《空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系》備考策略市賽獲獎(jiǎng)

《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》備考策略關(guān)鍵詞：點(diǎn)，直線，平面，備考策略難度：2重要程度：4內(nèi)容考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】(1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體的過(guò)P，Q，R的截面圖形是()．A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形解析(1)①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．(2)如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線交于M，連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，RE為截面的部分外形．同理連PQ并延長(zhǎng)交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G.∴截面為六邊形PQFGRE.答案(1)B(2)D【備考策略】(1)公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．要能夠熟練用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來(lái)表示公理．(2)畫(huà)幾何體的截面，關(guān)鍵是畫(huà)截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析把正四面體的平面展開(kāi)圖還原．如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④【備考策略】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．考點(diǎn)三異面直線所成的角【例3】在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．審題路線(1)找出PB與平面ABCD所成角?計(jì)算出PO的長(zhǎng)?求出四棱錐的體積．(2)取AB的中點(diǎn)F?作△PAB的中位線?找到異面直線DE與PA所成的角?計(jì)算其余弦值．解(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO＝AB·sin30°＝1，∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3).∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).即異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).【備考策略】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范