浙江省溫州市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題B卷含解析

PAGE浙江省溫州市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（B卷）（含解析）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知，，則＝（）A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）2．已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A． B． C． D．3．某高中共有30個(gè)班級(jí)，每班40人，每班選派2人參加反詐騙知識(shí)調(diào)查活動(dòng)，在此次調(diào)查活動(dòng)中樣本量是（）A．40 B．60 C．80 D．12004．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩枚正面朝上的概率是（）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，b＝2，，則B等于（）A． B． C． D．6．法國(guó)羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高21m，底寬34m，則塔身的表面積（精確到0.01m2）是（）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：272＝729，342＝1156）A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m27．已知直線(xiàn)m，n分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則下列結(jié)論成立的是（）A．若m∥n，則α∥β B．若m⊥n，則α⊥β C．若m與n相交，則α與β相交 D．若α與β相交，則m與n相交8．已知△ABC中，邊AB的中線(xiàn)CD長(zhǎng)為3，若對(duì)?x∈[0，1]，恒成立，則（）A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個(gè)，每次取一個(gè)，有放回地抽取兩次，設(shè)事件A＝“第一次取到紅球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列說(shuō)法正確的是（）A．A與B相等 B．A與B是互斥事件 C．A與B是對(duì)立事件 D．P（A）＝P（B）10．某市教育局為了解疫情時(shí)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名高中學(xué)生，對(duì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A．這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6～8小時(shí)的人數(shù)有100人 B．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí) C．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)為9.2小時(shí) D．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)11．如果，是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么下列說(shuō)法正確的是（）A．若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ＝μ＝0 B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）有無(wú)窮多個(gè) C．若向量與共線(xiàn)（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），則λ1?μ2﹣λ2?μ1＝0 D．若向量與垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），則λ1?λ2+μ1?μ2＝012．已知正四面體D﹣ABC，點(diǎn)E、F分別為棱CD、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)EM＝x，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角隨x的增大而增大 B．直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角隨x的增大而減小 C．直線(xiàn)DM與平面ABD所成角隨x的增大而增大 D．直線(xiàn)DM與平面ABD所成角隨x的增大而減小三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四邊形ABCD斜二測(cè)畫(huà)法的直觀(guān)圖，梯形A'B'C'D'的面積為，∠D'A'B'＝45°，則原四邊形ABCD的面積為．14．若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，則|z﹣i|的最小值為．15．截止至目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀(guān)測(cè)旁邊山頂上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，該同學(xué)在公路D、E兩點(diǎn)處測(cè)得基站頂部A處的仰角分別為30°、45°，且∠DCE＝150°．該同學(xué)沿著公路的邊緣從D處走至E處一共走了700m．則山高BC為m．（該同學(xué)的身高忽略不計(jì)）16．已知四邊形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，點(diǎn)P在A(yíng)BCD內(nèi)部（包含邊界），則PA?PB的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1，﹣2），（﹣2，1）．（1）求的值；（2）若z1是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD滿(mǎn)足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．（1）設(shè)點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，證明：BE∥平面PDC；（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l，證明：l⊥平面PDC．19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．（1）求邊b的長(zhǎng)；（2）在①，②，③c＝2，這三個(gè)中任選一個(gè)作為補(bǔ)充條件，判斷△ABC的面積S＞2是否成立？說(shuō)明理由．20．本著健康、低碳的生活，租共享電動(dòng)自行車(chē)出行的人越來(lái)越多，某共享電動(dòng)自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)2元（20分鐘及以?xún)?nèi)），超過(guò)20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元（不足10分鐘的部分按10分鐘計(jì)算）．現(xiàn)有甲、乙、丙三人來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)是相互獨(dú)立的（各租一車(chē)一次），設(shè)甲、乙、丙不超過(guò)20分鐘還車(chē)的概率分別為、、，20分鐘以上且不超過(guò)30分鐘還車(chē)的概率分別為、、，三人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)40分鐘．（1）求甲、乙、丙三人中恰有兩人租車(chē)費(fèi)用為3元的概率；（2）求甲、乙、丙三人的租車(chē)費(fèi)用不完全相同的概率．21．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，．（1）求的值；（2）若，當(dāng)取得最大值時(shí)，求以，為鄰邊的三角形面積．22．如圖1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中點(diǎn)，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，現(xiàn)沿AD將△ABC折成二面角B'﹣AD﹣C，如圖2．（1）若折成直二面角B'﹣AD﹣C，求B'E的長(zhǎng)度；（2）若∠B'DC＝90°，求直線(xiàn)DE與平面B'AC所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知，，則＝（）A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【分析】通過(guò)平面向量加法坐標(biāo)運(yùn)算可解決此題．解：由，，得＝（1+2，0+3）＝（3，3）．故選：B．2．已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A． B． C． D．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z得答案．解：＝，則z的虛部為：．故選：D．3．某高中共有30個(gè)班級(jí)，每班40人，每班選派2人參加反詐騙知識(shí)調(diào)查活動(dòng)，在此次調(diào)查活動(dòng)中樣本量是（）A．40 B．60 C．80 D．1200【分析】利用樣本抽樣的性質(zhì)直接求解．解：某高中共有30個(gè)班級(jí)，每班40人，每班選派2人參加反詐騙知識(shí)調(diào)查活動(dòng)，在此次調(diào)查活動(dòng)中樣本量是：n＝2×30＝60．故選：B．4．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩枚正面朝上的概率是（）A． B． C． D．【分析】同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，利用列舉法求出基本事件有4種，出現(xiàn)兩枚正面朝上包含的基本事件只有1種，由此能求出出現(xiàn)兩枚正面朝上的概率．解：同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種，出現(xiàn)兩枚正面朝上包含的基本事件只有1種：（正，正），則出現(xiàn)兩枚正面朝上的概率P＝．故選：A．5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，b＝2，，則B等于（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合正弦定理，可得sinB值，進(jìn)而得到答案．解：∵在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，b＝2，，∴由正弦定理得：＝，即＝，解得：sinB＝，又由0＜B≤，故B＝，故選：B．6．法國(guó)羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高21m，底寬34m，則塔身的表面積（精確到0.01m2）是（）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：272＝729，342＝1156）A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m2【分析】由題意可得正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高，代入棱錐體積公式求解．解：如圖，正四棱錐P﹣ABCD，PO⊥底面ABCD，PO＝21m，AB＝34m，則AO＝AB＝17，所以AP＝＝，作PE⊥AB，則PE＝＝所以該四棱錐的表面積S＝4×AB×PE＝68≈1837.26故選：C．7．已知直線(xiàn)m，n分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則下列結(jié)論成立的是（）A．若m∥n，則α∥β B．若m⊥n，則α⊥β C．若m與n相交，則α與β相交 D．若α與β相交，則m與n相交【分析】由空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：m?α，n?β，若m∥n，則α∥β或α與β相交，故A錯(cuò)誤；若m⊥n，則α∥β或α與β相交，相交也不一定平行，故B錯(cuò)誤；若m與n相交，則α與β必有交點(diǎn)，得α與β相交，故C正確；若α與β相交，則m與n平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤．故選：C．8．已知△ABC中，邊AB的中線(xiàn)CD長(zhǎng)為3，若對(duì)?x∈[0，1]，恒成立，則（）A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°【分析】設(shè)P為邊AB上一點(diǎn)，則，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（a，0），P（b，0）（b∈[0，a]），，可得恒成立，則，由此可得出結(jié)論．解：設(shè)P為邊AB上一點(diǎn)，則依題意有，，如圖，設(shè)B（a，0），P（b，0）（b∈[0，a]），，∴，則，∴＝恒成立，∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，即，∴CD⊥AB，又D為AB中點(diǎn)，∴CA＝CB．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個(gè)，每次取一個(gè)，有放回地抽取兩次，設(shè)事件A＝“第一次取到紅球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列說(shuō)法正確的是（）A．A與B相等 B．A與B是互斥事件 C．A與B是對(duì)立事件 D．P（A）＝P（B）【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件、相等事件的定義判斷選項(xiàng)A，B，C，求出A和B的概率，即可判斷選項(xiàng)D．解：因?yàn)槭录嗀與事件B是兩個(gè)不同的事件，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B不同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)槭录嗀與B兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，所以A與B是對(duì)立事件，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．10．某市教育局為了解疫情時(shí)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名高中學(xué)生，對(duì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A．這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6～8小時(shí)的人數(shù)有100人 B．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí) C．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)為9.2小時(shí) D．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)【分析】根據(jù)頻率分布圖，直接求解．解：由圖可得，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6～8小時(shí)的頻率為0.1×2＝0.2，這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6～8小時(shí)的人數(shù)有1000×0.2＝200，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為8～10小時(shí)的頻率為0.25×2＝0.05×2+0.1×2+0.1×2，即該時(shí)段的頻率最大，故估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為小時(shí)，故選項(xiàng)B正確，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為4～6小時(shí)的頻率為0.05×2＝0.1，即0.1×1000＝100人，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6～8小時(shí)的頻率為0.1×2＝0.2，即0.2×1000＝200人，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為8～9.2小時(shí)的頻率為0.25×0.12＝0.3，即0.3×1000＝300人，即該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)為9.2小時(shí)，故選項(xiàng)C正確，每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為10～12小時(shí)的頻率為0.1×2＝0.2，＝．故選：BCD．11．如果，是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么下列說(shuō)法正確的是（）A．若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ＝μ＝0 B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）有無(wú)窮多個(gè) C．若向量與共線(xiàn)（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），則λ1?μ2﹣λ2?μ1＝0 D．若向量與垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），則λ1?λ2+μ1?μ2＝0【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)判斷A，C，根據(jù)平面向量基本定理判斷B，根據(jù)向量垂直判斷D．解：A：若λ，μ有一個(gè)不為0，不妨設(shè)λ不等于0，則＝﹣，∴與共線(xiàn)，這與，不共線(xiàn)矛盾，∴λ＝μ＝0，∴A正確，B：根據(jù)平面向量基本定理可知，如果一個(gè)平面的基底確定，那任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)都是唯一的，∴B錯(cuò)誤，C：∵與共線(xiàn)，∴＝λ（），∴，∴λ1μ2﹣λ2μ1＝0，∴C正確，D：∵與垂直，∴（）?（）＝0，∴（λ1λ2+λ1μ2+λ2μ1+μ2μ1）（?）＝0，∴λ1λ2+λ1μ2+λ2μ1+μ2μ1＝0，∴D錯(cuò)誤．故選：AC．12．已知正四面體D﹣ABC，點(diǎn)E、F分別為棱CD、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)EM＝x，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角隨x的增大而增大 B．直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角隨x的增大而減小 C．直線(xiàn)DM與平面ABD所成角隨x的增大而增大 D．直線(xiàn)DM與平面ABD所成角隨x的增大而減小【分析】因?yàn)镋F∥DA，將直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)EF與BM所成角進(jìn)行討論．因?yàn)镋F∥平面ABD，所以M點(diǎn)到平面ADB的距離不變，直線(xiàn)DM與平面ABD所成角只與DM的長(zhǎng)度有關(guān)．解：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為DC，AC的中點(diǎn)，所以EF∥DA，所以直線(xiàn)DA與直線(xiàn)MB所成角等于直線(xiàn)EF與BM所成角．在等腰△BEF中，直線(xiàn)EF與BM所成角隨著x的增大先增大，再減小，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到EF中點(diǎn)時(shí)取到最大值，故A，B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤．設(shè)M點(diǎn)到平面ABD的距離為d，直線(xiàn)DM與平面ABD所成角為α，則sinα＝．因?yàn)镋F∥平面ABD，所以隨著x的增大，d保持不變，|MD|在增大，所以sinα的值在減少，即α隨著x的增大而減小，故C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，D說(shuō)法正確．故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四邊形ABCD斜二測(cè)畫(huà)法的直觀(guān)圖，梯形A'B'C'D'的面積為，∠D'A'B'＝45°，則原四邊形ABCD的面積為2．【分析】根據(jù)水平放置的平面直觀(guān)圖形面積S′與原平面圖形的面積S的比為1：2，由此求出即可．解：因?yàn)樗椒胖玫钠矫嬷庇^(guān)圖形A'B'C'D'的面積為，所以原四邊形ABCD的面積為S＝2S′＝2×＝2．故答案為：2．14．若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，則|z﹣i|的最小值為．【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算求解即可．解：因?yàn)椋裕剑?，所以|z﹣i|的最小值為．故答案為：．15．截止至目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀(guān)測(cè)旁邊山頂上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，該同學(xué)在公路D、E兩點(diǎn)處測(cè)得基站頂部A處的仰角分別為30°、45°，且∠DCE＝150°．該同學(xué)沿著公路的邊緣從D處走至E處一共走了700m．則山高BC為100﹣40m．（該同學(xué)的身高忽略不計(jì)）【分析】設(shè)BC＝x，則AC＝40+x，然后利用直角三角形ACD，直角三角形ACE，結(jié)合三角函數(shù)的定義表示出CD，CE，最后在三角形CDE中，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程求解即可．解：如圖，設(shè)BC＝x，則AC＝40+x，又由已知得△ACD，△ACE為直角三角形，且∠ADC＝30°，∠AEC＝45°，所以由△ACD，△ACE為直角三角形得：＝，＝1，解得，DE＝x+40，在三角形CDE中，又∠DCE＝150°，DE＝700，由余弦定理得：CE2＝CD2+CE2﹣2CD?CEcos∠DCE，即（x+40）2+3（x+40）2＝7002，解得x＝100．故答案為：．16．已知四邊形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，點(diǎn)P在A(yíng)BCD內(nèi)部（包含邊界），則PA?PB的最大值為7．【分析】由基本不等式可得PA?PB≤，當(dāng)且僅當(dāng)PA＝PB時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)PA＝PB時(shí)，PA?PB最大，結(jié)合圖象即可求解．解：因?yàn)镻A?PB≤，當(dāng)且僅當(dāng)PA＝PB時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)PA＝PB時(shí)，PA?PB最大，所以如圖，當(dāng)P在CD邊，且在過(guò)AB邊的中點(diǎn)F所作的垂直于A(yíng)B的直線(xiàn)上時(shí)，PA?PB能取最大值，因?yàn)锳D＝2，∠DAB＝，所以DE＝，所以PA＝PB＝＝，所以PA?PB＝7．故答案為：7．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1，﹣2），（﹣2，1）．（1）求的值；（2）若z1是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，可得實(shí)系數(shù)的一元二次方程的兩虛根為共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．解：（1）∵復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1，﹣2），（﹣2，1），∴z1＝1﹣2i，z2＝﹣2+i，∴，∴＝（1﹣2i）（﹣2﹣i）＝﹣2﹣i+4i+2i2＝﹣4+3i．（2）∵z1是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個(gè)根易知也為方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，∴，，∴p＝﹣2，q＝5．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD滿(mǎn)足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．（1）設(shè)點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，證明：BE∥平面PDC；（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l，證明：l⊥平面PDC．【分析】（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF，BF，推導(dǎo)出EF∥PD，BF∥CD，從而平面BEF∥平面CDP，由此能證明BE∥平面PDC．（2）推導(dǎo)出AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥AD，從而AD⊥平面PDC，由AD∥BC，平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l，得到l∥AD，由此能證明l⊥平面PDC．【解答】證明：（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵AD＝2BC，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，∴EF∥PD，BF∥CD，∵EF∩BF＝F，PD∩CD＝D，∴平面BEF∥平面CDP，∵BE?平面BEF，∴BE∥平面PDC．（2）∵四棱錐P﹣ABCD滿(mǎn)足∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD∥BC，AD⊥DC，∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，∵∵PD∩DC＝D，PD、DC?平面PDC，∴AD⊥平面PDC，∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l，∴l(xiāng)∥AD，∴l(xiāng)⊥平面PDC．19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．（1）求邊b的長(zhǎng)；（2）在①，②，③c＝2，這三個(gè)中任選一個(gè)作為補(bǔ)充條件，判斷△ABC的面積S＞2是否成立？說(shuō)明理由．【分析】（1）利用余弦定理對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，即可得解；（2）選擇條件①：先由余弦定理求出c的值，再由S＝bcsinA，得解；選擇條件②：先由余弦定理求出c的值，而sinB＝，再由S＝acsinB，得解；選擇條件③：先由余弦定理求出cosA，而sinA＝，再由S＝bcsinA，得解．解：（1）由余弦定理和acosC+ccosA＝2，知a?+c?＝2，化簡(jiǎn)得＝2，∴b＝2．（2）選擇條件①：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴7＝4+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或﹣1（舍負(fù)），∴S＝bcsinA＝×2×3×＝＞2，故△ABC的面積S＞2成立．選擇條件②：由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，∴4＝7+c2﹣2c?，化簡(jiǎn)得c2﹣2c+3＝0，∴c＝，而sinB＝＝＝，∴S＝acsinB＝×××＝＜2，故△ABC的面積S＞2不成立．選擇條件③：由余弦定理知，cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝＝＝，∴S＝bcsinA＝×2×2×＝＜2，故△ABC的面積S＞2不成立．20．本著健康、低碳的生活，租共享電動(dòng)自行車(chē)出行的人越來(lái)越多，某共享電動(dòng)自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)2元（20分鐘及以?xún)?nèi)），超過(guò)20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元（不足10分鐘的部分按10分鐘計(jì)算）．現(xiàn)有甲、乙、丙三人來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)是相互獨(dú)立的（各租一車(chē)一次），設(shè)甲、乙、丙不超過(guò)20分鐘還車(chē)的概率分別為、、，20分鐘以上且不超過(guò)30分鐘還車(chē)的概率分別為、、，三人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)40分鐘．（1）求甲、乙、丙三人中恰有兩人租車(chē)費(fèi)用為3元的概率；（2）求甲、乙、丙三人的租車(chē)費(fèi)用不完全相同的概率．【分析】（1）根據(jù)已知條件，先分類(lèi)討論，再分布討論，即可求解．解：（1）甲、乙、丙兩人的租車(chē)費(fèi)用恰有兩個(gè)費(fèi)用為3元，則有三種可能，①甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用為3元，丙不是3元，概率為，②甲、丙兩人租車(chē)費(fèi)用為3元，乙不是3元，概率為，③乙、丙兩人租車(chē)費(fèi)用為3元，甲不是3元，概率為，則、乙、丙三人中恰有兩人租車(chē)費(fèi)用為3元的概率為P＝．（2）由題意可得，甲、乙、丙30分鐘以上且不超過(guò)40分鐘還車(chē)的概率分別為，甲、乙、丙三人的租車(chē)費(fèi)用完全相同的概率為P＝，甲、乙、丙三人的租車(chē)費(fèi)用不完全相同的概率為1﹣＝．21．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，．（1）求的值；（2）若，當(dāng)取得最大值時(shí)，求以，為鄰邊的三角形面積．【分析】（1）將平方，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可得解；（2）設(shè)，易知當(dāng)經(jīng)過(guò)圓的圓心即AB的中點(diǎn)D時(shí)，取得最大值，再結(jié)合圖形求得以為鄰邊的三角形面積．解：（1）∵，，，∴＝，∴，則；（2）設(shè)，則依題意，，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，顯然，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓的圓心即AB的中點(diǎn)D時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，∴，∴△BCD為等邊三角形，以為鄰邊的三角形為△BOC，∴．22．如圖1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中