天津薊縣實驗中學2022年度高二數(shù)學文下學期期末試題含解析

天津薊縣實驗中學2022年度高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于函數(shù)，給出下列四個命題：①是增函數(shù)，無極值；②是減函數(shù)，有極值；③在區(qū)間及上是增函數(shù)；④有極大值為，極小值；其中正確命題的個數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.下列命題中，真命題是(

)A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2C．a(chǎn)+b=0的充要條件是=﹣1 D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應用．【專題】計算題．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤；【解答】解：因為y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確；因為x=﹣5時2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a(chǎn)=b=0時a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確；a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，顯然正確．故選D．【點評】本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應用，考查基本知識的理解與應用．3.在等差數(shù)列（

）

（A）18

（B）15

（C）16

（D）17參考答案：B略4.拋物線上兩點、關于直線對稱，且，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.若，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C6.若雙曲線經(jīng)過點，且漸近線方程是，則雙曲線的方程是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D7.已知，函數(shù)的最小值是

（

）A．4

B．5

C．6

D．8

參考答案：A略8.在復平面內(nèi)，復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)等于（

）A．1+2i

B．1－2i

C．1+3i

D．－1－3i參考答案：A∴z的共軛復數(shù)，故選：A

9.下列命題中正確的是（）A．“m=”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互平行”的充分不必要條件B．“直線l垂直平面α內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的充分條件C．已知、、為非零向量，則“?=?”是“=”的充要條件D．p：存在x∈R，x2+2x+2016≤0．則￢p：任意x∈R，x2+2x+2016＞0．參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由兩直線平行與系數(shù)的關系列式求得m判斷A；由線面垂直的判定判斷B；由平面向量數(shù)量積的運算判斷C；寫出特稱命題的否定判斷D．【解答】解：直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互平行?，得m=．∴“m=”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互平行”的既不充分也不必要條件，故A錯誤；直線l垂直平面α內(nèi)無數(shù)條直線，不一定有直線垂直平面，∴“直線l垂直平面α內(nèi)無數(shù)條直線”不是“直線l垂直于平面α”的充分條件，故B錯誤；、、為非零向量，由?=?不能得到=，反之，由=能夠得到?=?，∴“?=?”是“=”的必要不充分條件，故C錯誤；p：存在x∈R，x2+2x+2016≤0．則￢p：任意x∈R，x2+2x+2016＞0，故D正確．故選：D．10.已知函數(shù)的導數(shù)為，且對恒成立，則下列不等式一定成立的是A. B.C. D.參考答案：A【分析】通過構造出函數(shù)，可求得在上的單調(diào)性；再通過與的大小關系，得到最終結果?！驹斀狻繕嬙旌瘮?shù)，可得，對恒成立可得：函數(shù)在上單調(diào)遞增，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性問題，難點在于構造函數(shù)。構造函數(shù)是導數(shù)考查的重難點知識，要注意選項中函數(shù)形式所給的提示，同時要利用好的導函數(shù)與原函數(shù)一致的特點。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，，則=

參考答案：略12.在數(shù)列中，是方程的兩根，若是等差數(shù)列，則

.參考答案：313.一個總體分為甲、乙兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為的樣本.已知乙層中每個個體被抽到的概率都為,則總體中的個體數(shù)為

.參考答案：18014.已知實數(shù)、滿足方程，當（）時，由此方程可以確定一個偶函數(shù)，則拋物線的焦點到點的軌跡上點的距離最大值為____________.參考答案：15.若將一顆質地均勻的骰子（一種各面上分別標有個點的正方體玩具），先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是

▲

．參考答案：略16.在線段[0，a]上隨機地投三個點，試求由點O到三個點的線段能構成一個三角形的概率是_____________________________________。參考答案：0.517.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱長為3，AB=4，D是A1C1的中點，則AD與面B1DC所成角的正弦值為

；點E是BC中點，則過A，D，E三點的截面面積是

．參考答案：．【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結構特征．【分析】以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂直為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AD與面B1DC所成角的正弦值和過A，D，E三點的截面面積．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱長為3，AB=4，D是A1C1的中點，∴以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂直為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，A（0，0，0），D（0，2，3），B1（2，2，3），C（0，4，0），E（，3，0），=（0，2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣3），=（），設平面B1DC的法向量=（x，y，z），則，取z=2，得=（0，3，2），設AD與面B1DC所成角為θ，則sinθ===．∴AD與面B1DC所成角的正弦值為；過D作DF∥AE，交B1C1于F，則梯形AEFD就是過A，D，E三點的截面，∴AE=，DF=，DF到AE的距離d=||?=?=，∴過A，D，E三點的截面面積是S梯形AEFD=（）×=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值參考答案：解法一：（1）設CE中點為M，連BM，MF,可知CB=BE，則,……2

由

可知

∵平面∴

∴，又∴,…………………4又∵,∴平面平面…………5（2）過M作MP⊥EF于P，連結BP，設底面正三角形邊長為2……6∵

∴BM⊥EF，又MP⊥EF，∴EF⊥平面BMP，∴EF⊥BP即是二面角的平面角的補角…………8∵,

∴………………10即二面角的余弦值為……………………12解法二：(1)證明：設M為CE中點，可知，則平面設，建立如圖所示的坐標系則.∵為的中點，∴.

∵，

∴，∴.

∴平面，又平面，∴平面平面.

(2)解:設平面的法向量，由，可得：

取同理可求得平面的法向量

,二面角的余弦值為.19.已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：【考點】R2：絕對值不等式．【分析】（Ⅰ）變形已知表達式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通過2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，結合（Ⅰ）的結果，利用x的范圍分類討論，求出實數(shù)x的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，∴a+b≤3，（當且僅當，即時取等號）又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．故m的最小值為3．…（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，須且只須2|x﹣1|+|x|≥3．∴或或∴或．…20.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的長．參考答案：【考點】解三角形；三角形中的幾何計算．【專題】數(shù)形結合．【分析】由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．【解答】解：在△ABD中，設BD=x，則BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA，即142=x2+102﹣2?10x?cos60°，整理得：x2﹣10x﹣96=0，解之：x1=16，x2=﹣6（舍去）．由正弦定理得：，∴．【點評】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，一元二次方程的解法，求出BD的值，是解題的關鍵．21.已知函數(shù)f（x）=a（x+lnx）（a≠0），g（x）=x2．（1）若f（x）的圖象在x=1處的切線恰好也是g（x）圖象的切線．①求實數(shù)a的值；②若方程f（x）=mx在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．（2）當0＜a＜1時，求證：對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）①求導數(shù)，利用f（x）的圖象在x=1處的切線恰好也是g（x）圖象的切線，求實數(shù)a的值；②由x+lnx=mx，得m=1+，設t（x）=1+，x∈，則問題等價于y=m與t（x）的圖象在上有唯一交點，即可求實數(shù)m的取值范圍．（2）設F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，F(xiàn)（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，F(xiàn)′（x）=≤0恒成立，即a≤在[1，2]上恒成立，即可證明結論．【解答】（1）解：①f′（x）=a（1+），∴x=1，f′（x）=2a，切點為（1，a），∴切線方程為y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，聯(lián)立，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，∴a=1；②由x+lnx=mx，得m=1+，設t（x）=1+，x∈，則問題等價于y=m與t（x）的圖象在上有唯一交點，∵t′（x）=，∴（，e），t′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，（e，+∞），t′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，∵t（）=1﹣e，t（e）=1+，且x∈（e，+∞）時，t（x）＞1，∴m∈[1﹣e]∪{1+}；證明：（2）不妨設1≤x1＜x2≤2，則f（x1）＜f（x2），g（x1）＜g（x2），∴|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|可化為f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）∴f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）設F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，∴F（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴F′（x）=≤0恒成立，即a≤在[1，2]上恒成立，∵=≥1，∴a≤1，從而，當0＜a＜1時，命題成立．22.已知直線經(jīng)過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點P