D常系數(shù)非齊次線性微分方程

會(huì)計(jì)學(xué)1D常系數(shù)非齊次線性微分方程一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項(xiàng)式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共18頁(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共18頁例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共18頁例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共18頁二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共18頁第一步利用歐拉公式將f(x)變形機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共18頁

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共18頁第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項(xiàng)式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共18頁第四步分析因均為

m

次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共18頁小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共18頁例3.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共18頁例4.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共18頁內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共18頁思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共18頁2.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共18頁3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共18頁作業(yè)P3171