信息論與編碼第六章信道編碼

信息論與編碼第六章信道編碼第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日6.1概述作用提高信息傳輸時的抗干擾能力目的增加信息傳輸?shù)目煽啃允侄卧黾有畔⑷哂喽让Q信道碼、數(shù)據(jù)傳輸碼、差錯控制碼第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日26.1概述信道編碼器在通信系統(tǒng)中的位置信源編碼信道編碼信源譯碼信道譯碼解密加密信宿信源第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日3分類6.1概述分組碼樹碼線性碼非線性碼檢錯碼糾錯碼抗隨機差錯碼抗突發(fā)差錯碼代數(shù)碼幾何碼組合碼線性分組碼——群碼

線性樹碼——卷積碼

第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日4最小差錯概率準(zhǔn)則理想譯碼器，依賴于輸入概率分布。最大似然準(zhǔn)則

實用譯碼準(zhǔn)則，與最小差錯概率準(zhǔn)則等價。

6.2信道譯碼準(zhǔn)則第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日56.3碼例信道編譯碼方法的最初范例。基本思路將碼字分成兩段

用模二和對二元分組碼進(jìn)行一致性校驗。奇偶校驗碼只有一個校驗位的漢明碼。二元分組碼信息位校驗位奇校驗、偶校驗。第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日66.3碼例

奇校驗

DES算法例1100101111001010偶校驗第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日76.3碼例多個校驗位的漢明碼

每個校驗位是部分或全部信息位按模二和規(guī)則確定。例N=7，k=4c4c6c5u3u2u1u0c4c6c5c3c2c1c0第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日86.3碼例0101011可以糾正一個錯誤。

譯碼

-驗證校驗位

-

錯誤位取反第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日96.4線性分組碼同時具有線性特性和分組特性把符號同時看成是運算的數(shù)引入模2算術(shù)二元有限域有限個元素的集合，定義兩種運算——加和乘加法有零元，乘法有幺元有加逆元和乘逆元加、乘滿足結(jié)合律和交換律，加和乘滿足分配律第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日106.4線性分組碼加法

a+b乘法

ab=c不可約多項式第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日116.4線性分組碼線性分組碼的基本參數(shù)碼長：n信息位長：

k碼字?jǐn)?shù)：M監(jiān)督位長：r最小碼距：dmin例重復(fù)碼000111第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日126.4線性分組碼（4，3）偶校驗碼例例例

奇校驗碼？

恒比碼？0101101101第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日13

6.4線性分組碼衡量碼的重要指標(biāo)

漢明重量（碼重）碼字中非零碼元的數(shù)目。漢明重量（碼重）=例10110101第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日146.4線性分組碼兩個碼字中相應(yīng)碼元取不同數(shù)值的碼元數(shù)。

漢明距離（碼距）漢明距離（碼距）=1011010111010011例第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日156.4線性分組碼

最小漢明距離（最小碼距）同一碼所有漢明距離中最小的一個。例（4，3）偶校驗碼10010000001111001010111101010110最小漢明距離（最小碼距）=第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日166.4線性分組碼檢錯和糾錯能力1檢錯l=dmin-12糾錯t=[（dmin-1）/2]3l+t<=dmin-1,t<l最小漢明距離（最小碼距d）：任意兩碼字之間的漢明距離的最小值

第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日176.4線性分組碼檢、糾錯能力圖示第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日180011001110101010110001106.4線性分組碼檢、糾錯能力圖示第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日19漢明碼簡介6.4線性分組碼碼長：n=2^r-1信息位長：

k=n-r=2^r-r-1碼字?jǐn)?shù)：M=2^k監(jiān)督位長：r=n-k最小碼距：dmin=3糾錯能力：t=1第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日206.4線性分組碼線性分組碼編碼信息矢量生成矩陣第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日216.4線性分組碼一致校驗方程組校驗矩陣第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日226.4線性分組碼例編碼：第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日236.4線性分組碼譯碼（無差錯）：第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日246.4線性分組碼譯碼（有差錯）：接收矢量伴隨式S可以指示差錯的存在第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日256.4線性分組碼例第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日266.4線性分組碼伴隨式s0s1s2錯誤位置錯誤圖樣101z01000000111z10100000110z20010000011z30001000100z40000100010z50000010001

z60000001第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日27

6.4線性分組碼譯碼步驟：1計算伴隨式，構(gòu)造伴隨式-差錯圖案表（s，e）；2對接收向量計算伴隨式；3查（s，e）表得e；4糾錯。第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日28

6.4線性分組碼系統(tǒng)碼線性(N，k)碼生成矩陣G具有形式

由此產(chǎn)生的碼稱為系統(tǒng)碼。系統(tǒng)碼的一致監(jiān)督矩陣具有形式二元有限域上的-AT=AT碼長為N，信息位長度為k的分組碼稱為(N，k)碼。第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日296.4線性分組碼線性分組碼的性質(zhì)

零向量是一個碼字，稱為零碼字

兩碼字之和或差仍是一個碼字線性性在碼的所有碼字上減去任一特定的碼字，結(jié)果仍是這同一碼的全部碼字。對稱性二元有限域上最小碼距最小碼重。第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日306.5線性循環(huán)碼漢明碼的對偶碼線性循環(huán)碼例第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日31（1）（3）（4）（2）（4）6.5線性循環(huán)碼第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日326.5線性循環(huán)碼循環(huán)碼的多項式描述g(x)一致校驗多項式編碼譯碼第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日33

更好的設(shè)計和實現(xiàn)線性分組碼的方法是引入特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來界定某一類線性分組碼。循環(huán)碼即是采用循環(huán)移位特性界定的一類線性分組碼。6.5.1循環(huán)碼的多項式描述第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日34第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日35第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日36定義如果一個線性分組碼的任意一個碼字c(n元組)都是另外一個碼字c’的循環(huán)移位,稱此線性分組碼為一個循環(huán)碼.

將循環(huán)碼的碼字用多項式c(x)，稱為碼多項式（簡稱碼式）表示后，循環(huán)碼集合表示C(x),

第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日37例6.3.2如下確定的CA是線性循環(huán)碼，CB是非循環(huán)的線性分組碼，CC是非線性的循環(huán)碼。，

，

第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日38定理：（n,k）循環(huán)碼C(x)中存在唯一的一個非零的，首一的和最低次為r（r<n）的碼

多項式g(x)滿足：

g(x)=xr+gr-1xr-1+….+g1X+g0

g0≠0

r=n-k并且c(x)是碼式當(dāng)且僅當(dāng)c(x)是g(x)的倍式第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日39定義由上述定理確定的碼式g(x)稱為循環(huán)碼(n,k)的生成多項式.

因此(n,k)循環(huán)碼的構(gòu)造是如何構(gòu)造生成多項式g(x)。

循環(huán)碼由生成多項式的倍式組成第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日40定理：

g(x)是（n,k）循環(huán)碼的生成多項式，當(dāng)且僅當(dāng)g(x)是xn-1的r=n-k次因式。第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日41第四十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日42第四十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日43第四十四頁，共