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文檔簡(jiǎn)介
2022年湖北省襄樊市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.
2.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex
B.y=e-x
C.y=Cex
D.y=Ce-x
3.
4.
5.設(shè)f(x)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則曲線y=f(x)與直線x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.
B.
C..
D.不能確定
6.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,π]上滿足羅爾定理的ξ等于().A.A.0B.π/4C.π/2D.π
7.A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關(guān)
8.A.6YB.6XYC.3XD.3X^2
9.
10.A.A.π/4
B.π/2
C.π
D.2π
11.已知函數(shù)f(x)的定義域是[一1,1],則f(x一1)的定義域?yàn)?)。
A.[一1,1]B.[0,2]C.[0,1]D.[1,2]12.
13.
14.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.215.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),則等于()A.A.
B.
C.
D.
16.
17.
18.曲線y=x-3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為()
A.-1B.-2C.-3D.-4
19.
A.2B.1C.1/2D.0
20.
二、填空題(20題)21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.29.
30.
31.設(shè)z=sin(x2+y2),則dz=________。
32.
33.若∫x0f(t)dt=2e3x-2,則f(x)=________。
34.
35.設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,則該切線方程為.
36.37.微分方程y"-y'-2y=0的通解為______.
38.
39.40.微分方程y'+9y=0的通解為______.三、計(jì)算題(20題)41.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.42.證明:43.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).
44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
45.
46.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
47.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
48.49.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.50.51.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則52.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
53.
54.
55.
56.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).57.58.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.59.求微分方程的通解.60.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.四、解答題(10題)61.設(shè)x2為f(x)的原函數(shù).求.62.63.(本題滿分10分)
64.
65.計(jì)算66.67.求68.
69.
70.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.
求dy。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.A解析:
2.D可以將方程認(rèn)作可分離變量方程;也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程;還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程,并作為特例求解。解法1將方程認(rèn)作可分離變量方程。分離變量
兩端分別積分
或y=Ce-x解法2將方程認(rèn)作一階線性微分方程.由通解公式可得解法3認(rèn)作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解:特征方程為r+1=0,特征根為r=-1,方程通解為y=Ce-x。
3.B解析:
4.A解析:
5.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應(yīng)選B。常見的錯(cuò)誤是選C。如果畫個(gè)草圖,則可以避免這類錯(cuò)誤。
6.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為羅爾定理的條件與結(jié)論.
由于y=sinx在[0,π]上連續(xù),在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),且y|x=0=0=y|x=π,可知y=sinx在[0,π]上滿足羅爾定理,因此必定存在ξ∈(0,π),使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0,從而應(yīng)有.
故知應(yīng)選C.
7.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性。
8.D
9.D
10.B
11.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。
12.B
13.C
14.D
15.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的性質(zhì);牛-萊公式.
可知應(yīng)選D.
16.D解析:
17.C
18.C由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,若y=f(x)可導(dǎo),則曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處必定存在切線,且該切線的斜率為f"(x0)。由于y=x-3,y"=-3x-4,y"|x=1=-3,可知曲線y=x-3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為-3,故選C。
19.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式與無(wú)窮小量的性質(zhì).
20.A
21.本題考查了一元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。
22.
23.
解析:
24.
25.
26.(-∞2)(-∞,2)解析:
27.(03)(0,3)解析:
28.
29.e2
30.e
31.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)
32.
解析:
33.6e3x
34.35.y=f(1).
本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè):-是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二是求切線方程.
設(shè)切點(diǎn)為(x0,f(x0)),則曲線y=f(x)過(guò)該點(diǎn)的切線方程為
y-f(x0)=f(x0)(x-x0).
由題意可知x0=1,且在(1,f(1))處曲線y=f(x)的切線平行于x軸,因此應(yīng)有f(x0)=0,故所求切線方程為
y—f(1)=0.
本題中考生最常見的錯(cuò)誤為:將曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程寫為
y-f(x0)=f(x)(x-x0)
而導(dǎo)致錯(cuò)誤.本例中錯(cuò)誤地寫為
y-f(1)=f(x)(x-1).
本例中由于f(x)為抽象函數(shù),-些考生不習(xí)慣于寫f(1),有些人誤寫切線方程為
y-1=0.
36.237.y=C1e-x+C2e2x本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階線性常系數(shù)微分方程的求解.
特征方程為r2-r-2=0,
特征根為r1=-1,r2=2,
微分方程的通解為y=C1e-x+C2ex.
38.
39.40.y=Ce-9x本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解可分離變量微分方程.
分離變量
兩端分別積分
lny=-9x+C1,y=Ce-9x.
41.
42.
43.
44.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
45.
46.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
47.
48.
49.
50.51.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知52.由二重積分物理意義知
53.
54.
則
55.由一階線性微分方程通解公式有
56.
列表:
說(shuō)明
57.
58.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
59.60.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
61.解法1
由于x2為f(x)的原函數(shù),因此
解法2由于x2為f(x)的原函數(shù),因此
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的計(jì)算.
62.63.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分運(yùn)算和選擇二次積分次序.
64.
65.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的換元積分運(yùn)算.
66.
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