專訓(xùn)三角形三種重要線段應(yīng)用

階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2三角形的三種重

要線段的應(yīng)用習(xí)題課三角形的高、中線和角平分線是三角形中三種重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度認(rèn)識這三種線段．1應(yīng)用三角形的高的應(yīng)用如圖，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E，則△ADE的邊DE上的高

為________，邊AE上的高為________．類型1找三角形的高ABDC2.(動手操作題】畫出圖中△ABC的三條高．(要

標(biāo)明字母，不寫畫法)類型2作三角形的高如圖．解：3．如圖，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC邊

上的高AD＝4.求：(1)△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)AD∶BE的值．類型3求與高相關(guān)線段的問題(1)S△ABC＝

BC?AD＝×4×4＝8.

因?yàn)镾△ABC＝

AC?BE

＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD∶BE＝4∶＝.解：4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.

求證：DE＋DF＝BG.類型4證與高相關(guān)線段和的問題連接AD，因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以

AC?BG＝

AB?DE＋

AC?DF.又因?yàn)锳B＝AC，所以DE＋DF＝BG.證明：“等面積法”是數(shù)學(xué)中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關(guān)系時(shí)，常將線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來解決．5．【中考?淄博】如圖，△ABC的面積為16，點(diǎn)D

是BC邊上一點(diǎn)，且BD＝

BC，點(diǎn)G是AB邊上

一點(diǎn)，點(diǎn)H在△ABC內(nèi)部，且四邊形BDHG是

平行四邊形．則圖中陰影部分的面積是(

)A．3B．4C．5D．6類型5求與高有關(guān)的面積B設(shè)△ABC的邊BC上的高為h，△AGH的邊GH上的高為h1，△CGH的邊GH上的高為h2，則有h＝h1＋h2.S△ABC＝

BC?h＝16，S陰影＝S△AGH＋S△CGH＝

GH?h1＋

GH?h2＝

GH?(h1＋h2)＝

GH?h.∵四邊形BDHG是平行四邊形，且BD＝

BC，∴GH＝BD＝

BC.∴S陰影＝

＝

S△ABC＝4.故選B.2應(yīng)用三角形的中線的應(yīng)用如圖，AE是△ABC的中線，已知EC＝4，DE＝2，則BD的長為(

)

A．2B．3C．4D．6類型1求與中線相關(guān)線段的問題A同類變式7.如圖，已知BE＝CE，ED為△EBC的中線，BD＝8，△AEC的周長為24，則△ABC的

周長為(

)A．40

B．46

C．50

D．56同類變式8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上

的中線BD將這個(gè)三角形的周長分成15cm

和6cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的三邊

長．設(shè)AD＝CD＝xcm，則AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.依題意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，則有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.當(dāng)x＝5時(shí)，三邊長為10cm，10cm，1cm；當(dāng)x＝2時(shí)，三邊長為4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，故不成立．所以這個(gè)等腰三角形的三邊長為10cm，10cm，1cm.解：9．操作與探索：在圖①～③中，△ABC的面積為a.(1)如圖①，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD＝

BC，連接DA，若△ACD的面積為S1，則S1＝________(用含a的式子表示)；類型2求與中線相關(guān)的面積問題a理由：連接AD，由題意可知S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.解：(2)如圖②，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA

到點(diǎn)E，使CD＝BC，AE＝CA，連接DE，若

△DEC的面積為S2，則S2＝________(用含a的式

子表示)，請說明理由；2a(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF

＝AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF，若陰影部

分的面積為S3，則S3＝________(用含a的式子

表示)．6a3應(yīng)用三角形的角平分線的應(yīng)用10．(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上

的三點(diǎn)，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為

角平分線的三角形有__________________；類型1三角形角平分線定義的直接應(yīng)用△ABC和△ADF(2)如圖，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，計(jì)算∠3的度數(shù)，并說明AE是△DAF的角

平分線．因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因?yàn)椤?＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因?yàn)椤?＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3.所以AE是△DAF的角平分線．解：如圖，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的

平分線，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的

度數(shù)．類型2三角形的角平分線與高相結(jié)合求角的度數(shù)在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以∠BAE＝∠BAC＝×100°＝50°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.解：又因?yàn)锳D是高，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA

＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE

＝70°－50°＝20°.靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和為180°，結(jié)合三角形的高及角平分線是求有關(guān)角的度數(shù)的常用方法．12．如圖，在△ABC中，BE，CD分別為其角平分

線且交于點(diǎn)O.(1)當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；(2)當(dāng)∠A＝100°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；(3)當(dāng)∠A＝α?xí)r，求∠BOC的度數(shù)．類型3求三角形兩內(nèi)角平分線的夾角度數(shù)(1)因?yàn)椤螦＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋

∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝60°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.解：(2)因?yàn)椤螦＝100°，

所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.(3)因?yàn)椤螦＝α，

所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠E