(jì)算投資組合在選擇的水平線(xiàn)下的分布。在完全的動(dòng)態(tài)設(shè)定下，我們也允許風(fēng)險(xiǎn)限制作為投資組合價(jià)值和時(shí)間的函數(shù)來(lái)變化，并且在這個(gè)限制的可選擇的功能的規(guī)格下檢查最有投資策略的行為。為了技術(shù)的便利，我們把我們自己限制在對(duì)數(shù)正態(tài)分布回報(bào)的情況下。當(dāng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)通VaR來(lái)測(cè)量，在上邊所描述的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)約束下，最優(yōu)交易行為顯著不同于靜態(tài)VaR約束所意味的交易行為，這使得VaR成為作為風(fēng)險(xiǎn)控制工具的更為有利的評(píng)估。事實(shí)上，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的合適的分配總是低于沒(méi)有VaR約束時(shí)的分配，且發(fā)生極度損失的概率從來(lái)不會(huì)高于沒(méi)有VaR約束時(shí)的概率。就像Basak和Shapiro(2001)，我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)投資策略仍表現(xiàn)為兩基金分離形式(這兩個(gè)基金是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和瞬時(shí)均值方差有效投資組合)。即使VaR限制允許的交易組合值的變化有所不同，這一結(jié)果是真的。因此，動(dòng)態(tài)VaR約束不會(huì)扭曲風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合的組成：相反，它只是影響到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)和高風(fēng)險(xiǎn)基金相對(duì)的分配量。我們也考慮到基于TCE約束的交易者最優(yōu)行為，并證明在我們的設(shè)定下，TCE約束和VaR約束是兩個(gè)等價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)控制工具：具體而言，給定一個(gè)動(dòng)態(tài)的TCE約束，它總是能夠識(shí)別會(huì)產(chǎn)生相同的最優(yōu)交易策略的動(dòng)態(tài)VaR限制(不管交易者的偏好)，且反過(guò)來(lái)也成立。這是真實(shí)的，盡管事實(shí)上，TCE是一種相干風(fēng)險(xiǎn)度量，但是VaR約束不是，結(jié)果事實(shí)上，VaR不是次可加性的，是共單調(diào)可加的。同單調(diào)性因?yàn)樽鳛閮苫鸱蛛x的結(jié)果的最優(yōu)投資組合自然產(chǎn)生。對(duì)于在風(fēng)險(xiǎn)約束下的關(guān)于動(dòng)態(tài)投資組合選擇問(wèn)題做出更多地的文獻(xiàn)這件事上，Gundel和Weber(2005a,2005b)做出了很大的貢獻(xiàn)，他們分別解決了在完全和不完全的市場(chǎng)下，基于效用的短缺風(fēng)險(xiǎn)約束。這些文章通過(guò)考慮有著由Gilboa和Schmeidler(1989)引進(jìn)的效用方程的一般半鞅模型問(wèn)題延伸了Basak和Shapiro(2001)的觀(guān)點(diǎn)。另外，Gundel和Weber(2005a,2005b)提供了在論文中一個(gè)解的存在性的證明過(guò)程。這個(gè)證明在Basak和Shapiro(2001)論文中是沒(méi)有的，他們簡(jiǎn)單的猜測(cè)這個(gè)解在一個(gè)非常特殊的市場(chǎng)環(huán)境下才能得出?；谛в枚倘钡娘L(fēng)險(xiǎn)限制比在其沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)限制下有著更小的風(fēng)險(xiǎn)，但需要一個(gè)投資者的承諾。到目前為止，它沒(méi)有被用于實(shí)際應(yīng)用。Cuoco和Liu(2006)的研究，在本文的方法中，一個(gè)受最低資本要求金融機(jī)構(gòu)聯(lián)合報(bào)告和投資問(wèn)題確定了自我報(bào)告的VaR方法的基礎(chǔ)。最后，Pirvu和力tkovi'c(2006)探討在VaR、TCE和有限的預(yù)期損失下的生長(zhǎng)速率最大化的遍歷性問(wèn)題。作者假設(shè)隨機(jī)市場(chǎng)系數(shù)并運(yùn)用我們的方法來(lái)動(dòng)態(tài)地評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)。要完成文獻(xiàn)回顧，我們列舉關(guān)于調(diào)查的VaR調(diào)控對(duì)價(jià)格的影響的文章。Basak和Shapiro(2001)使用靜態(tài)設(shè)定下的投資組合選擇問(wèn)題找到的VaR約束的均衡影響。Berkelaaretal.(2005)進(jìn)行了類(lèi)似的分析并且估計(jì)波動(dòng)率微笑。在相關(guān)的經(jīng)濟(jì)設(shè)定下，Danielssonetal.(2004)考慮單期一般均衡的經(jīng)濟(jì)體的序列。這個(gè)設(shè)置是靜態(tài)的，作者忽略了來(lái)自跨期避險(xiǎn)

需求和那些有限的投資期限的重要影響。最后Leippoldetal.（2006）研究了當(dāng)投資者動(dòng)態(tài)重新評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的市場(chǎng)均衡。投資者的這種行為是基于我們對(duì)反饋分析修改對(duì)價(jià)格的影響。把模型延伸到到隨機(jī)投資機(jī)會(huì)的設(shè)定下是有趣的。類(lèi)似的任務(wù)是pirvu和力tkovi'C（2006）提出的的增長(zhǎng)率最大化問(wèn)題。作者認(rèn)為，在任何時(shí)間t,對(duì)于以后t+1時(shí)刻在假設(shè)市場(chǎng)系數(shù)保持當(dāng)前價(jià)值下恒定的前提下的交易者財(cái)富投影分布被評(píng)估。Pirvu和力tkovi'c（2006）表明當(dāng)滿(mǎn)足風(fēng)險(xiǎn)限制時(shí)交易者在任何狀態(tài)都持有一個(gè)較小的風(fēng)險(xiǎn)暴露。同樣的簡(jiǎn)化假設(shè)可以在我們的模型中采用并將其擴(kuò)展到一個(gè)隨機(jī)的投資機(jī)會(huì)集和下。因?yàn)檫@個(gè)擴(kuò)展并不影響我們的主要結(jié)論，我們避免它保持可追蹤性。在沒(méi)有以上假設(shè)的情況下，目前隨機(jī)市場(chǎng)T系數(shù)的分析變得更加復(fù)雜。然而，如果風(fēng)險(xiǎn)重新評(píng)估的頻率很高（是小的），那么鑒于市場(chǎng)系數(shù)是足夠光滑，這些系數(shù)可以近似在時(shí)間間隔Lt+/通過(guò)在時(shí)間t和上述擴(kuò)大它們的值適用。本文的其余部分安排如下。第2節(jié)描述了我們的模型。第3節(jié)中包含的VaR約束的最優(yōu)交易策略的主要表征結(jié)果。第4節(jié)提供了一些明確的CRRA效用的例子。5節(jié)考慮了TCE約并束條件下，建立了等價(jià)的結(jié)果。第6節(jié)結(jié)束語(yǔ)。所有的證據(jù)都附有電子版，是可提供的在線(xiàn)版本，可以在/中找到。2.模型我們考慮在有限范圍k丫］的一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)經(jīng)濟(jì)。不確定性是由一個(gè)過(guò)濾的概率空間°，F(xiàn)卩，P）表示，這里F J是貨幣市場(chǎng)帳戶(hù)賺取恒定連續(xù)復(fù)利，利率r>0。另一個(gè)資產(chǎn)n（股票）是有風(fēng)險(xiǎn)的，且其價(jià)格過(guò)程S（包括再投資股息）是一個(gè)有著漂移向量r1+卩和擴(kuò)散矩陣&的n維幾何布朗運(yùn)動(dòng)。=s+JtIs(r1+u)d+JtIs5dw1=c，…"。不失一般性，我們0 01=c，…"。不失一般性，我們這里弋表示nxn的對(duì)角線(xiàn)上元素為st的對(duì)角矩陣且假設(shè)1-n-d且rankC）=n。債券和股票的交易持續(xù)發(fā)生，并且是無(wú)摩擦。W>0交易商被賦予在時(shí)間為零時(shí)初始財(cái)富為0 。他選擇一個(gè)適應(yīng)n維投資組合權(quán)重的過(guò)程兀t。這個(gè)過(guò)程是自我融資使價(jià)值關(guān)聯(lián)過(guò)程滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)預(yù)算約束W冗=W+JtW冗（r+兀tu）d+Jtw冗兀t5dwt 0 0S Ss0sSs我們假設(shè)過(guò)程兀t是被容許的，并且兀eA，如果（）和過(guò)程滿(mǎn)足0,0?t?T。接著(2)有VWw=VW兀t+T texp(Jt+t(r+兀tu-—壯tc2)d+ft+t兀tqdw)t s2S sVWw=VW兀t+T t對(duì)于任何T>0。對(duì)于給定的T>0,W>0和兀GRn,令t+TtW(w+兀)=Wexpr+兀tu—t+Tt緊隨（3）后，給定一個(gè)投資組合兀，在t時(shí)刻相關(guān)的投資組合價(jià)值為W兀，如果投資組合權(quán)重在t至卩+T時(shí)間段保持不變，則隨機(jī)變量wt+T tt'將成為在時(shí)刻t+T的投資組合的未來(lái)值。對(duì)于一個(gè)給定的置信水平1-aG（0,1）和一個(gè)給定的水平線(xiàn)合權(quán)重在t至卩+T時(shí)間段保持不變，則隨機(jī)變量wt+T tt'將成為在時(shí)刻t+T的投資組合的未來(lái)值。對(duì)于一個(gè)給定的置信水平1-aG（0,1）和一個(gè)給定的水平線(xiàn)T>0，投資組合兀GA在t時(shí)刻的*為""人t%且被定義為 ( ) )1( )VaRa,"=inf11>0:Pw"—ww",">L丿<a)='Qa,"Ct+Tt(t 、t t[—wV"," —w"<LE<a二t是投影組合收益在區(qū)間這里Qta,w=SUPt t+T tt tL,t+」的分位數(shù)，且x-=maxb,-x］表示實(shí)數(shù)x的負(fù)部。換句話(huà)說(shuō)，VaRa兀是損失超過(guò)長(zhǎng)度T的下一個(gè)階段，這將僅a（小）條件概率超出，如果目前組合中保持兀不變。事實(shí)上,VaRa兀的計(jì)算是在當(dāng)前的投資組合保持不變，反映實(shí)際和事實(shí)即金融機(jī)構(gòu)監(jiān)測(cè)他們的交易t員通常不知道在VaR的水平線(xiàn)上交易者的未來(lái)的投資組合選擇的假設(shè)下下進(jìn)行的。相反,在（4）中VaR的測(cè)度只需要了解現(xiàn)有的投資組合價(jià)值的，目前的投資組合，與資產(chǎn)收益率的條件分布。類(lèi)似的，一個(gè)投資組合兀GA的TCE約束被定義為T(mén)CEa，兀t t+T tt這里x+=maxb,x］。換句話(huà)說(shuō)，投資組合的TCE約束的損失超過(guò)條件期望值的"°：，"。鑒于我們的資產(chǎn)收益對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，無(wú)論是投資組合的VaR還是TCE的，都可以明確計(jì)算。命題1.我們有Vapa，兀=w"|1-exp((r+"tu-—"tg2)t+N-itTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)rTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)r)-tta這里N°）和N-1（x）表示正態(tài)分布的逆分布函數(shù)。特別是,0<vapa，兀<TCLa，兀<w兀t t t和vapa,0二TCEa,0二0t t證明參見(jiàn)在線(xiàn)附錄。3.VaR約束下的最優(yōu)交易策略W現(xiàn)在考慮初始基金為03.VaR約束下的最優(yōu)交易策略W現(xiàn)在考慮初始基金為0父易者白E投資組合交，的終端值的預(yù)期效用上風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaRta“不大于某些預(yù)先設(shè)定的水平是嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凹，連續(xù)可微、區(qū)域 dom（u）WeR:u（W）>-g lim u,（W）=0lim u,（W）=s= d的內(nèi)部，滿(mǎn)足Inada條件 wt0 , wtwW:二infWeR:u（W）>—g}u o必須選擇一個(gè)投資組合兀eA以便最大化的眄在任何時(shí)間teb，T［投資組合的t丿n0t 。我們假設(shè)效用函數(shù)u:R對(duì)于交易者所面臨的投資組合選擇問(wèn)題是如下:supElu（W）］Ts.t.W兀二W00VaR”<VaR”<VARtt teb,T]備注?因?yàn)槲覀兗俣╒aRtlog1r+備注?因?yàn)槲覀兗俣╒aRtlog1r+兀TU 兀TQt2t—N—(ahtqv't<0注意到在（10）中我們?cè)试SVaR約束在時(shí)間t依賴(lài)于日程表時(shí)間和投資組合的當(dāng)前值兀,t>0,跟從（9）集合兀=0（也就是說(shuō)，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券t t投資一切）總是滿(mǎn)足VaR約束。因此，可行的交易策略的集合是非空的。備注2.在（6）中VaR的表達(dá)意味著投資組合兀滿(mǎn)足約束條件VaRa貝<VaRt在單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（n=1）的情況下，它可以很容易地驗(yàn)證（11）相當(dāng)于分配給風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)<K<K+t t的比例兀t的上限和下限:兀<K<K+t tt此時(shí)

兀土(w,t)=/\二<T±N兀土(w,t)=/\二<T±N-i(a)±|(二&土N-1(a))2冏 \同宀, 4vapC,t)、—2log1- ^w(Iw丿、+-rT‘11n>1和2。如果n>l和a‘11n>1和2。如果n>l和a>2,設(shè)這個(gè)不等式以后是很自然的。+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\2t丿t一N-1(a)kto豳<0導(dǎo)致了最優(yōu)交易策略如下特征。1定理1?假設(shè)a<2且令v（w,t）=supEf為隨機(jī)控制問(wèn)題（13）表示值函數(shù)。定義/ I|k療+N-1（a）+i|k卜'T+N-1（a》這里k=aTCoJ1卩。那么，決Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程兀=wT箱f皿t)八'-2log1 -rTq+(W,t)>0a對(duì)于所有的（w，t）e（0,"）xb,T］和v，解-1-V^|kI2+vw+v2v" wrtwww2vkQ+wwa2+vw(r+\k|2Q+)+vw a tvw—WQ+wvawwotherwise而且與終端條件v（w，t）=u（w）最后，令v(w,t) / .n—―-,q+(w,t)wv(w,t)aww兀+(w,t)=Q(w,t)CjtLuQ(w,t)二mi解決(13)。證明參見(jiàn)在線(xiàn)附錄。備注3。方程(18)表明，VaR約束代理人的最優(yōu)投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與均值方差有效投資組合^aT1卩的一個(gè)組合。因此，隨著資產(chǎn)收益對(duì)數(shù)正態(tài)分布，VaR約束影響無(wú)風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間叫最優(yōu)投資組合的分配，但不影響風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合的組成。在(14)中方程t丿可確定在VaR約束下，t時(shí)刻投資于均值方差有效組合的財(cái)富的最大比例(正如定理1的證明，缺失均值方差有效組合從來(lái)都不是最優(yōu)的)。定理1的結(jié)果也使我們能夠計(jì)算出最優(yōu)交易策略下的終端組合價(jià)值的分布。推論1.令P血't)表示W(wǎng)兀*的密度函數(shù)。那么，p解決Kolmogorov前向方程3p=1。2S卜p(M“打dt 23w2 9」3w初始條件p(W，0)=§W-%),此處9在方程(17),8表示Dirac'sde方程。證明.參見(jiàn)Karatzas和Shreve(1988)。4.CRRA效用的例子我們專(zhuān)注我們的模型通過(guò)假設(shè)對(duì)于任何何〉0，uW)=W_丫)。我們記得，在沒(méi)有VaR約束時(shí),V有VaR約束時(shí),V（W,t）二ep（T一tfW%_丫）"，此時(shí)Tfr+\/WeTfr+\/We和標(biāo)準(zhǔn)偏差為W0e‘兀*（w,t）= （8T）-1UrWk* We因此，從(3)和(20)，終端投資組合的價(jià)值Wt是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且均值為"oe為了進(jìn)一步了解VaR約束的最優(yōu)交易策略的影響，我們考慮下面的函數(shù)VaR血'"三種可供選擇的規(guī)格，其確定在任何時(shí)候te^0,t)的最大允許風(fēng)險(xiǎn)。，從備注3和(20)注意到,<inf 9+(w,t)當(dāng)且僅當(dāng)r(w,t比(o,8以亦］a ，給定的VaR約束是沒(méi)有約束力的。此外，從(18)和(20)可知，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的最優(yōu)投資組合是無(wú)約束的最優(yōu)投資組合的倍數(shù)。q^"'t)=丫9血，t)參照Basak和Shapiro(2001)的術(shù)語(yǔ)(2001)，我們將把這個(gè)倍數(shù)作為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露。特別是，我們?cè)诮K端的日期的邊界條件(16)得到它。

qW,t)二mini,旳+(W,t山1a在解析解不可用的情況下，我們通過(guò)改寫(xiě)狀態(tài)變量w=log^W）來(lái)數(shù)值化地解決了偏微分方程（15），然后應(yīng)用顯式有限差分方法（詳見(jiàn)Kushner和Dupuis1992）。這使我們能* w兀*夠從（18）獲得最佳的交易策略兀。由于應(yīng)用有限差分法近似的狀態(tài)變量 和一個(gè)馬爾W兀*可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率，我們使用這些過(guò)渡概率計(jì)算終端投資組合值Wt的分布。這種方法產(chǎn)生的結(jié)果和通過(guò)用有限差分法求解Kolmogorov方程（19）所得到的結(jié)果的相似。所有的數(shù)值計(jì)算，假設(shè)r=0.008,k=0.37,a=0.01,t=”1%。，T=10,Y=0.5或者丫=5,W=1。此外，我們縮放函數(shù)VaR（W,t），以使VaR（W,t）=0.05（這相當(dāng)于設(shè)置下0邊例子中0=0.05）4.1.VaR（W,t）=0我們首先考慮的恒定風(fēng)險(xiǎn)限額的情況下：VaR血‘。在這種情況下，函數(shù)ea■是tlime+(wlime+(w,t)=wl0alime+(w,t)=Iawd+gN-1(a)+1；'(|托+N一1=0.000582因此，VaR約束是有約束力的當(dāng)Y<%.000582=1,717.8，否則是不具有約束力的。計(jì)算1曲線(xiàn)最優(yōu)策略（在（21）對(duì)于丫=0.5函數(shù)q（W,t）當(dāng)t=0和當(dāng)t=T）下的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn).和Basak和Shapiro的結(jié)論（2001）相反，圖中顯示了VaR約束下的代理沒(méi)有投入更多的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相比不受VaR約束的代理（相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露是不大于1）。因此，如圖2,風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的投資策略極端損失在水平線(xiàn)T的概率比不受約束的策略時(shí)的低。我們認(rèn)為這些結(jié)論也適用于其他的例子。因此，在表達(dá)反對(duì)使用風(fēng)險(xiǎn)值作為風(fēng)險(xiǎn)控制工具，在文獻(xiàn)中有所保留，并不包括設(shè)置在其中的風(fēng)險(xiǎn)限額進(jìn)行動(dòng)態(tài)重新評(píng)估。另外值得一提的是在圖1中一個(gè)重要的避險(xiǎn)需求的存在：例如，初始財(cái)富為W=0.4（log（W））=-0.916的VaR約束下的代理和10年的投資期限將投資只有67%之00多，在均值方差有效組合不受約束的代理，盡管他可以投資的無(wú)約束最優(yōu)數(shù)量的均值方差有效組合，在時(shí)間為零時(shí)仍然滿(mǎn)足風(fēng)險(xiǎn)約束（因?yàn)閊（0.4,0）=2.5>.片）。顯然，這種低配置的均值方差有效組合，降低了最優(yōu)投資組合的波動(dòng)性，并反映當(dāng)投資組合價(jià)值增加引起的極端的組合值較小的間接效用時(shí)，一個(gè)恒定的VaR約束變得更加具有約束力的事實(shí)，極端

Q+的組合值中較小的間接效用時(shí)（從圖1中可以看到在這種情況下，（14）中的方程屮是一個(gè)遞減函數(shù)的組合值）。圖3和圖4說(shuō)明丫二5的情況下的相應(yīng)結(jié)果。在這種情況下，避險(xiǎn)需求是可以忽略的，女口所示的事實(shí)，在初始日期的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)暴露是非常接近在終端的日期的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)暴露。這源于一個(gè)事實(shí)，在時(shí)間t（i.e., ,t）），僅當(dāng)W>4.76（log（W））>1.56）VaR約束是有約束力的，且如圖4所示，這一事件的概率可以忽略不計(jì)。圖1?圖中表示t=0（粗線(xiàn)）和t=T（細(xì)線(xiàn)）時(shí)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,k二0.37,T=10,丫二0.5,W0二1，a=0.01，t二1.260，VaR（W,t）二0.05。0.80.6D-6 -4-2 0 2log(W)6圖D-6 -4-2 0 2log(W)6圖2.圖中表示終端投資組合值W兀*

t的概率密度在約束（粗線(xiàn)）和無(wú)約束（亮線(xiàn)）的情況下的最優(yōu)交易策略，假設(shè)r=0.008,k=0.37，T二10，丫二0.5，%=1，丫二0.5,t二1260，VaR（W,t）二0.05。0.8642O.O.O.642O.O.O.-6 -4 -2 0 2log(W)圖3.圖中表示t=0（粗線(xiàn)）和t=T（細(xì)線(xiàn)）時(shí)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,k=0.37,T=10,丫=5,W=1,a=0.01,t=垸。，VaR（W,t）二0.05。

-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC自4衛(wèi)lo.o.o.o.0圖4.圖中表示終端投資組合值WK*的概率密度在約束（粗線(xiàn)）和無(wú)約束（亮線(xiàn)）的情t況下的最優(yōu)交易策略，假設(shè)r=0.008,k|=0.37，丫二5，T=10，W0=1，a=0.01，t二1.260VaR（W,t）二0.05。4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o.4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o..8--VaR約束固定到一個(gè)恒定的值有明顯的缺點(diǎn)，當(dāng)投資組合價(jià)值的增加，該約束變得有約束力；當(dāng)投資組合的價(jià)值是足夠低，該約束就沒(méi)有約束力。因此，一個(gè)恒定的VaR約束處罰成功的商人。在實(shí)踐中，成功的交易者通?？吹剿麄兊腣aR約束增加。捕捉到這一事實(shí)，我們接下來(lái)考慮一個(gè)固定比例的VaR的情況，VaR（W,t）=。因此，沐庁+N-1（X）+、/（|E|Jt+N-1匕加_2（log（l ）+_rK）A（w,t）= =申+X 勺Jt x對(duì)于所有的（W,t），在這種情況下很容易證明價(jià)值方程V（W，人ep-t）（W%-j，這里P，-Y）（+昭-gjkI?）和

(p*=(p*=，解決HJB等式（15）。因此，pW'并且對(duì)于所有的"'"qW' 心<1。因此,在這種情況下沒(méi)有套期保值的需求和VaR約束下的最優(yōu)交易策略與無(wú)約束的最優(yōu)交易策略的投資者CRRA的投資者CRRA系數(shù)Y*圖5.圖中表示終端投資組合值W滬的概率密度在約束（粗線(xiàn)）和無(wú)約束（亮線(xiàn)）的情T(mén)況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=O.O08,k=0.37，T二10，“0.5，W°=1，八0.01，0.35XJ5LBP卻二-qeqo?x0.150.10T二1260，VaR(W,t)二0.05W0.35XJ5LBP卻二-qeqo?x0.150.100-6 -4 -2 0 2 4MW)數(shù)值參數(shù)例子二0.966，如果使VaR約束是有約束力的Y<10.966二山彳'，否則,是沒(méi)有約束力的。尤其如果丫二0.5，對(duì)于代理人，有約束的最優(yōu)交易策略與無(wú)約束的交易策略相比有著更高的CRRA系數(shù)廠(chǎng)二1.035,且相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露q（W,t）是一致的且等于0.483。圖5顯示了VaR約束和無(wú)約束條件的最優(yōu)交易策略下的終端投資組合值分布。43VaR（W,t）=W-（1—卩W丄0在§4.1例（恒定的VaR），在均值方差有效投資組合P+允許的最大比例的投資是當(dāng)前a投資組合價(jià)值的增函數(shù)，然而在§4.2例（恒定比例的VaR），它是恒定的。作為最后的例子，我們考慮VaRW,t）=（W-G-卩W丄這個(gè)情況，因此，VaR約束等于一個(gè)初始投資0組合價(jià)值的恒定的比例卩W0，加上任何經(jīng)營(yíng)收益W-W。在這種情況下，P+W,t）是W0 a的單調(diào)遞增函數(shù)，lim3(W,t)wlok[Jx+N-iCx)+卜&+N-i(a》+2rr

k爲(wèi)=0.000582lim申和WT+8因此，當(dāng)Y<10.OOO582=1,717.8時(shí)，VaR約束是有約束力的。否則沒(méi)有約束力在（正如§4.1例）。圖6.圖中表示t=0（粗線(xiàn)）和t=T（細(xì)線(xiàn)）時(shí)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,\k\=0.37,T=10,Y=0.5,W°=1，a=0.01，t=[260VaRW,t)=W-G-0.05W丄。0log(W)TOC\o"1-5"\h\z值得注意的是，在對(duì)于所有W<（1-0W,a=0,Q+W,t）=0的極端情況下，最優(yōu)0 a投資組合兀*有財(cái)產(chǎn)W^>（1—卩W）,對(duì)于所有的tet）,T］。因此，動(dòng)態(tài)VaR約束VaRs<W“-G-0加）可以被認(rèn)為是一種放松的動(dòng)態(tài)投資組合保險(xiǎn)的約束t t 0W“>G—卩W，對(duì)于所有的teb,T］。\o"CurrentDocument"t 0圖6和7（圖8和9）顯示當(dāng)丫=0.5（y=5）最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)暴露和終端投資組合價(jià)值的分配。在這兩種情況下，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的結(jié)果是終端投資組合的價(jià)值的一個(gè)高度偏態(tài)分布。正如已經(jīng)指出的，當(dāng)°"=0，由此產(chǎn)生的分布必須分配logW兀丿的值概率為零在Tlog［（1-0”］=-0.051下：圖7和9的這些值的概率是正的，但可以忽略不計(jì)，而損失的概率小的0W是明顯大于無(wú)約束下的政策。0圖7.圖中表示終端投資組合值W滬的概率密度在約束（粗線(xiàn)）和無(wú)約束（亮線(xiàn)）的情T(mén)

況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=O.O08,k=0.37,T=10，，二0.5,忙=1,八0.°1,t二1260,VaR(W,t)=W-(1-0.05”丄。士uap2?三qpqp_d00.20士uap2?三qpqp_d00.200.05-6 -4 -2 0 2 4log(W)6圖8.圖中表示t=0（粗線(xiàn)）和t=T（細(xì)線(xiàn)）時(shí)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露q（W't），假設(shè)r=0.000.37,T二10,丫二5,W0二1，a二0.01，t=［么。，VaR（W,t）=W-（1-0.05”丄圖9.圖9.圖中表示終端投資組合值”1*的概率密度在約束（粗線(xiàn)）和無(wú)約束（亮線(xiàn)）的情況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=0.008,k=0.37，T-10，，二5，忙=1，八0.01，VaR(W,t)=W-G-0.05”丄0。

2121*=(_qKfqald-0.2 0 0.2 0.4 0.6(U1.0logfff)5.TCE約束現(xiàn)在我們將轉(zhuǎn)向基于TCE風(fēng)險(xiǎn)約束的交易者的問(wèn)題,supeUCw）Ts.t.w兀二wTCE<TCE?兀,t）Vtelo,t]t t這里TCE是一個(gè)給定的非負(fù)函數(shù)且&e（0,1）o簡(jiǎn)介中所提到的，TCE被提倡作為一個(gè)比VaR更好的風(fēng)險(xiǎn)管理工具，然而，我們會(huì)表明至少在資產(chǎn)價(jià)格的情況下服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，VaR或TCE的選擇作為風(fēng)險(xiǎn)管理工具是無(wú)關(guān)緊要的。）定義：約束VaRW：，t）和TCE與<TCEW，丿是等價(jià)的，如果在（10）和⑵）中的最優(yōu)投資組合策略是一致的對(duì)于所有效用函數(shù)u。TCE中的最優(yōu)投資組合策略是一致的對(duì)于所有效用函數(shù)u。TCE:pft丄，此時(shí)2VaR，兀=Wa卯p/ 、+十回想命題1 ttaG/和仔1r+兀tu一一1t2pG)=1-expxtT+N-1Cx)兀TOtp人G)=1-expxt(( ))NN-p人G)=1-expxtr+兀tu< -因?yàn)門(mén)CEa，k取決于兀僅僅通過(guò)瞬時(shí)收益率兀T卩和瞬時(shí)收益方差匸TO2，它如下定理t t 1t1，在（23）中，最優(yōu)投資組合k*是一個(gè)組合的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與均值方差有效投資組合not丿1卩,例如兀*例如兀*=xt銳*,t t)1ut對(duì)于所有的方程。。下一個(gè)引理表明，它是投資組合的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與均值方差有效組合,申A=引理1對(duì)于所有的A申A=引理1對(duì)于所有的A>0，設(shè)定A是是包含原點(diǎn)的閉區(qū)間。因此存在方程"a和幻且"A<0叫使得"a^-(A),9+(A)A A■A A」。如果A<1，"a是有界的,a A>1 "-(A)=-a"+=+8的兩個(gè)根。如果A>1，半A 且屮A 。TCE約束是相當(dāng)于一個(gè)下限和上限配置的均值方差有效組魚(yú)Gq丿1u<a證明：參見(jiàn)網(wǎng)上附錄。0A(w,t)=?A 土AA回顧ME、“=“廣Pa"t>,直接遵循上述引理，在（24）的政策滿(mǎn)足在（23）的TCE的約束，當(dāng)且僅當(dāng)%」<血t）<^a（w,t），對(duì)于所有的（w,t0A(w,t)=?A 土AA由于賣(mài)空的均值方差有效組合從來(lái)都不是最優(yōu)的，那么容易看到，對(duì)給定的VaR和TCE）"a。這導(dǎo)致了以下結(jié)果。）"a。這導(dǎo)致了以下結(jié)果。VaRA蟲(chóng)VaR51是等價(jià)的，這里Ae（0,1）如，如果函數(shù)在（14）屮A和函數(shù)TCEA，冗<TCEW冗昇叩題2.約束t t和約束是一個(gè)隨機(jī)概率,kJt+N-1(kJt+N-1(a)+J|k師+N-10+2rT<inf(w,t)wR+xAa+(w,t)b,T](AVaP(