函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系【第1課時(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系．（難點(diǎn)）2．會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)．（重點(diǎn)）3．掌握函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，并會(huì)用函數(shù)零點(diǎn)法求不等式的解集．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1．借助函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．通過函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的素養(yǎng)．3．利用零點(diǎn)法求不等式的解集，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f（α）＝0，則稱實(shí)數(shù)α為函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)．（2）三者之間的關(guān)系：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)?函數(shù)f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)?方程f（x）＝0有實(shí)數(shù)根．2．二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式的關(guān)系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的取值集合．3．圖像法解一元二次不等式的步驟（1）解一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程；（2）求出其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)；（3）畫出二次函數(shù)的圖像；（4）結(jié)合圖像寫出一元二次不等式的解集．二、初試身手1．函數(shù)y＝1＋eq\f(1,x)的零點(diǎn)是（）A．（－1，0） B．x＝－1C．x＝1 D．x＝0答案：B解析：令1＋eq\f(1,x)＝0解得x＝－1，故選B．2．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一個(gè)根所在的區(qū)間是（）x－10123ex0．3712．727．4020．12x＋212345A．（－1，0） B．（0，1）C．（1，2） D．（2，3）答案：C解析：令f（x）＝ex－（x＋2），則f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一個(gè)根在（1，2）內(nèi)．3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函數(shù)值有正值，則m的取值范圍是（）A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2 D．1＜m＜3答案：A解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．4．不等式eq\f(1＋x,1－x)≥0的解集為________．答案：[－1，1）解析：原不等式等價(jià)于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．三、合作探究類型1：函數(shù)的零點(diǎn)及求法例1：求函數(shù)f（x）＝x3－7x＋6的零點(diǎn)．解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，∴（x3－x）－（6x－6）＝0，∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函數(shù)f（x）＝x3－7x＋6的零點(diǎn)是1，2，－3．規(guī)律方法求函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)通常有兩種方法：一是令y＝0，根據(jù)解方程f（x）＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；二是畫出函數(shù)y＝f（x）的圖像，圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1．如圖所示是一個(gè)二次函數(shù)y＝f（x）的圖像．（1）寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；（2）試比較f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）與0的大小關(guān)系．解：（1）由圖像可知，函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別是－3，1．（2）根據(jù)圖像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．類型2：二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式的關(guān)系例2：利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．解：（1）方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6．結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖像知，原不等式的解集為（－∞，－1）∪（6，＋∞）．（2）原不等式可化為（x－2）（x＋3）＞0．方程（x－2）（x＋3）＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3．結(jié)合二次函數(shù)y＝（x－2）（x＋3）的圖像知，原不等式的解集為（－∞，－3）∪（2，＋∞）．（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，即9x2－12x＋4＞0．解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝eq\f(2,3)．結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖像知，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))．規(guī)律方法利用函數(shù)求不等式解集的基本步驟1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a(bǔ)的符號(hào)化為正；2．計(jì)算其對(duì)應(yīng)一元二次方程的根的判別式Δ；3．求其對(duì)應(yīng)一元二次方程的根；4．寫出解集大于取兩邊，小于取中間．跟蹤訓(xùn)練2．利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）2x2＋7x＋3＞0；（2）－x2＋8x－3＞0；（3）x2－4x－5＜0；（4）－4x2＋18x－eq\f(81,4)＞0．解：（1）對(duì)于方程2x2＋7x＋3＝0，因?yàn)棣ぃ?2－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)．又因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝2x2＋7x＋3的圖像開口向上，所以原不等式的解集為（－∞，－3）∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))．（2）對(duì)于方程－x2＋8x－3＝0，因?yàn)棣ぃ?2－4×（－1）×（－3）＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x1＝4－eq\r(13)，x2＝4＋eq\r(13)．又因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝－x2＋8x－3的圖像開口向下，所以原不等式的解集為（4－eq\r(13)，4＋eq\r(13)）．（3）原不等式可化為（x－5）（x＋1）＜0，所以原不等式的解集為（－1，5）．（4）原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))2＜0，所以原不等式的解集為?．類型3：用函數(shù)零點(diǎn)法求一元高次不等式的解集例3：求函數(shù)f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖像的示意圖，寫出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函數(shù)的零點(diǎn)為－3，1，2．函數(shù)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成四部分，每一部分的符號(hào)如下表所示．x（－∞，－3）（－3，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）－＋－＋由此可以畫出此函數(shù)的示意圖如圖．由圖可知，f（x）≥0的解集為[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集為（－∞，－3）∪（1，2）．規(guī)律方法解題步驟：1．求出零點(diǎn)；2．拆分定義域；3．判斷符號(hào)；4．寫出解集．注意判斷符號(hào)的方法，將最高項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，最右邊的區(qū)間內(nèi)為正，然后往左依次負(fù)正相間．跟蹤訓(xùn)練3．求函數(shù)f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖像的示意圖，寫出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函數(shù)的零點(diǎn)為－2，1，2．函數(shù)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成四部分，每一部分的符號(hào)如下表所示．x（－∞，－2）（－2，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）＋－＋－由此可以畫出此函數(shù)的示意圖如圖．由圖可知，f（x）≥0的解集為（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集為（－2，1）∪（2，＋∞）．四、課堂小結(jié)1．方程f（x）＝g（x）的根是函數(shù)f（x）與g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)y＝f（x）－g（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式的關(guān)系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的取值集合．3．圖像法解一元二次不等式的步驟（1）解一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程；（2）求出其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)；（3）畫出二次函數(shù)的圖像；（4）結(jié)合圖像寫出一元二次不等式的解集．五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是（）答案：A解析：B，C，D的圖像均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn)．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的區(qū)間是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一個(gè)根在（－1，0）上，另一個(gè)根在（1，2）上D．一個(gè)根在（0，1）上，另一個(gè)根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴選C．3．函數(shù)f（x）＝x－eq\f(1,x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3答案：C解析：令x－eq\f(1,x)＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－eq\f(1,x)的零點(diǎn)有兩個(gè)．4．函數(shù)f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零點(diǎn)為±1，－2，3，共4個(gè)．【第2課時(shí)】零點(diǎn)的存在性及其近似值的求法【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．掌握函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（重點(diǎn)）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的步驟．（難點(diǎn)）3．理解函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，并能用函數(shù)與方程思想分析問題、解決問題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1．通過存在性定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)．2．通過二分法的學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng)．3．理解函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f（a）f（b）＜0（即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)），則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈[a，b]，f（x0）＝0．2．二分法的定義（1）二分法的條件：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f（a）f（b）＜0．（2）二分法的過程：通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法，稱為二分法．由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f（x）在[a，b]上的零點(diǎn)近似值的步驟是：第一步：檢查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝eq\f(a＋b,2)，計(jì)算結(jié)束；如果不成立，轉(zhuǎn)到第二步．第二步：計(jì)算區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)eq\f(a＋b,2)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq\f(a＋b,2)，計(jì)算結(jié)束；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≠0，轉(zhuǎn)到第三步．第三步若f（a）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＜0，將eq\f(a＋b,2)的值賦給beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(用\f(a＋b,2)→b表示，下同))，回到第一步；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f（b）＜0，將eq\f(a＋b,2)的值賦給a，回到第一步．二、初試身手1．下列函數(shù)不宜用二分法求零點(diǎn)的是（）A．f（x）＝x3－1 B．f（x）＝lnx＋3C．f（x）＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f（x）＝－x2＋4x－1答案：C解析：因?yàn)閒（x）＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝（x＋eq\r(2)）2≥0，不存在小于0的函數(shù)值，所以不能用二分法求零點(diǎn)．2．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且圖像是連續(xù)不斷的曲線，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不可能有零點(diǎn)B．函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上一定有零點(diǎn)C．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，則必有f（a）·f（b）＜0 D．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上沒有零點(diǎn)，則必有f（a）·f（b）＞0答案：D解析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，如果f（a）·f（b）＜0，可知函數(shù)在（a，b）上有一個(gè)零點(diǎn)，如果f（a）·f（b）＞0，可知函數(shù)在[a，b]上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可能沒有零點(diǎn)，也可能有零點(diǎn)，所以A不正確；函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可能有零點(diǎn)，也可能沒有零點(diǎn)；所以B不正確；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，則可能f（a）·f（b）＜0，也可能f（a）·f（b）＝0所以C不正確；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上沒有零點(diǎn)，則必有f（a）·f（b）＞0，正確；故選D．]3．用“二分法”可求近似解，對(duì)于精確度ε說法正確的是（）A．ε越大，零點(diǎn)的精確度越高B．ε越大，零點(diǎn)的精確度越低C．重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是εD．重復(fù)計(jì)算次數(shù)與ε無關(guān)答案：B解析：依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，零點(diǎn)的精確度越低．4．若函數(shù)f（x）的圖像是連續(xù)不斷的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，則下列命題正確的是________．①函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)；②函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)；③函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)；④函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)有零點(diǎn)．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一個(gè)小于0．∴（0，4）上有零點(diǎn)．三、合作探究類型1：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間例1：求證：方程x4－4x－2＝0在區(qū)間[－1，2]內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．證明：設(shè)f（x）＝x4－4x－2，其圖像是連續(xù)曲線．因?yàn)閒（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）內(nèi)都有實(shí)數(shù)解．從而證明該方程在給定的區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．規(guī)律方法一般而言，判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進(jìn)行符號(hào)判斷即可得出結(jié)論．此類問題的難點(diǎn)往往是函數(shù)值符號(hào)的判斷，可運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．跟蹤訓(xùn)練1．若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A．若f（a）f（b）＞0，則不存在實(shí)數(shù)c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，則有可能存在實(shí)數(shù)c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，則有可能不存在實(shí)數(shù)c∈（a，b）使得f（c）＝0答案：C解析：對(duì)于A選項(xiàng)，可能存在，如y＝x2；對(duì)于B選項(xiàng)，必存在但不一定唯一，選項(xiàng)D一定存在．類型2：對(duì)二分法概念的理解例2：下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（）答案：B解析：利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，在選項(xiàng)B中，不滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn)．由于A、C、D中零點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)．規(guī)律方法二分法是求一般函數(shù)的零點(diǎn)的一種通法，使用二分法的前提條件是：函數(shù)零點(diǎn)的存在性．對(duì)“函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)”的理解如下：不管函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是否連續(xù)，只要找得到包含零點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)圖像是連續(xù)的即可．跟蹤訓(xùn)練2．如圖是函數(shù)f（x）的圖像，它與x軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn)．給出下列四個(gè)區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)近似值的是（）A．（－2．1，－1） B．（1．9，2．3）C．（4．1，5） D．（5，6．1）答案：B解析：只有B中的區(qū)間所含零點(diǎn)是不變號(hào)零點(diǎn)．類型3：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)例3：求函數(shù)f（x）＝x2－5的負(fù)零點(diǎn)．（精確度為0．1）解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，故取區(qū)間（－3，－2）作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值（－3，－2）－2．51．25（－2．5，－2）－2．250．0625（－2．25，－2）－2．125－0．4844（－2．25，－2．125）－2．1875－0．2148（－2．25，－2．1875）－2．21875－0．0771由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可?。?．25．規(guī)律方法利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)1．要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含函數(shù)的零點(diǎn)，又要使其長度盡量?。?．用列表法往往能比較清晰地表達(dá)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間．3．根據(jù)給定的精確度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間長度是否達(dá)到要求，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3．證明函數(shù)f（x）＝2x＋3x－6在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，并求出這個(gè)零點(diǎn)（精確度為0．1）．解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為x0，則x0∈[1，2]．下面用二分法求解．（a，b）（a，b）的中點(diǎn)f（a）f（b）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))（1，2）1．5f（1）<0f（2）>0f（1．5）>0（1，1．5）1．25f（1）<0f（1．5）>0f（1．25）>0（1，1．25）1．125f（1）<0f（1．25）>0f（1．125）<0（1．125，1．25）1．1875f（1．125）<0f（1．25）>0f（1．1875）<0因?yàn)閨1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函數(shù)f（x）＝2x＋3x－6的精確度為0．1的近似零點(diǎn)可取為1．25．類型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解（精確度為0．1）．解：令f（x）＝2x3＋3x－3，經(jīng)計(jì)算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）內(nèi)有解．?。?，1）的中點(diǎn)0．5，經(jīng)計(jì)算f（0．5）<0，又f（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：（a，b）中點(diǎn)cf（a）f（b）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))（0，1）0．5f（0）<0f（1）>0f（0．5）<0（0．5，1）0．75f（0．5）<0f（1）>0f（0．75）>0（0．5，0．75）0．625f（0．5）<0f（0．75）>0f（0．625）<0（0．625，0．75）0．6875f（0．625）<0f（0．75）>0f（0．6875）<0（0．6875，0．75）|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解．規(guī)律方法用二分法求方程的近似解應(yīng)明確兩點(diǎn)（1）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解．（2）對(duì)于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解．跟蹤訓(xùn)練4．求方程x2＝2x＋1的一個(gè)近似解．（精確度0．1）解：設(shè)f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在區(qū)間（2，3）內(nèi)，方程x2－2x－1＝0有一解，記為x0．取2與3的平均數(shù)2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2與2．5的平均數(shù)2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此繼續(xù)下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0?x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0?x0