上海民辦平和學(xué)校2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海民辦平和學(xué)校2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

▲

參考答案：略2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A．y=﹣x2+2x B．y=x+ C．y=2x﹣2﹣x D．y=1﹣參考答案：B【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的特點，以及增函數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．【解答】解：A．y=﹣x2+2x的圖象不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；B.的定義域為{x|x≠0}，且；∴該函數(shù)為奇函數(shù)；，x∈（0，1]時，y′≤0；∴該函數(shù)在（0，1]上單調(diào)遞減，∴該選項正確；C．y=2x﹣2﹣x，x增大時，﹣x減小，2﹣x減小，﹣2﹣x增大，且2x增大，∴y增大；∴該函數(shù)在（0，1]上單調(diào)遞增，∴該選項錯誤；D．y=1﹣的定義域為[0，+∞），不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤．故選：B．【點評】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的特點，奇函數(shù)的圖象的對稱性，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，增函數(shù)的定義．3.若扇形圓心角的弧度數(shù)為2，且扇形弧所對的弦長也是2，則這個扇形的面積為（

）A. B. C. D.參考答案：A分析：求出扇形的半徑，然后利用扇形的面積公式求解即可.詳解：由題意得扇形的半徑為：又由扇形面積公式得該扇形的面積為：.故選：A.點睛：本題是基礎(chǔ)題，考查扇形的半徑的求法、面積的求法，考查計算能力，注意扇形面積公式的應(yīng)用.4.若A為△ABC內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是：(

)A.

sinA B.

cosA

C.

tanA

D.

sin2A參考答案：A略5.函數(shù)是（

）A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既奇又偶

D.非奇非偶參考答案：A6.過點的圓的切線方程是（

）A. B.或C.或 D.或參考答案：D【分析】先由題意得到圓的圓心坐標(biāo)，與半徑，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設(shè)過點與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【點睛】本題主要考查求過圓外一點的切線方程，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點到直線距離公式即可求解，屬于?？碱}型.7.函數(shù)，則滿足的解集為（▲） A． B． C． D．參考答案：A略8.已知函數(shù)f（x+1）=3x+2，則f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4參考答案：A【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】通過變換替代進(jìn)行求解【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故答案是：A9.集合M={x|x2﹣x﹣6≥0}，集合N={x|﹣3≤x≤1}，則N∩（?RM）等于（）A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．[﹣3，3） D．（﹣2，3）參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】化簡集合M，根據(jù)補集與交集的定義寫出N∩（?RM）即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≤﹣2或x≥3}，集合N={x|﹣3≤x≤1}，則?RM={x|﹣2＜x＜3}，N∩（?RM）={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故選：B．【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目．10.設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程有重根，則q的弧度數(shù)為

[

]A．

B。

C。

D。參考答案：解析：因方程有重根，故

得，于是。

故選B。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為

參考答案：[－3,2]12.若=，=，則=_________.參考答案：略13.已知一個球的表面積為，則這個球的體積為

.參考答案：

略14.已知函數(shù)f（x）=5x3，則f（x）+f（﹣x）=．參考答案：0【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】利用函數(shù)的奇偶性直接求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=5x3，則f（﹣x）=5（﹣x）3=﹣5x3那么：f（x）+f（﹣x）=5x3﹣5x3=0故答案為015.在邊長為2的正三角形ABC中，以A為圓心，為半徑畫一弧，分別交AB，AC于D，E．若在△ABC這一平面區(qū)域內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是

．參考答案：

16.（5分）已知函數(shù)f（x）=asinx+btanx+3（a，b∈R），且f（1）=1，則f（﹣1）=

．參考答案：5考點： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 計算f（﹣x），運用誘導(dǎo)公式，得到f（﹣x）+f（x）=6．由f（1）=1，即可得到f（﹣1）．解答： 函數(shù)f（x）=asinx+btanx+3，則f（﹣x）=asin（﹣x）+btan（﹣x）+3=﹣asinx﹣btanx+3，即有f（﹣x）+f（x）=6．則f（﹣1）=6﹣f（1）=6﹣1=5．故答案為：5．點評： 本題考查函數(shù)的奇偶性的運用：求函數(shù)值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.（3分）若集合A={﹣1，0，1}，集合B={x|x=t2，t∈A}，用列舉法表示B=

．參考答案：{0，1}考點： 集合的表示法．專題： 集合．分析： 分別令t=﹣1，1，0，求出相對應(yīng)的x的值，從而求出集合B．解答： 當(dāng)t=±1時，x=1，當(dāng)t=0時，x=0，∴B={0，1}，故答案為：{0，1}．點評： 本題考查了集合的表示方法，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（?RA）∩B．參考答案：【考點】補集及其運算；并集及其運算；交集及其運算．【分析】根據(jù)并集的定義，由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求出A與B的并集即可；先根據(jù)全集R和集合A求出集合A的補集，然后求出A補集與B的交集即可．【解答】解：由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示：得到A∪B={x|2＜x＜10}；根據(jù)全集為R，得到CRA={x|x＜3或x≥7}；則（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．19.(本小題滿分12分)已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)求的表達(dá)式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．參考答案：(1)解：∵是奇函數(shù)，∴對定義域內(nèi)任意的，都有--1分令得，，即∴當(dāng)時，

又當(dāng)時，，此時

---5分故

(2)解：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，下面給予證明．設(shè)，則

∵∴，即故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，E為PD的中點．（1）求證：PB∥平面AEC；（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求證：平面AEC⊥平面PCD．參考答案：【分析】（1）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（2）要證平面PDC⊥平面AEC，需要證明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC內(nèi)的兩條相交直線．【解答】證明：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，∵O為BD中點，E為PD中點，∴EO∥PB，又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC，又AE?平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．21.（本小題12分）已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，|φ|<π)的一段圖象(如圖)所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。參考答案：（1）由圖可知A=3，……………1分T==π，又，故ω=2…………1分所以y=3sin(2x+φ)，把代入得：故，∴，k∈Z……2分∵|φ|<π，故k=1，，……1分∴………………1分（2）由題知，…………2分解得：…………2分故這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z?！?分22.已知函數(shù)．（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）證明：函數(shù)f（