大學物理學-第3版習題五（課后試題解答）

...wd......wd......wd...習題五5-1振動和波動有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動曲線和波形曲線有什么不同?解:(1)振動是指一個孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復運動，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程，此時介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標位置，又是時間的函數(shù)，即．(2)在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間，它描述的是介質(zhì)中一個質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個獨立變量，即坐標位置和時間，它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規(guī)律．當諧波方程中的坐標位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)不斷地振動又是產(chǎn)生波動的必要條件之一．(3)振動曲線描述的是一個質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．每一幅圖只能給出某一時刻質(zhì)元的位移隨坐標位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖．5-2波動方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos()，又是什么意思?如果和均增加，但相應(yīng)的［()+］的值不變，由此能從波動方程說明什么?解:波動方程中的表示了介質(zhì)中坐標位置為的質(zhì)元的振動落后于原點的時間；那么表示處質(zhì)元比原點落后的振動位相；設(shè)時刻的波動方程為那么時刻的波動方程為其表示在時刻，位置處的振動狀態(tài)，經(jīng)過后傳播到處．所以在中，當，均增加時，的值不會變化，而這正好說明了經(jīng)過時間，波形即向前傳播了的距離，說明描述的是一列行進中的波，故謂之行波方程．5-3波在介質(zhì)中傳播時，為什么介質(zhì)元的動能和勢能具有一樣的位相，而彈簧振子的動能和勢能卻沒有這樣的特點?解:我們在討論波動能量時，實際上討論的是介質(zhì)中某個小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動動能當然是指質(zhì)元振動動能，其與振動速度平方成正比，波動勢能那么是指介質(zhì)的形變勢能．形變勢能由介質(zhì)的相對形變量(即應(yīng)變量)決定．如果取波動方程為，那么相對形變量(即應(yīng)變量)為.波動勢能那么是與的平方成正比．由波動曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動動能有極小(此處振動速度為零)，而在該處的應(yīng)變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動勢能也為極??；在平衡位置處波動動能為極大(該處振動速度的極大)，而在該處的應(yīng)變也是最大(該處是曲線的拐點)，當然波動勢能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動動能與波動勢能是同步變化的，即具有一樣的量值．題5-3圖對于一個孤立的諧振動系統(tǒng)，是一個孤立的保守系統(tǒng)，機械能守恒，即振子的動能與勢能之和保持為一個常數(shù)，而動能與勢能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動能和勢能不可能同步變化．5-4波動方程中，坐標軸原點是否一定要選在波源處?=0時刻是否一定是波源開場振動的時刻?波動方程寫成=cos()時，波源一定在坐標原點處嗎?在什么前提下波動方程才能寫成這種形式?解:由于坐標原點和開場計時時刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動方程中，坐標原點不一定要選在波源處，同樣，的時刻也不一定是波源開場振動的時刻；當波動方程寫成時，坐標原點也不一定是選在波源所在處的．因為在此處對于波源的含義已做了拓展，即在寫波動方程時，我們可以把介質(zhì)中某一點的振動視為波源，只要把振動方程為的點選為坐標原點，即可得題示的波動方程．5-5在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上，描述各質(zhì)點振動的什么物理量不同，什么物理量一樣?解:取駐波方程為，那么可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上，描述各質(zhì)點的振幅是不一樣的，各質(zhì)點的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長上，各質(zhì)點的振動位相那么是一樣的，即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段，同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點都有一樣的振動位相，而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點振動位相那么相反．5-6波源向著觀察者運動和觀察者向波源運動都會產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng)，這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運動時，波面將被擠壓，波在介質(zhì)中的波長，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完整數(shù)目()會增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運動時，波面形狀不變，但觀察者測到的波速增大，即，因而單位時間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會增多，即接收頻率也將增高．簡單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長)使頻率增高，后者那么是觀察者的運動使得單位時間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率．題5-6圖多普勒效應(yīng)5-7一平面簡諧波沿軸負向傳播，波長=1.0m，原點處質(zhì)點的振動頻率為=2.0Hz，振幅＝0.1m，且在=0時恰好通過平衡位置向軸負向運動，求此平面波的波動方程．解:由題知時原點處質(zhì)點的振動狀態(tài)為，故知原點的振動初相為,取波動方程為那么有5-8波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程；(3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差．解:(1)平面簡諧波的波動方程()將上式與波動方程的標準形式比較，可知：波振幅為，頻率，波長，波速，波動周期．(2)將代入波動方程即可得到該點的振動方程(3)因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為將，及代入上式，即得．5-9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=0.05cos(10)，式中,以米計，以秒計．求：(1)波的波速、頻率和波長；(2)繩子上各質(zhì)點振動時的最大速度和最大加速度；(3)求=0.2m處質(zhì)點在=1s時的位相，它是原點在哪一時刻的位相?這一位相所代表的運動狀態(tài)在=1.25s時刻到達哪一點?解:(1)將題給方程與標準式相比，得振幅，頻率，波長，波速．(2)繩上各點的最大振速，最大加速度分別為(3)m處的振動比原點落后的時間為故,時的位相就是原點()，在時的位相，即π．設(shè)這一位相所代表的運動狀態(tài)在s時刻到達點，那么5-10如題5-10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時刻的波形曲線．(1)假設(shè)波沿軸正向傳播，該時刻，，，各點的振動位相是多少?(2)假設(shè)波沿軸負向傳播，上述各點的振動位相又是多少?解:(1)波沿軸正向傳播，那么在時刻，有題5-10圖對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴(取負值：表示點位相，應(yīng)落后于點的位相)(2)波沿軸負向傳播，那么在時刻，有對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴(此處取正值表示點位相超前于點的位相)5-11一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5m·s-1，波長為2m，原點處質(zhì)點的振動曲線如題5-11圖所示．(1)寫出波動方程；(2)作出=0時的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點的振動曲線．解:(1)由題5-11(a)圖知，m，且時，，∴，又，那么題5-11圖(a)取，那么波動方程為(2)時的波形如題5-11(b)圖題5-11圖(b)題5-11圖(c)將m代入波動方程，得該點處的振動方程為如題5-11(c)圖所示．5-12如題5-12圖所示，=0時和=0.5s時的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b)，波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求：(1)波動方程；(2)點的振動方程．解:(1)由題5-12圖可知，，，又，時，，∴，而，，∴故波動方程為(2)將代入上式，即得點振動方程為題5-12圖5-13一列機械波沿軸正向傳播，=0時的波形如題5-13圖所示，波速為10m·s-1，波長為2m，求：(1)波動方程；(2)點的振動方程及振動曲線；(3)點的坐標；(4)點回到平衡位置所需的最短時間．解:由題5-13圖可知，時，，∴，由題知，，那么∴(1)波動方程為題5-13圖(2)由圖知，時，，∴(點的位相應(yīng)落后于點，故取負值)∴點振動方程為(3)∵∴解得(4)根據(jù)(2)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題5-13圖(a)，那么由點回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角題5-13圖(a)∴所屬最短時間為5-14如題5-14圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播，P點的振動方程為=cos()．(1)分別就圖中給出的兩種坐標寫出其波動方程；(2)寫出距點距離為的點的振動方程．解:(1)如題5-14圖(a)，那么波動方程為如圖(b)，那么波動方程為題5-14圖(2)如題5-14圖(a)，那么點的振動方程為如題5-14圖(b)，那么點的振動方程為5-15平面簡諧波的波動方程為(SI)．(1)寫出=4.2s時各波峰位置的坐標式，并求此時離原點最近一個波峰的位置，該波峰何時通過原點?(2)畫出=4.2s時的波形曲線．解:(1)波峰位置坐標應(yīng)滿足解得(…)所以離原點最近的波峰位置為．∵故知,∴，這就是說該波峰在前通過原點，那么從計時時刻算起，那么應(yīng)是，即該波峰是在時通過原點的．題5-15圖(2)∵，∴，又處，時，又，當時，，那么應(yīng)有解得，故時的波形圖如題5-15圖所示5-16題5-16圖中(a)表示=0時刻的波形圖，(b)表示原點(=0)處質(zhì)元的振動曲線，試求此波的波動方程，并畫出=2m處質(zhì)元的振動曲線．解:由題5-16(b)圖所示振動曲線可知,，且時，，故知,再結(jié)合題5-16(a)圖所示波動曲線可知，該列波沿軸負向傳播，且，假設(shè)取題5-16圖那么波動方程為5-17一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強度為18.0×10-3J·m-2·s-1，頻率為300Hz，波速為300m·s-1，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)兩個相鄰同相面之間有多少波的能量?解:(1)∵∴(2)5-18如題5-18圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求：(1)外側(cè)各點的合振幅和強度；(2)外側(cè)各點的合振幅和強度解：〔1〕在外側(cè)，距離為的點，傳到該點引起的位相差為〔2〕在外側(cè).距離為的點，傳到該點引起的位相差.5-19如題5-19圖所示，設(shè)點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為;點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為，此題中以m計，以s計．設(shè)＝0.4m，＝0.5m，波速=0.2m·s-1，求：(1)兩波傳到P點時的位相差；(2)當這兩列波的振動方向一樣時，處合振動的振幅；*(3)當這兩列波的振動方向互相垂直時，處合振動的振幅．解:(1)題5-19圖(2)點是相長干預(yù)，且振動方向一樣，所以(3)假設(shè)兩振動方向垂直，又兩分振動位相差為，這時合振動軌跡是通過Ⅱ，Ⅳ象限的直線，所以合振幅為5-20一平面簡諧波沿軸正向傳播，如題5-20圖所示．振幅為，頻率為波速為．(1)假設(shè)=0時，原點處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運動，寫出此波的波動方程；(2)假設(shè)從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動方程，并求軸上因入射波與反射波干預(yù)而靜止的各點的位置．解:(1)∵時，，∴故波動方程為m題5-20圖(2)入射波傳到反射面時的振動位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為假設(shè)仍以點為原點，那么反射波在點處的位相為，因只考慮以內(nèi)的位相角，∴反射波在點的位相為，故反射波的波動方程為此時駐波方程為故波節(jié)位置為故(…)根據(jù)題意，只能取，即5-20一駐波方程為=0.02cos20cos750(SI)，求：(1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間距離．解:(1)取駐波方程為故知，那么，∴(2)∵所以相鄰兩波節(jié)間距離5-22在弦上傳播的橫波，它的波動方程為=0.1cos(13+0.0079)(SI)試寫出一個波動方程，使它表示的波能與這列的橫波疊加形成駐波，并在=0處為波節(jié)．解:為使合成駐波在處形成波節(jié)，那么要反射波在處與入射波有的位相差，故反射波的波動方程為5-23兩列波在一根很長的細繩上傳播，它們的波動方程分別為=0.06cos()(SI),=0.06cos()(SI)．(1)試證明繩子將作駐波式振動，并求波節(jié)、波腹的位置；(2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解:(1)它們的合成波為出現(xiàn)了變量的別離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動．令，那么，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；令,那么，…，此即波節(jié)的位置．(2)波腹處振幅最大，