2022年度福建省龍巖市南靖縣第二中學高三數學理聯考試卷含解析

2022年度福建省龍巖市南靖縣第二中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有以下四個命題（1）垂直于同一平面的兩直線平行。

(2)若直線a、b為異面直線，則過空間中的任意一點P一定能做一條直線與直線a和直線b均相交。(3)如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行。（4）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線與這個平面內的任何直線垂直。其中真命題有（

）個。(A)1

(B)2

(C)3

(D)

4參考答案：B略2.已知向量a,b，其中|a|，|b|，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a=a2－a·b，設為向量a，b的夾角，則，即，又，∴向量a，b的夾角為。故選A。3.下列函數中，既是奇函數，又在區(qū)間-1，1上單調遞減的是

(

）A．

B．C．

D．參考答案：D4.已知點是雙曲線的右支上一動點，，分別是圓和的動點，則的最大值為（

）A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：D5.的內角滿足條件：且，則角的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：C7.對于定義域為的函數和常數，若對任意正實數，使得恒成立，則稱函數為“斂函數”．現給出如下函數：①；②；③；④.其中為“斂1函數”的有

高考資源網A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②③參考答案：C①；由于函數遞增，那么不會存在一個正數，滿足不等式。②；當x>0,c=2,那么存在x，滿足題意，成立。③；對于1<x<2,令c=1,,時符號題意。④.=1-，x>1,c=3，則可知滿足題意。故選C.8.設a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，則a，b，c，d的大小關系是（）A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．b＜c＜d＜a D．b＜d＜c＜a參考答案：B【考點】對數值大小的比較．【分析】利用指數函數與對數函數的單調性即可得出．【解答】解：∵a=0.32∈（0，1），b=20.3∈（1，2），c=log25＞2，d=log20.3＜0，則a，b，c，d的大小關系是d＜a＜b＜c．故選：B．9.將7個座位連成一排，安排4個人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有（

）A．240

B．480

C．720

D．960參考答案：B10.復數等于

（A）1＋i

（B）1－i

（C）－1＋i

（D）－1－i參考答案：S略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系xOy中，點M是橢圓（a＞b＞0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點．若△PQM是鈍角三角形，則該橢圓離心率的取值范圍是

．參考答案：

12.如果實數滿足條件

，那么的最大值為_____.參考答案：213.若雙曲線的左焦點為，右頂點為，為的左支上一點，且，則的離心率是

．參考答案：414.已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)．則|PA|＋|PF|的最小值是

，取最小值時P點的坐標

．參考答案：，拋物線的準線為。過P做PM垂直于準線于M過A做AN垂直于準線于N，則根據拋物線的定義知，所以，所以的最小值為，此時三點共線。，此時，代入拋物線得，即取最小值時P點的坐標為。15.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺，若每輛至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為

元.參考答案：2200略16.的展開式中的系數為（用數字作答)．參考答案：20【知識點】二項式定理與性質解：通項公式為:令12-3r=3，r=3．

所以系數為：

故答案為：17.通常，滿分為100分的試卷，60分為及格線.若某次滿分為100分的測試卷，100人參加測試，將這100人的卷面分數按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分組后繪制的頻率分布直方圖如圖所示.由于及格人數較少，某位老師準備將每位學生的卷面得分采用“開方乘以10取整”的方法進行換算以提高及格率（實數a的取整等于不超過a的最大整數），如：某位學生卷面49分，則換算成70分作為他的最終考試成績，則按照這種方式，這次測試的及格率將變?yōu)開_________．（結果用小數表示）參考答案：0.82分析：結合題意可知低于36分的為不及格，從而算出及格率詳解：由題意可知低于36分的為不及格，若某位學生卷面36分，則換算成60分作為最終成績，由頻率直方圖可得組的頻率為，所以這次測試的及格率為點睛：本題考查了頻率分布直方圖，頻率的計算方法為：頻率，結合題目要求的轉化分數即可算出結果。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中點，F是C1C上一點．（1）當CF=2，求證：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱錐B1﹣ADF體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】綜合題；空間位置關系與距離．【分析】（1）證明B1F與兩線AD，DF垂直，利用線面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，則Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱錐B1﹣ADF體積．【解答】（1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【點評】本題考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直，考查三棱錐B1﹣ADF體積，屬于中檔題．19.（本題滿分10分）已知向量，設函數的圖象關于直線對稱，其中常數(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)將函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像，用五點法作出函數在區(qū)間的圖像.參考答案：（Ⅰ），，.（Ⅱ）

20.（14分）如圖，三棱錐P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

(I)求證：AB平面PCB；

(II)求異面直線AP與BC所成角的大??；（III）求二面角C-PA-B的大?。畢⒖即鸢福航馕?解法一：(I)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．…………2分∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．…………4分又，∴AB平面PCB．

…………5分

(II)過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．則為異面直線PA與BC所成的角．………6分由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂線定理，得PFAF．則AF=CF=，PF=，在中，

tan∠PAF==，∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………9分（III）取AP的中點E，連結CE、DE．∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=．∵CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得

DEPA．∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………11分由(I)AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．在中，PB=，

．

在中，sin∠CED=．∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．……14分解法二：（I）同解法一．(II)由(I)AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B為原點，如圖建立坐標系．則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．…7分

則+0+0=2．

==．

∴異面直線AP與BC所成的角為．………10分（III）設平面PAB的法向量為m=(x，y，z)．，，則

即解得

令=-1,

得m=(，0，-1)．

設平面PAC的法向量為n=()．，，

則

即解得

令=1,

得n=(1，1，0)．……………12分

=．

∴二面角C-PA-B的大小為arccos．………………14分21.某市地鐵連同站臺等附屬設施全部建成后，平均每1公里需投資人民幣1億元.全部投資都從銀行貸款.從投入營運那一年開始，地鐵公司每年需歸還銀行相同數額的貸款本金0.05億元.這筆貸款本金先用地鐵營運收入支付，不足部分由市政府從公用經費中補足.地鐵投入營運后，平均每公里年營運收入（扣除日常管理費等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長20%，到第20年后不再增長.（1）地鐵營運幾年，當年營運收入開始超過當年歸還銀行貸款本金？（2）截至當年營運收入超過當年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府已累計為1公里地鐵支付多少元費用？（精確到元，1億=）參考答案：（1）地鐵營運第年的收入，………2分根據題意有：，……………4分解得9年.（或者，解得10年）答：地鐵營運9年，當年營運收入開始超過當年歸還銀行貸款本金.……6分（2）市政府各年為1公里地鐵支付費用第1年：；第2年：；。。。。。。第年：?！?分年累計為：，…4分將代入得，億.……8分答：截至當年營運收入超過當年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府累計為1公里地鐵共支付19541135元費用.………………9分

22.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明：直線與軸相交于定點；

（III）在(Ⅱ)的條件下，過點的直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍.

參考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）略（III）解析：（I）由題意知而以原點為圓心，橢圓短半軸為半徑的圓的方程為，故由題意可知故橢圓C的方程為

……3分

（II）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由……①

……4分設點，則，直