自控-第二章1第一節(jié)微分方程

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第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1/17/20232本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式1/17/20233概述

對(duì)由微分方程描述的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，若已知輸入量和變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，就可以得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的首要工作。概述

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型；而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型?？刂评碚撗芯康氖莿?dòng)態(tài)模型。

常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。1/17/20234概述

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法(又稱(chēng)機(jī)理建模法)和實(shí)驗(yàn)法(又稱(chēng)系統(tǒng)辨識(shí))

。

分析法是根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過(guò)程中所遵循的物理定理來(lái)進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。對(duì)于結(jié)構(gòu)已知的系統(tǒng)常用此法。

實(shí)驗(yàn)法是根據(jù)元件或系統(tǒng)對(duì)某些典型輸入信號(hào)的響應(yīng)或其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，當(dāng)元件或系統(tǒng)比較復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)特性很難用幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方程表示時(shí)，實(shí)驗(yàn)法就顯得非常重要了。

本章僅介紹分析法，系統(tǒng)辨識(shí)由專(zhuān)門(mén)課程介紹。

無(wú)論是用分析法還是用實(shí)驗(yàn)法建立模型，都存在模型精度和復(fù)雜性之間的矛盾。即描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型越精確，則方程的階次越高，對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)越困難。所以，在控制工程上總是在滿(mǎn)足分析精度要求的前提下，盡量使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，為此在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常做許多假設(shè)和簡(jiǎn)化，最后得到的是有一定精度的近似模型。1/17/20235第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程1/17/20236這是一個(gè)線(xiàn)性定常二階微分方程?？刂葡到y(tǒng)的微分方程①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例1]：列寫(xiě)RLC串聯(lián)電路的微分方程。由②：，代入①得：這是所謂時(shí)間常數(shù)形式的微分方程。1/17/20237根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個(gè)線(xiàn)性定常二階微分方程。x為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國(guó)際單位制中，m、f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程[例2]求如圖1所示彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輸入量為外力F，輸出量為位移x。阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的裝置，由活塞和充滿(mǎn)油液的缸體組成?；钊透左w之間的任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)都將受到油液的阻滯。阻尼器用來(lái)吸收系統(tǒng)的能量并轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У?。[解]：系統(tǒng)受力分析圖如圖2所示。圖中，m為質(zhì)量，f為粘滯阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。（思考題：上述方程中為何沒(méi)有受重力mg的影響？）1/17/20238控制系統(tǒng)的微分方程[例3]機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。設(shè)外加轉(zhuǎn)矩M為輸入量，轉(zhuǎn)角θ為輸出量。[解]：對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)物體，可用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代表慣性負(fù)載。根據(jù)機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的牛頓定理可列出微分方程式中f和k分別為粘滯阻尼系數(shù)和扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)。此式與機(jī)械位移系統(tǒng)的方程形式上是一樣的。若方程中忽略扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)的影響，方程為若令則方程為若再忽略粘滯阻尼系數(shù)，方程為1/17/20239直流電動(dòng)機(jī)的工作原理1/17/202310直流電動(dòng)機(jī)的工作原理動(dòng)畫(huà)1/17/202311[例4]電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為①

此時(shí)激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱(chēng)為電動(dòng)機(jī)電勢(shì)常數(shù)

Cm稱(chēng)為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)方程電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的微分方程其中

為反電勢(shì)②

③

④

此式已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力。1/17/202312其中

和分別稱(chēng)為電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)電時(shí)間常數(shù)整理得分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負(fù)載和傳遞系數(shù)?？刂葡到y(tǒng)的微分方程也可寫(xiě)為1/17/202313這是一個(gè)線(xiàn)性定常二階微分方程(兩個(gè)輸入)。從數(shù)學(xué)的角度可以分別考慮單獨(dú)輸入的影響。如當(dāng)mc=0時(shí)，方程為該方程稱(chēng)為空載模型。若再假設(shè)電樞電感很小則這是一個(gè)一階微分方程。若Ra和J都可忽略，則Tm=0,于是這說(shuō)明電機(jī)轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，當(dāng)不考慮電樞電阻和電感時(shí)，電樞電壓將與反電勢(shì)表達(dá)式相同。這時(shí)反電勢(shì)表達(dá)式就是測(cè)速發(fā)電機(jī)的方程?？刂葡到y(tǒng)的微分方程1/17/202314微分方程的增量化表示上式中若電機(jī)處于平衡狀態(tài)，各變量的各階導(dǎo)數(shù)為零，則這表示電機(jī)處于平衡狀態(tài)下輸入量和輸出量之間的關(guān)系，稱(chēng)為靜態(tài)模型。當(dāng)mc=常數(shù)時(shí)，稱(chēng)為控制特性，反映了電樞電壓由ua1變到ua2后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，轉(zhuǎn)速將從w1變到w2。若用ua0、mc0和w0表示平衡狀態(tài)下ua、mc和w的數(shù)值,則(a)式寫(xiě)為當(dāng)ua=常數(shù)時(shí)，稱(chēng)為機(jī)械特性，反映了負(fù)載與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系。1/17/202315令代入考慮到可得此式稱(chēng)為增量化方程設(shè)mc=常數(shù)，即Dmc=0，則設(shè)ua=常數(shù)，即Dua=0，則1/17/202316可見(jiàn)，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類(lèi)型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。[需要討論的幾個(gè)問(wèn)題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：若令（電荷），則方程為：相似系統(tǒng)和相似量若令，則LRCi對(duì)于例2-1RLC串聯(lián)電路其微分方程形式為

前面注意到彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)和機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程形式是完全一樣的。1/17/202317[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱(chēng)為相似系統(tǒng)。

如例1和例2稱(chēng)為力-電壓相似系統(tǒng)，在這對(duì)相似系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來(lái)模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。

在相似系統(tǒng)中占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱(chēng)為相似量。1/17/2023182、非線(xiàn)性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線(xiàn)性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線(xiàn)性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線(xiàn)性常系數(shù)的微分方程，則稱(chēng)該系統(tǒng)為線(xiàn)性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線(xiàn)性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化[非線(xiàn)性系統(tǒng)]：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線(xiàn)性的。

下面是非線(xiàn)性系統(tǒng)的一些例子：1/17/202319

若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線(xiàn)性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線(xiàn)性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€(xiàn)性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線(xiàn)性化方法。對(duì)于非線(xiàn)性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前面的線(xiàn)性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€(xiàn)性環(huán)節(jié)。非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化AByx0設(shè)具有連續(xù)變化的非線(xiàn)性函數(shù)y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如圖中的A(x0,y0)。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為B(x0+Dx,y0+Dy)，當(dāng)Dx很小時(shí)，AB段可近似看做線(xiàn)性的。1/17/202320AByx0設(shè)f(x)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，得：若Dx很小，則，即式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線(xiàn)性方程，是非線(xiàn)性方程的線(xiàn)性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開(kāi)。非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化1/17/202321

對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線(xiàn)性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開(kāi)。設(shè)雙變量非線(xiàn)性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：[注意]：⑴上述非線(xiàn)性環(huán)節(jié)不是指典型的非線(xiàn)性特性(如間隙、庫(kù)侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的。⑵實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。線(xiàn)性化數(shù)學(xué)模型是近似的表示，其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線(xiàn)性情況及變量變化范圍有關(guān)。非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化式中：，。

為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。1/17/202322[例]：倒立擺系統(tǒng)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化

該系統(tǒng)由小車(chē)和安裝在小車(chē)上的倒立擺構(gòu)成。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒(méi)有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔玫剿厦?，它將隨時(shí)可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問(wèn)題，即認(rèn)為倒立擺只在圖所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

若有合適的控制力u作用于小車(chē)上可使擺桿維持直立不倒。這實(shí)際是一個(gè)空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問(wèn)題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設(shè)小車(chē)和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長(zhǎng)為2l

，且重心位于幾何中點(diǎn)處，小車(chē)距參考坐標(biāo)的位置為x，擺桿與鉛垂線(xiàn)的夾角為q，擺桿重心的水平位置為，垂直位置為

1/17/202323畫(huà)出倒立擺系統(tǒng)隔離體受力圖非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化設(shè)擺桿和小車(chē)結(jié)合部的水平反力和垂直反力為H和V，略去擺桿與小車(chē)、小車(chē)與地面的摩擦力。可得方程如下：⒈擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)

⑴

式中J為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為垂直力關(guān)于其重心的力矩，為水平力關(guān)于其重心的力矩。

⒉擺桿重心的水平運(yùn)動(dòng) ⑵

⒊擺桿重心的垂直運(yùn)動(dòng) ⑶

⒋小車(chē)的水平運(yùn)動(dòng) ⑷

1/17/202324非線(xiàn)性環(huán)節(jié)微分方程的線(xiàn)性化⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

當(dāng)忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J時(shí)

當(dāng)考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

時(shí)因?yàn)樵谶@些方程中包含sinq和cosq，所以它們是非線(xiàn)性方程。若假設(shè)角度q很小，則sinq≈q和cosq≈1。可線(xiàn)性化如下

1/17/2023253.線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫(xiě)出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線(xiàn)性元部件進(jìn)行線(xiàn)性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟⑸一般情況下，還需把微分方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。有時(shí)還要把各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行處理，用具有一定物理意義的系數(shù)（例如時(shí)間常數(shù)、傳遞系數(shù)等等）來(lái)表示。1/17/202326[例]：編寫(xiě)下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。[解]：⑴該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動(dòng)量是線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]測(cè)速機(jī)-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動(dòng)機(jī)⑵速度控制系統(tǒng)方塊圖：負(fù)載-+-+

功率放大器測(cè)速發(fā)電機(jī)＋－＋1/17/202327線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]⑷消去中間變量，得：⑶各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放Ⅰ：運(yùn)放Ⅱ：功率放大：反饋環(huán)節(jié)：電動(dòng)機(jī)環(huán)節(jié)：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。這里1/17/202328線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]⑶若和都是變化的，則對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號(hào)兩端取增量)：⑴對(duì)于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負(fù)載干擾引起。增量表達(dá)式如下：⑵對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，則