函數(shù)的單調(diào)性 教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

函數(shù)的單調(diào)性【第1課時(shí)】單調(diào)性的定義與證明【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，能運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．（重點(diǎn)）2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷（或證明）一些函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3．理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，能借助函數(shù)的圖像和單調(diào)性，求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1．借助單調(diào)性判斷與證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．2．利用求單調(diào)區(qū)間、最值、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．利用函數(shù)的最值解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)锳，且M?A：如果對(duì)任意x1，x2∈M，當(dāng)x1＞x2時(shí)都有f（x1）＞f（x2）都有f（x1）＜f（x2）結(jié)論y＝f（x）在M上是增函數(shù)（也稱在M上單調(diào)遞增）y＝f（x）在M上是減函數(shù)（也稱在M上單調(diào)遞減）圖示思考1：增（減）函數(shù)定義中的x1，x2有什么特征？提示：定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；（2）有大小，通常規(guī)定x1＞x2；（3）屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f（x）在M上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f（x）在M上具有單調(diào)性（當(dāng)M為區(qū)間時(shí)，稱M為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間）．思考2：函數(shù)y＝eq\f(1,x)在定義域上是減函數(shù)嗎？提示：不是．y＝eq\f(1,x)在（－∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上也遞減，但不能說y＝eq\f(1,x)在（－∞，0）∪（0，＋∞）上遞減．3．函數(shù)的最值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈：且x0∈D，如果對(duì)任意x∈D都有f（x）≤f（x0）都有f（x）≥f（x0）結(jié)論稱f（x）的最大值為f（x0），記作fmax＝f（x0），而x0稱為f（x）的最大值點(diǎn)稱f（x）的最小值為f（x0），記作fmin＝f（x0），而x0稱為f（x）的最小值點(diǎn)統(tǒng)稱最大值和最小值統(tǒng)稱為最值最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)二、初試身手1．函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，其增區(qū)間是（）A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]答案：C解析：由題圖可知，函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，1]，選C．2．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù)的是（）A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－x答案：D解析：函數(shù)y＝1－x在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù)，其余函數(shù)在（0，＋∞）上均為增函數(shù)，故選D．3．函數(shù)y＝f（x）在[－2，2]上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．eq\f(1,2)，2答案：C解析：由題圖可知，f（x）的最大值為f（1）＝2，f（x）的最小值為f（－2）＝－1．4．函數(shù)f（x）＝x2－2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是________．答案：（－∞，1]解析：因?yàn)閒（x）＝x2－2x＋3是圖像開口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（－∞，1]．三、合作探究類型1：定義法證明（判斷）函數(shù)的單調(diào)性例1：證明：函數(shù)f（x）＝x＋eq\f(1,x)在（0，1）上是減函數(shù)．思路點(diǎn)撥：eq\x(設(shè)元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2)→eq\x(作差：fx1－fx2)eq\o(→,\s\up14(變形))eq\x(判號(hào)：fx2>fx1)eq\o(→,\s\up14(結(jié)論))eq\x(減函數(shù))證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，1）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＞x2，則f（x1）－f（x2）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝（x1－x2）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝（x1－x2）＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝（x1－x2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)，∵0<x2<x1<1，∴x1－x2＞0，0<x1x2<1，則－1＋x1x2<0，∴eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）＝x＋eq\f(1,x)在（0，1）上是減函數(shù)．規(guī)律方法利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1．取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1＞x2．2．作差變形：作差f（x1）－f（x2），并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．3．定號(hào)：確定f（x1）－f（x2）的符號(hào)．4．結(jié)論：根據(jù)f（x1）－f（x2）的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式．跟蹤訓(xùn)練1．證明：函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)在（－1，＋∞）上是增函數(shù)．證明：設(shè)x1>x2>－1，則y1－y2＝eq\f(x1,x1＋1)－eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)．∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq\f(x,x＋1)在（－1，＋∞）上是增函數(shù)．類型2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．（1）f（x）＝－eq\f(1,x)；（2）f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．解：（1）函數(shù)f（x）＝－eq\f(1,x)的單調(diào)區(qū)間為（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函數(shù)．（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，所以f（x）的單調(diào)區(qū)間為（－∞，1），[1，＋∞），并且函數(shù)f（x）在（－∞，1）上是減函數(shù)，在[1，＋∞）上是增函數(shù)．（3）因?yàn)閒（x）＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函數(shù)，在（－1，0），[1，＋∞）上是減函數(shù)．（3）因?yàn)閒（x）＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函數(shù)，在（－1，0），[1，＋∞）上是減函數(shù)．規(guī)律方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法1．利用已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2．利用函數(shù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．提醒：1．若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開．2．理清“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)別與聯(lián)系．跟蹤訓(xùn)練2．根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．解：函數(shù)在[－1，0]，[2，4]上是減函數(shù)，在[0，2]，[4，5]上是增函數(shù)．3．寫出y＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間．解：先畫出f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－（x2－2x－3），－1≤x≤3))的圖像，如圖．所以y＝|x2－2x－3|的單調(diào)減區(qū)間為（－∞，－1]，[1，3]；單調(diào)增區(qū)間為[－1，1]，[3，＋∞）．類型3：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用探究問題1．若函數(shù)f（x）是其定義域上的增函數(shù)，且f（a）>f（b），則a，b滿足什么關(guān)系．如果函數(shù)f（x）是減函數(shù)呢？提示：若函數(shù)f（x）是其定義域上的增函數(shù)，那么當(dāng)f（a）>f（b）時(shí)，a>b；若函數(shù)f（x）是其定義域上的減函數(shù)，那么當(dāng)f（a）>f（b）時(shí)，a<b．2．決定二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c單調(diào)性的因素有哪些？提示：開口方向和對(duì)稱軸的位置，即字母a的符號(hào)及－eq\f(b,2a)的大?。?：（1）若函數(shù)f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在區(qū)間（－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．（2）已知函數(shù)y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函數(shù)，且f（2x－3）>f（5x－6），則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．思路點(diǎn)撥：（1）eq\x(分析fx的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系)數(shù)形結(jié)合，eq\x(建立關(guān)于a的不等式)eq\o(→,\s\up14())eq\x(求a的范圍)（2）eq\x(f2x－3>f5x－6)f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)，eq\x(建立關(guān)于x的不等式)eq\o(→,\s\up14())eq\x(求x的范圍)答案：（1）（－∞，－4]（2）（－∞，1）解析：（1）∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的圖像開口向下，要使f（x）在（－∞，3]上是增函數(shù)，只需－（a＋1）≥3，即a≤－4．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－∞，－4]．（2）∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)，且f（2x－3）>f（5x－6），∴2x－3>5x－6，即x<1．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（－∞，1）．]母題探究1．（變條件）若本例（1）的函數(shù)f（x）在（1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．解：由題意可知－（a＋1）≤1或－（a＋1）≥2，即a≤－3或a≥－2．所以a的取值范圍為（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．2．（變條件）若本例（2）的函數(shù)f（x）是定義在（0，＋∞）上的減函數(shù)，求x的取值范圍．解：由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq\f(3,2)．∴x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))．規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．2．若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的．類型4：求函數(shù)的最值（值域）例4：已知函數(shù)f（x）＝eq\f(2x＋1,x＋1)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間（－1，＋∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（2）求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值和最小值．解：（1）f（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)，證明如下：任?。?<x1<x2，則f（x1）－f（x2）＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,（x1＋1）（x2＋1）)，因?yàn)椋?<x1<x2?x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f（x1）－f（x2）<0?f（x1）<f（x2），所以f（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)．（2）由（1）知f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（2）＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)，最大值為f（4）＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)．規(guī)律方法1．利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲档囊话悴襟E（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）利用單調(diào)性求出最大（?。┲担?．函數(shù)的最大（?。┲蹬c單調(diào)性的關(guān)系（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是增（減）函數(shù)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（?。┲凳莊（b）．（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是增（減）函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減（增）函數(shù)，則f（x）在區(qū)間[a，c]上的最大（?。┲凳莊（b），最?。ù螅┲凳莊（a）與f（c）中較小（大）的一個(gè)．提醒：（1）求最值勿忘求定義域．（2）閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入是最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，求解時(shí)一定注意．跟蹤訓(xùn)練4．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1＜x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求（1）f（x）的最大值、最小值；（2）f（x）的最值點(diǎn)．解：（1）作出函數(shù)f（x）的圖像（如圖）．由圖像可知，當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取最大值為f（1）＝1．當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取最小值f（0）＝0，故f（x）的最大值為1，最小值為0．（2）f（x）的最大值點(diǎn)為x0＝1，最小值點(diǎn)為x0＝0．四、課堂小結(jié)1．定義單調(diào)性時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)x1，x2在其定義域內(nèi)的任意性，其本質(zhì)是把區(qū)間上無限多個(gè)函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為兩個(gè)任意值的大小比較．2．證明函數(shù)的單調(diào)性（利用定義）一定要嚴(yán)格遵循設(shè)元、作差、變形、定號(hào)、結(jié)論的步驟，特別在變形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的運(yùn)用，直到符號(hào)判定水到渠成才可．3．求函數(shù)的最值與求函數(shù)的值域類似，常用的方法是：（1）圖像法，即畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)寫出最值；（2）單調(diào)性法，一般需要先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的意義求出最值；4．通過函數(shù)最值的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，樹立以形識(shí)數(shù)的解題意識(shí)．五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．思考辨析（1）若函數(shù)y＝f（x）在定義域上有f（1）<f（2），則函數(shù)y＝f（x）是增函數(shù)．（）（2）若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，3]．（）（3）任何函數(shù)都有最大（?。┲担ǎ?）函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值一定是f（a）（或f（b））．（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．下列函數(shù)中，在（0，2）上是增函數(shù)的是（）A．y＝eq\f(1,x) B．y＝2x－1C．y＝1－2x D．y＝（2x－1）2答案：B解析：對(duì)于A，y＝eq\f(1,x)在（－∞，0），（0，＋∞）上單調(diào)遞減；對(duì)于B，y＝2x－1在R上單調(diào)遞增；對(duì)于C，y＝1－2x在R上單調(diào)遞減；對(duì)于D，y＝（2x－1）2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．故選B．3．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域?yàn)開_______．答案：[－1，3]解析：∵函數(shù)y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[0，3]，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為－1，當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)取得最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)閇－1，3]．4．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）＝eq\f(2x,x－1)在（1，＋∞）上是減函數(shù)．證明：f（x）＝2＋eq\f(2,x－1)，設(shè)x1>x2>1，則f（x1）－f（x2）＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）)．因?yàn)閤1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f（x1）<f（x2），所以f（x）在（1，＋∞）上是減函數(shù)．【第2課時(shí)】函數(shù)的平均變化率【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．理解斜率的含義及平均變化率的概念．（重點(diǎn)）2．掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的充要條件．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）通過利用函數(shù)f（x）的平均變化證明f（x）在I上的單調(diào)性，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．直線的斜率（1）定義：給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(y2－y1,x2－x1)為直線AB的斜率；（若記Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率記為eq\f(Δy,Δx)），當(dāng)x1＝x2時(shí)，稱直線AB的斜率不存在．（2）作用：直線AB的斜率反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度．2．平均變化率與函數(shù)單調(diào)性若I是函數(shù)y＝f（x）的定義域的子集，對(duì)任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f（x1），y2＝f（x2），eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(Δf,Δx)＝\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)))，則（1）y＝f（x）在I上是增函數(shù)的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；（2）y＝f（x）在I上是減函數(shù)的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)為函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[x1，x2]（x1＜x2時(shí)）或[x2，x1]（x1＞x2時(shí)）上的平均變化率．通常稱Δx為自變量的改變量，Δy為因變量的改變量．3．平均變化率的物理意義（1）把位移s看成時(shí)間t的函數(shù)s＝s（t），則平均變化率的物理意義是物體在時(shí)間段[t1，t2]上的平均速度，即eq\x\to(v)＝eq\f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)．（2）把速度v看成時(shí)間t的函數(shù)v＝v（t），則平均變化率的物理意義是物體在時(shí)間段[t1，t2]上的平均加速度，即eq\x\to(a)＝eq\f(v（t2）－v（t1）,t2－t1)．二、初試身手1．已知點(diǎn)A（1，0），B（－1，1），則直線AB的斜率為（）A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－2D．2答案：A解析：直線AB的斜率eq\f(1－0,－1－1)＝－eq\f(1,2)．2．如圖，函數(shù)y＝f（x）在[1，3]上的平均變化率為（）A．1B．－1C．2D．－2答案：B解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1．3．一次函數(shù)y＝－2x＋3在R上是________函數(shù)．（填“增”或“減”）答案：減解析：任取x1，x2∈R且x1≠x2．∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是減函數(shù)．4．已知函數(shù)f（x）＝2x2＋3x－5，當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時(shí)，求Δy的平均變化率eq\f(Δy,Δx)．解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．當(dāng)x1＝4，Δx＝1時(shí)，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21．三、合作探究類型1：平均變化率的計(jì)算例1：一正方形鐵板在0℃時(shí)邊長(zhǎng)為10cm，加熱后會(huì)膨脹，當(dāng)溫度為t℃時(shí)，邊長(zhǎng)變?yōu)?0（1＋at）cm，a為常數(shù)．試求鐵板面積對(duì)溫度的平均膨脹率．思路點(diǎn)撥：由正方形的邊長(zhǎng)與面積關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，再求面積的平均變化率．解：設(shè)溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨脹率eq\f(ΔS,Δt)＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．規(guī)律方法1．關(guān)于平均變化率的問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、平均加速度、平均膨脹率等．找準(zhǔn)自變量的改變量和因變量的改變量是解題的關(guān)鍵．2．求平均變化率只需要三個(gè)步驟：（1）求出或者設(shè)出自變量的改變量；（2）根據(jù)自變量的改變量求出函數(shù)值的改變量；（3）求出函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值．跟蹤訓(xùn)練1．路燈距地面8m，一個(gè)身高為1．6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點(diǎn)C處沿直線勻速離開路燈．（1）求身影的長(zhǎng)度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；（2）求人離開路燈10s內(nèi)身影長(zhǎng)度y關(guān)于時(shí)間t的平均變化率．解：（1）如圖所示，設(shè)此人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的位移為xm，AB為身影長(zhǎng)度，AB的長(zhǎng)度為ym，由于CD∥BE，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝0．25x．（2）84m/min＝1．4m/s，則y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10s內(nèi)平均變化率eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(3.5,10)＝0．35（m/s），即此人離開燈10s內(nèi)身影長(zhǎng)度y關(guān)于時(shí)間t的平均變化率為0．35m/s．類型2：利用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性例2：若函數(shù)y＝f（x）是其定義域的子集I上的增函數(shù)且f（x）＞0，求證：g＝eq\f(1,f（x）)在I上為減函數(shù)．思路點(diǎn)撥：由y＝f（x）在I上為增函數(shù)的充要條件可得eq\f(Δy,Δx)＞0，再證eq\f(Δg,Δx)＜0即可．證明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），∵函數(shù)y＝f（x）是其定義域的子集I上的增函數(shù)，∴Δy＞0，eq\f(Δy,Δx)＞0，∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝eq\f(1,f（x2）)－eq\f(1,f（x1）)＝eq\f(f（x1）－f（x2）,f（x1）f（x2）)．又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，∴Δg＜0，∴eq\f(Δg,Δx)＜0，故g＝eq\f(1,f（x）)在I上為減函數(shù)．規(guī)律方法單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則：1．f（x）與f（x）＋C（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性．2．f（x）與a·f（x），當(dāng)a＞0時(shí)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜0時(shí)具有相反的單調(diào)性．3．當(dāng)f（x）恒為正值或恒為負(fù)值時(shí)，f（x）與eq\f(1,f（x）)具有相反的單調(diào)性．（4）在f（x），g（x）的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f（x）g（x）f（x）＋g（x）f（x）－g（x）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2．已知函數(shù)f（x）＝1－eq\f(3,x＋2)，x∈[3，5]，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函數(shù)，且恒大于零，因此，由性質(zhì)知f（x）＝1－eq\f(3,x＋2)為增函數(shù)．證明過程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，則Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－eq\f(3,x2＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,x1＋2)))＝eq\f(3,x1＋2)－eq\f(3,x2＋2)＝eq\f(3（x2－x1）,（x1＋2）（x2＋2）)．∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，∴Δy＞0，∴eq\f(Δy,Δx)＞0，故函數(shù)f（x）在[3，5]上是增函數(shù)．類型3：二次函數(shù)的單調(diào)性最值問題探究問題1．二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的對(duì)稱軸與區(qū)間[m，n]可能存在幾種位置關(guān)系，試畫草圖給予說明？提示：2．求二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮哪些因素？提示：若求二次函數(shù)f（x）在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮其開口方向及對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)與區(qū)間[m，n]的關(guān)系．例3：已知函數(shù)f（x）＝x2－ax＋1，求f（x）在[0，1]上的最大值．思路點(diǎn)撥：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2－ax＋1的圖像開口向上，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(a,2)，當(dāng)eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1時(shí)，f（x）的最大值為f（1）＝2－a；當(dāng)eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1時(shí)，f（x）的最大值為f（0）＝1．母題探究1．在題設(shè)條件不變的情況下，求f（x）在[0，1]上的最小值．解：（1）當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．（2）當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）min＝f（1）＝2－a．（3）當(dāng)0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時(shí)，f（x）在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))上單調(diào)遞增，故f（x）min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4)．2．在本例條件不變的情況下，若a＝1，求f（x）在[t，t＋1]（t∈R）上的最小值．解：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2－x＋1，其圖像的對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,2)，①當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，f（x）在其上是增函數(shù)，∴f（x）min＝f（t）＝t2－t＋1；②當(dāng)t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)時(shí)，f（x）在其上是減函數(shù)，∴f（x）min＝f（t＋1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＝t2＋t＋1；③當(dāng)t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)f（x）在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)．規(guī)律方法二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），則二次函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情況：對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系－e