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會計學(xué)1常微分方程(王高雄)第三版3.3考察的解對初值的一些基本性質(zhì)解對初值的連續(xù)性解對初值和參數(shù)的連續(xù)性解對初值的可微性內(nèi)容:第1頁/共26頁yxG圖例分析(見右)解可看成是關(guān)于的三元函數(shù)滿足
解對初值的對稱性:前提解存在唯一例:初值問題的解不單依賴于自變量,同時也依賴于初值.初值變動,相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動.…………
Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時,對應(yīng)的解是如何變化的?
當(dāng)初始值微小變動時,方程的解變化是否也是很???第2頁/共26頁證明則由解的唯一性知,即此解也可寫成:且顯然有:
解對初值的對稱性:前提解存在唯一,)()1.3(100xyxy值的解存在區(qū)間內(nèi)任取一滿足在=第3頁/共26頁一、解對初值的連續(xù)性定義設(shè)初值問題1.解對初值的連續(xù)依賴性初值問題第4頁/共26頁引理
如果函數(shù)于某域G內(nèi)連續(xù),且關(guān)于y滿足利普希茨條件(利普希茨常數(shù)為L),則對方程的任意兩個解及,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式.其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。第5頁/共26頁2定理1(解對初值的連續(xù)依賴性定理)條件:
I.
在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;
II.
是(1)滿足的解,定義區(qū)間為[a,b].結(jié)論:
對
,
使得當(dāng)時,方程(1)過點的解在[a,b]上也有定義,且方程第6頁/共26頁0思路分析:第7頁/共26頁記積分曲線段S:顯然S是xy平面上的有界閉集.第一步:找區(qū)域D,使,且在D上滿足Lips.條件.yxG(見下圖)由已知條件,對,存在以它為中心的圓,使在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為.根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng)時,有
對,記則以為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點沿S運動到右端點時,掃過的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域Dba第8頁/共26頁0第9頁/共26頁0第二步:證明在[a,b]上有定義.第10頁/共26頁注:飽和解反證(引理)對連續(xù)令從而,可再延拓。第11頁/共26頁第三步:證明第12頁/共26頁根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:3定理2(解對初值的連續(xù)性定理)條件:
在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;方程結(jié)論:在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.,作為的函數(shù)第13頁/共26頁二、解對初值的可微性第14頁/共26頁1解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理,,,),()1.3(),,,(,),,(,,),,(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf££££=?其中義上有定在區(qū)間的解通過點方程條件局部滿足內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)lllljll為第15頁/共26頁2解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理3解對初值可微性定理.,,),,()1.3(,),(0000在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的的函數(shù)在它們的存作為的解則方程內(nèi)連續(xù)都在區(qū)域以及若函數(shù)yxxyxxyGyfyxfj=??第16頁/共26頁證明因此,解對初值的連續(xù)性定理成立,即第17頁/共26頁即和于是第18頁/共26頁設(shè)即是初值問題的解,則第19頁/共26頁的解,不難求得根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理第20頁/共26頁即和于是第
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