北師大選修最大值最小值問題張

會計學(xué)1北師大選修最大值最小值問題張1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁/共34頁知識點生活中的數(shù)學(xué)建模1.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為

.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是

.3.解決優(yōu)化問題的基本思路是：問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點點落實上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的

過程.答案返回優(yōu)化問題求函數(shù)最值數(shù)學(xué)建模第2頁/共34頁類型一面積、容積的最值問題例1

請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，則x應(yīng)取何值？題型探究

重點難點個個擊破解析答案第3頁/共34頁當(dāng)且僅當(dāng)x＝30－x，即x＝15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，則x＝15.第4頁/共34頁(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.解析答案反思與感悟第5頁/共34頁1.這類問題一般用面積公式，體積公式等作等量關(guān)系，求解時應(yīng)選取合理的邊長x作自變量，并利用題目中量與量之間的關(guān)系表示出其他有關(guān)邊長，這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來了.2.這類問題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段)為正，建立x的不等式(組)求定義域.反思與感悟第6頁/共34頁同步訓(xùn)練1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場.如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點M.點A為上半圓弧上一點，過點A作l的垂線，垂足為點B.市園林局計劃在△ABM內(nèi)進行綠化.設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度).(1)將S表示為θ的函數(shù)；解析答案第7頁/共34頁解如圖，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，第8頁/共34頁(2)當(dāng)綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積.解S′＝5000(2cos2

θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).解析答案第9頁/共34頁類型二利潤最大問題(1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；解析答案第10頁/共34頁第11頁/共34頁(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.解析答案反思與感悟第12頁/共34頁且當(dāng)x∈(0,9)時，W′>0，當(dāng)x∈(9,10)時，W′<0.綜合①②知：當(dāng)x＝9時，W取得最大值38.6.故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.反思與感悟第13頁/共34頁解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有：(1)利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).反思與感悟第14頁/共34頁

所以a＝2.解析答案第15頁/共34頁(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解析答案第16頁/共34頁從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)增加極大值42減少解析答案第17頁/共34頁由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點.所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.第18頁/共34頁類型三費用(用材)最省問題例3

已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v＝12km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？解析答案反思與感悟第19頁/共34頁解設(shè)每小時的燃料費為y1，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2，當(dāng)v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.令y′＝0，得v＝16，∴當(dāng)v0≥16，即v＝16km/h時全程燃料費最省，ymin＝32000(元)；解析答案反思與感悟第20頁/共34頁當(dāng)v0<16，即v∈(8，v0]時，y′<0，即y在(8，v0]上為減函數(shù)，綜上，當(dāng)v0≥16時，v＝16km/h全程燃料費最省，為32000元；反思與感悟第21頁/共34頁1.用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實際作答.2.利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值.反思與感悟第22頁/共34頁解析答案同步訓(xùn)練：

3.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為(

)A.4 B.6 C.4.5 D.8解析設(shè)底面邊長為x，高為h，A第23頁/共34頁1.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y1＝17x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)(

)A.9千臺

B.8千臺

C.6千臺

D.3千臺1234解析答案解析構(gòu)造利潤函數(shù)y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數(shù)y在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點.C本課練習(xí)第24頁/共34頁1234解析答案2.將一段長100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為________cm.第25頁/共34頁1234解析答案解析設(shè)彎成圓形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100－x，設(shè)正方形與圓形的面積之和為S，第26頁/共34頁1234由于在(0,100)內(nèi)，函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為0的點，問題中面積之和的最小值顯然存在，第27頁/共34頁規(guī)律與方法1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.2.正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路.另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應(yīng)用.返回第28頁/共34頁1234解析答案練習(xí).某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；第29頁/共34頁1234解設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].第30頁/共34頁1234(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解根據(jù)(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x[0,2)2(2,12)12(