函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.3.1

函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）

學(xué)習(xí)目標1.鞏固對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解

2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

一

新課引入

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？

二

講授

新課

問題1圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的圖象.a=,b是函數(shù)h(t)的零點.

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地，v(t)=h′(t)>0.

(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h′(t)<0.

我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h′(t)的正負有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h′(t)的正負來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢？對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn)：當t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)上單調(diào)遞增；當t∈(a,b)時，h′(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.問題：在區(qū)間(a,b)上，h′(t)<0

，

在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞減

；在區(qū)間(a,b)上，h′(t)>0，在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞增.可以推廣到一般函數(shù)嗎？

觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負的關(guān)系

xyOy＝x(1)xyOy＝x2(2)xyOy＝x3(3)xyO(4)以函數(shù)f(x)=x2為例：導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)的圖像在點（x0，

f(x0)）處的切線的斜率。

在x=x0

處，f′(x0)>0，切線是“左

下右上”的上升式，函數(shù)f(x)=x2

，

的圖像也是上升的，函數(shù)f(x)=x2

附近單調(diào)遞增

；

在x=x1處

，

導(dǎo)數(shù)f′(x1)表示函數(shù)的圖像在點（x1，

f(x1)）處的切線的斜率，f′(x1)<0，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)f(x)=x2

的圖像也是下降的，函數(shù)f(x)=x2

附近單調(diào)遞減

。.一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下的關(guān)系：

在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

特別地：如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，

那么函數(shù)f(x)是常值函數(shù)。

例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

（1）

（2）

（3）

解:（1）因為，其定義域為Ｒ.

所以

所以，函數(shù)

在Ｒ上單調(diào)遞增，

如圖所示：（2）因為

，

所以

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，如右圖所示..（3）因為，

所以

所以，函數(shù)

在區(qū)間和上分別單調(diào)遞增，

如圖所示：例2已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息：當1<x<4時，f′(x)>0；當x<1，或x>4時，f′(x)<0當x=1，或x=4時，f′(x)=0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.解：當1<x<4時，f′(x)>0，可知f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增；當x<1，或x>4時，f′(x)<0，可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)都單調(diào)遞減；當x=1，或x=4時，f′(x)=0，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”

如下圖所示：

三鞏固練習(xí)

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.

分析:

(1)f(x)=x2-2x+4是二次函數(shù)，其定義域為R.

所以其對稱軸方程為x=1，又因為f(x)的圖象開口向上

所以，函數(shù)f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)因為f(x)=ex-x，其定義域為R.所以f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0，得x=0

所以當x∈(-∞,0)時，f′