2016教師招聘-5月10矩陣行列式

矩陣的定義

由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對角線副對角線例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.例如是一個(gè)3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.全為12.兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.例

設(shè)解１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為說明

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1、定義二、數(shù)與矩陣相乘例如2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）１、定義并把此乘積記作三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中例１設(shè)例2故解注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則但也有例外，比如設(shè)則有例3

計(jì)算下列乘積：解解=(）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例5已知解法1解法2

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計(jì)算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．例解方程左端一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．2、方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.故同理可得則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.一、概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，

（或稱的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中

的1，那么，對于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得二、逆矩陣的概念和性質(zhì)

定義

對于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)說明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即例設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因?yàn)樗远ɡ?

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義例1求方陣的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法同理可得故解例2例3解給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得給方程兩端左乘矩陣得給方程兩端右乘矩陣一、矩陣的分塊

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.例即即二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則例分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):例1設(shè)解則又于是例2其中其中例3設(shè)解引例消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)用矩陣的初等行變換解方程組（1）：特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例如，特點(diǎn)：

所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡單的矩陣.定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.一、初等矩陣的概念

定理1設(shè)是一個(gè)矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.二、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣

定理2設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣證即利用初等變換求逆陣的方法：

解例１即初等行變換例２解列變換列變換例5解分析：一、線性方程組有解的判定條件問題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個(gè)則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個(gè)方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設(shè).個(gè)自由未知量從而知其有rn-任取一個(gè)自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個(gè)非零解.證必要性．,有解設(shè)方程組bAx=()(),BRAR<設(shè)則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對應(yīng)矛盾方程０＝１，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此并令個(gè)自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個(gè)解．充分性.()(),BRAR=設(shè)()()(),nrrBRAR￡==設(shè)證畢其余個(gè)作為自由未知量,

把這

行的第一個(gè)非零元所對應(yīng)的未知量作為非自由未知量,小結(jié)有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；例1

求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法即得與原方程組同解的方程組由此即得例