勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型 教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.6.1勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型教學(xué)目的：（1）了解三角函數(shù)在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用；（2）學(xué)會利用三角函數(shù)解決實(shí)際生活中的現(xiàn)象.課型：新授課教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：勻速圓周運(yùn)動用三角函數(shù)來表示；教學(xué)過程：引入課題勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型問題：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖5.6-1）.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖5.6-2）假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎?因筒車上盛水筒的運(yùn)動具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它的運(yùn)動規(guī)律與盛水筒運(yùn)動相關(guān)的量有哪些？它們之間有怎樣的關(guān)系？思考：如圖5.6-3，將筒車抽象為一個幾何圖形，設(shè)經(jīng)過后，盛水筒從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn).由筒車的工作原理可知，這個盛水筒距離水面的高度，由以下量所決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離，筒車的半徑，筒車轉(zhuǎn)動的角速度，盛水筒的初始位置以及所經(jīng)過的時間.下面我們分析這些量的相互關(guān)系，進(jìn)而建立盛水筒運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型.如圖5.6-3，以為原點(diǎn)，以與水平面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時，盛水筒位于點(diǎn)，以為始邊，為終邊的角為，經(jīng)過后運(yùn)動到點(diǎn).于是，以為始邊，為終邊的角為，并且有①所以，盛水筒距離水面的高度與時間的關(guān)系是②函數(shù)②就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運(yùn)動規(guī)律.由于是常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì)二、基礎(chǔ)自測例1．如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動，離開平衡位置的距離和時間的函數(shù)關(guān)系式為，那么單擺來回?cái)[動一次所需的時間為()?A．B．C．D．解析：單擺來回?cái)[動一次，即完成一個周期，則，所以擺動一次所需時間為，故選D．例2一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中為輪軸的中心，距地面(即長)，巨輪的半徑長為，，巨輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每分鐘轉(zhuǎn)動一圈.若點(diǎn)為吊艙的初始位置，經(jīng)過分鐘，該吊艙距離地面的高度為，則等于()?A.B.C.D.解析：過點(diǎn)作地面平行線，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).點(diǎn)在圓上逆時針運(yùn)動的角速度是，∴秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，設(shè)，當(dāng)時，，，當(dāng)時，上述關(guān)系式也適合.故.三、當(dāng)堂檢測1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)、間隔分鐘先后從單位圓上的一點(diǎn)出發(fā)，繞原點(diǎn)按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運(yùn)動，則與的縱坐標(biāo)之差第次達(dá)到最大值時，運(yùn)動的時間為（）?A.分鐘B.分鐘C.分鐘D.分鐘解析：由題意，設(shè)質(zhì)點(diǎn)出發(fā)后經(jīng)過分鐘，則有:，，∴，令，解得:，，，，，.∴與的縱坐標(biāo)之差第次達(dá)到最大值時，運(yùn)動的時間(分鐘).2.如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓環(huán)逆時針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)的圓心距離地面的高度為，螞蟻每分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時刻時螞蟻距離地面的高度；（2）在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長時間螞蟻距離地面超過？解析：（1）設(shè)在時刻時螞蟻達(dá)到點(diǎn)，由在分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點(diǎn)的