大物第一章力學

第一篇力學(Mechanics)1力學的研究對象與適用條件研究對象：描述物體運動狀態(tài)及研究物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因適用條件：宏觀物體；低速(牛頓力學)，高速(相對論)第一篇經(jīng)典力學描述物體的運動狀態(tài)——運動學尋求物體具有某種運動狀態(tài)的原因——動力學萬有引力定律質(zhì)點運動學剛體運動學靜力學動力學質(zhì)點力平衡剛體力矩平衡質(zhì)點動力學剛體動力學內(nèi)容結(jié)構(gòu)第一章質(zhì)點的運動規(guī)律研究方案1.什么是物體的運動——參照物與參照系2.如何將物體運動狀態(tài)問題數(shù)學化——物理模型3.怎樣定量描述物體的運動——物理參量的引入4.建立理論體系并作實際應(yīng)用問題：如何描述物體的運動狀態(tài)？問題：描述不同觀察者觀察到的物體運動狀態(tài)？§1.1質(zhì)點運動的描述一參照物和參照系1.恒定物體運動、靜止的標準——引入?yún)⒄瘴锱c參照系2.參照物與參照系二理想物理模型1.質(zhì)點模型2.剛體模型三描述物體運動的物理參量1.位置矢量與運動方程2.位移與路程3.速度與速率

4.平均加速度與加速度5.法向加速度與切向加速度(一)描述物體運動的線參量(二)描述物體運動的角參量1.角位移2.角速度3.角加速度4.線參量與角參量的關(guān)系四物體勻變速運動的描述內(nèi)容結(jié)構(gòu)

矢量一.矢量的表示法aAa=|a|axaxayazyzoaA=|A|二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？三.標量積(點積、數(shù)量積、內(nèi)積)

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，指向由右手螺旋法則確定。四.矢量積(向量積、叉積、外積)bacc

1.矢量函數(shù)的微商與標量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當t0時，A的極限方向，才是的方向。

特別是,當A的大小不變而只是方向改變時,就時刻保持與A垂直。(1)矢量微分運算法則(2)矢量積分運算法則例

矢量，計算解討論A徑向變化率：沿矢量原方向的伸縮變化率B切向變化率：沿矢量原切向的方向變化率四邊形法則導數(shù)定義問題：A如果矢量表示位移，則徑向、橫向變化率表示什么物理量？

B如果單位矢量不隨時間發(fā)生旋轉(zhuǎn)(如直角坐標)，切向變化率為？

C圓周運動中速度矢量可寫為，則單位矢量切向變化率指？1.直角坐標系定義：由三條共點(原點)且兩兩互相垂直的射線構(gòu)成的坐標系矢量表示矢量的模矢量方向矢量求導1.1運動的可認知性——絕對運動與相對靜止的辯證統(tǒng)一案例討論：關(guān)于物質(zhì)運動屬性的兩種哲學論斷赫拉克利特：“人不能兩次踏進同一條河流”克拉底魯：“人不能同一次踏進同一條河流”案例分析赫拉克利特人可同一次踏進同一條河流人不可兩次次踏進同一條河流沒有靜止河流，運動是絕對的同一時刻河流存在相對靜止狀態(tài)河流是可認知、可描述的認知的河流是變化的，有條件的一參照物和參照系克拉底魯人不可同一次踏進同一條河流定量描述物質(zhì)運動的物理學是不可能或無意義的沒有靜止河流，運動是絕對的同一時刻河流都不存在相對靜止狀態(tài)物質(zhì)運動是不可知、不可描述的思辨物理學或思辨哲學物質(zhì)運動可描述的前提是承認相對靜止的存在；描述物質(zhì)運動是有前提、有條件的(運動的絕對性要求)；2.參照物與參照系參照物：被選取、且能用來描述物體運動狀況的物體參照系：固定與參照物之上，用來確定待描述物體空間位置和方向而引入的數(shù)學坐標系。參照物與參照系的關(guān)系：參照系是參照物的數(shù)學抽象，必須能夠建立坐標系的物體才能充當參照物?！枀⒖枷担ㄌ柀ず阈菂⒖枷担?/p>

▲地心參考系（地球─恒星參考系）

▲地面參考系或?qū)嶒炇覅⒖枷党Ｓ玫膮⒖枷担哼\動學中參考系可任選，不同參考系中物體的運動形式（如軌跡、速度等）可以不同。

常用的坐標系:▲

球極坐標系（r,θ,

）▲

柱坐標系（,,z）▲

自然“坐標系”▲

直角坐標系（x,y,z）2.自然坐標系定義：在已知運動軌跡上任取原點o，質(zhì)點距原點長度s來確定質(zhì)點位置矢量表示矢量求導參例題1.2.2，并獨立推導P1點曲率P1點曲率半徑獨立推導P1點曲率圓：過P1點、且半徑等于曲率半徑的切線圓(3)極坐標系定義：由共點于原點o的固定直線、射線構(gòu)成的坐標系，稱射線為極軸矢量表示矢量求導課后思考A推導自然坐標和極坐標矢量求導部分內(nèi)容B當矢量代表不同物理意義時，求導結(jié)果表示物理圖像C在球坐標、柱坐標中討論矢量表示及求導二理想物理模型1.質(zhì)點模型：當物體的線度(大小和幾何形狀)對所研究物體運動狀態(tài)的影響可以忽略不計時，用一個集中了物體所有質(zhì)量的數(shù)學點來代表物體的運動狀態(tài)，該點稱為質(zhì)點。

2.剛體模型：當物體的形變對其運動狀態(tài)的影響可以忽略不計時，將物體看作為一個不發(fā)生形變的幾何體三描述物體運動的物理參量1.位置矢量與運動方程(1).位置矢量：時刻t，由坐標原點指向質(zhì)點的有向線段。(一)描述物體運動的線參量(2).位置矢量的特征相對性——參照系瞬時性——時刻t矢量性——大小、方向、運算法則(2).運動方程：位置矢量的時間函數(shù)。(3).軌道方程：質(zhì)點在空間運動時的軌跡方程，稱為軌道方程說明：運動方程一般應(yīng)寫成矢量形式B說明：軌道方程可由運動方程消去時間參量t得到。數(shù)學表示為：f(x,y,z)=0例：質(zhì)點從如圖所示位置開始做勻速圓周運動求：運動方程與軌道方程解：運動方程：軌道方程：

(1)位移是位置矢量r

在時間t內(nèi)的增量:2.位移和路程

而A到B的路徑長度S,稱為路程。A(t)zyoxB(t+t)

稱為質(zhì)點在時間t內(nèi)的位移。

從起點A到終點B的有向線段AB=r

r(t)r(t+t)rt1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移位移=AC路程=AB+BCAB當t→0時,有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是兩個不同的概念。BAC

路程表示路徑長度，是標量，是弧長AB=S

。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

位移代表位置變化，是矢量，其大小是直線段AB的長度，與路徑形狀無關(guān)。單位時間內(nèi)的路程平均速率。

定義:

單位時間內(nèi)的位移平均速度。3.速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

如，質(zhì)點經(jīng)時間t繞半徑R的圓周運動一圈，

即使在直線運動中，如質(zhì)點經(jīng)時間t從A點到B點又折回C點,顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC平均速度

直角坐標表示:質(zhì)點的(瞬時)速率:limt0=

質(zhì)點的(瞬時)速度:

limt0

即：速度等于位置矢量r

對時間的一階導數(shù);而速率等于路程S對時間的一階導數(shù)。瞬時速度

直角坐標表示說明：a.瞬時速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線運動情形下兩者相等

b.平均速率不一定等于瞬時速率

速度的方向：軌道切線方向。c.瞬時速率與瞬時速度的大小相等例：3.1判斷下列寫法是否正確解a——正確，速率的定義式。b——正確，速率與速度大小相等。c——正確，由b的數(shù)學運算變形可得到c。矢量的導數(shù)=矢量大小的導數(shù)+矢量方向的導數(shù)標量的導數(shù)=標量大小的導數(shù)d——錯誤，位移的大小不等于路程作為特例，討論例子：可見，兩種表達式結(jié)果不同；幾何意義的區(qū)別如圖

例題3.2

質(zhì)點沿x軸運動,x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)質(zhì)點首先向哪個方向運動?何時調(diào)頭？

(2)t=0,2s時的速度;

(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。

t=1,5s前后速度改變了方向(正負號），所以t=1,5s調(diào)頭了。

因t=0，

=+15m/s,所以質(zhì)點首先向x軸正方向運動。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解(1)質(zhì)點做直線運動時，調(diào)頭的條件是什么？t=1,5s考慮到t=1s時調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為

s=|x(1)-x(0)|0~2s內(nèi)的位移：x=t3–9t2

+15t+1平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)

(2)t=0,2s時的速度;

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)

t=0,=15m/s

t=2,=-9m/s(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

說明：求解平均速率前，一定考慮物體運動方向是否有改變

4.平均加速度與加速度

(1).平均加速度

直角坐標表示說明：平均加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向沒有必然聯(lián)系。(2).即時加速度

直角坐標表示說明：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關(guān)加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè)(由高數(shù)二階導數(shù)知識)

任何一個曲線運動都可以看作是沿x,y,z三個坐標軸方向的獨立的直線運動的疊加,這就是運動的疊加原理。r=xi+yj+zk求導積分位矢、位移、速度、加速度這些就是運動學中的物理參量運動學的兩類問題例：3.3描述以作勻速圓周運動的質(zhì)點的運動狀況，并證明其速度方向沿圓周切線方向，加速度方向指向圓心。解：如圖建立坐標系A(chǔ).運動學方程于是B.軌道方程C.速度D.加速度E.證明其速度方向沿圓周切線方向速度方向沿圓周切線方向F.加速度方向指向圓心加速度方向與徑向方向相反，指向圓心說明：(1).對物體運動狀態(tài)的描述或分析物體的運動狀態(tài)，就是給出描述物體運動狀態(tài)所有參量的表達式。即：運動方程、軌道方程、速度、加速度。(2).討論矢量方向的通用方法是：證明該矢量的單位矢量與一已知矢量的單位矢量的標積，從而確定其方向(3).求質(zhì)點運動方程或軌道方程，一般是首先求出各分量坐標隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式，然后求運動方程或軌道方程平均速度：(2)第2s內(nèi)的平均速度：當t=1s時，(1)位矢：當t=2s時，

例題3.4

質(zhì)點:x=2t,y=19-2t2(SI),求：(1)質(zhì)點在t=1s、t=2s時的位置；解代入t=1s,得：加速度：

(3)第1s末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：由此得:t=0,3s(略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可見t=3s時最近。r有極值的必要條件是：

(5)何時質(zhì)點離原點最近?x=2t,y=19-2t2這是一條拋物線

(4)軌道方程：(6)第1s內(nèi)的路程:x=2ty=19-2t2(6)第1s內(nèi)的路程:=2.96m10例：3.5燈距地面的高度為H，身高為h的人在燈下以勻速率v沿水平直線行走，如圖3-4所示，求：他的頭頂在地面上的影子M點沿地面的移動速度。

解：對矢徑未知的問題,需先建立坐標系,找出矢徑再用求導的方法處理。本題中影子M點的運動方向向左，故只需建

立如圖所示的一維(x)坐標vxBDACHx1Mhox2由三角形MCD與三角形MAB相似注意到故影子M點運動速度為

解傘兵做直線運動，運動學參量都取標量。取o=0位置為坐標原點，向下為x軸的正方向。

例題3.5

傘兵豎直降落，o=0，a=A-B，式中A、B為常量；求傘兵的速度和運動方程。由初始條件o=0可得：C1=-A分離變量法完成積分就得運動方程:運動方程：六.

法向加速度和切向加速度自然坐標系一般用于描述曲線運動，需要了解軌道的曲率。自然坐標系：當質(zhì)點運動軌道已知時，任取軌道上一點O為原點，用質(zhì)點運動路程s和軌道切向和法向的單位矢量和來描述物體運動的坐標系，稱為自然坐標系。s稱為自然坐標。曲率：曲線彎曲程度的大?。ň植苛浚┫鄳?yīng)的曲率半徑為過軌道上一點P1的與軌道相切圓，如果圓的曲率與P1的曲率相等，稱這個圓為P1的曲率圓用自然坐標系描述質(zhì)點運動：路程：即是自然坐標s速率：速度：位移：單位矢量:

沿軌道切向

n

沿軌道法向指向凹側(cè)p1C.曲率圓

=

大小的變化率+方向的變化率=p1C.p2so加速度:

當t0時，0的極限方向為的方向，所以limt0因ds=d(為曲率半徑)p1C.p2so大小：方向：沿半徑指向圓心。大?。悍较颍貉剀壍狼芯€方向。作用：描述速度方向的變化。作用：描述速度大小的變化。加速度小結(jié)：名稱：向心(法向)加速度。名稱：切向加速度。加速度的大小:a與速度的夾角是:aan若y(x),則注意

A.v的物理含義速度，求解時，應(yīng)代入速率求解。中的v均是速率，不是B.標量、矢量的求導法則矢量的導數(shù)=矢量大小的導數(shù)+矢量方向的導數(shù)標量的導數(shù)=標量大小的導數(shù)例：判斷下列寫法是否正確——錯，應(yīng)是或——錯，應(yīng)是因——錯，因而顯然類似地由

得:解得(2)由解：(1)由公式例：質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，路程與時間的關(guān)系：求:(1)何時an=at

？(2)何時加速度的大小等于c?(b,c為常數(shù),且b2>Rc)

例：求斜拋體在任一時刻的法向加速度an、切向加速度at和軌道曲率半徑(設(shè)初速為v0，仰角為)。

解：設(shè)坐標x、y沿水平和豎直兩個方向，如圖示?？偧铀俣?/p>

(重力加速度)g是已知的;所以an、at只是重力加速度g沿軌道法向和切向的分量,由圖可得：xyvxanvvygatv0討論：(1).在軌道的最高點，顯然=0，vy=0故該點：an=g,at=0,(2).

因速率v可由已知公式直接寫出，于是此題也可先求：求出an，，再由最后由求出(2)

解法之二gaxyuo例：一質(zhì)點由靜止開始沿半徑r=3m的圓周運動，切向加速度

at=3m/s。求：

(1)第1s末加速度的大小；(2)經(jīng)多少時間加速度a與速度v成450解：(1).由

(2).加速度a與速度v成450，意味著a與an和at都成450，即表示

an=at，于是有：3t2=3,

求出t=1s

(二)描述物體運動的角參量1.引入描寫物體運動角參量的原因

對轉(zhuǎn)動問題，剛體各點線參量不同，用線參量描述剛體轉(zhuǎn)動要求對剛體每點都進行描述。而剛體轉(zhuǎn)動時的角參量卻各點都一樣，使用角參量描述剛體轉(zhuǎn)動問題是方便的。2.描寫物體運動的角參量

角位移，角速度，角加速度A.角位移：在t時間內(nèi)，物體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度，且規(guī)定逆時針方向角位移為正，順時針方向角位移為負。B.角速度：某一時刻t，角位移隨時間變化的快慢。說明：角速度是矢量，方向按右手螺旋法則判定。C.角加速度：某一時刻t，角速度隨時間變化的快慢。yxoAR3.角參量與線參量之間的關(guān)系

(1).條件:下述關(guān)系對圓周運動成立(2).角參量與線參量之間的關(guān)系

A.數(shù)值大小關(guān)系

B.矢量關(guān)系證明：對圓周運動類似證明其它關(guān)系式四物體勻變速運動的描述作為上述運動學規(guī)律的重要應(yīng)用，我們簡單回顧勻變速運動規(guī)律，包括勻變速直線運動和勻變速圓周運動。勻變速運動具有相似的物理規(guī)律，請大家從物理和數(shù)學角度仔細體會下面比較列表。附表：常見勻變速運動規(guī)律的描述

勻變速直線運動勻變速圓周運動狀態(tài)參量位置,位移

速度加速度運動規(guī)律的描述

勻速運動右手螺旋定則

勻變速運動例:一半徑R=1m的飛輪，角坐標=2+12t-t3(SI)求：(1)飛輪邊緣上一點在第1s末的法向加速度和切向加速度；

(2)經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動？

an=R2=(12-3t2)2,at=R=-6t

代入t=1s,an=812,at=-6(SI)(2)停止轉(zhuǎn)動條件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=0,0=2,而

t=2s,2=18，所以轉(zhuǎn)過角度：=2-0=16=8圈。解:(1)解：由角加速度為常量，注意到此處0=0，于是

(2).an=R2=4R，at=R。故加速度的大小為：得例:質(zhì)點由靜止開始沿半徑為R的圓周運動，角加速度為常量求：(1).該質(zhì)點在圓上運動一周又回到出發(fā)點時，經(jīng)歷的時間？

(2).此時它的加速度的大小是多少？§1.4相對運動問題一相對運動問題的提出二慣性系下的相對運動理論三慣性系下相對運動理論的應(yīng)用

參考系的選取不同，對運動的描述也不同。但物理規(guī)律應(yīng)該是一致的。（對稱性）在現(xiàn)代物理學當中，對稱性是一個重要概念。從圖形的對稱性談起：若圖形通過某種操作后又回到它自身，則稱圖形對該操作具有對稱性。例如：反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、平移對稱等(a)ddxy(b)

不同觀測者觀察到的物理規(guī)律的結(jié)構(gòu)不變性，稱為物理規(guī)律的對稱性。把物理規(guī)律的對稱性提升為認識自然規(guī)律的基本原理，稱為對稱性原理。

對稱性原理，也即物理規(guī)律在各種對稱操作下要保持不變，有著深刻的物理內(nèi)涵。

把對稱性的概念應(yīng)用于物理中，研究對象變成了物理量或物理定律。坐標系的變換、尺度的放大縮小、時間的平移等都可以視為某種操作。

我們可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過變換操作，物理量可以改變，但物理規(guī)律通常具有對稱性。宇稱不守恒：“對稱的世界是美妙的，而世界的豐富精彩又常在于它不那么對稱……藝術(shù)和科學，都是對稱與不對稱的巧妙的組合?！?/p>

——李政道守恒定律和對稱性的關(guān)系（分析力學/量子力學）物理規(guī)律對慣性系變換的對稱性狹義相對論物理規(guī)律對任意參考系的對稱性廣義相對論晶體結(jié)構(gòu)的對稱性群論固體物理一相對運動問題的提出參照系的選擇是任意的，因此，對物體運動的描述問題，不僅在于用同一參照系對物體運動狀態(tài)的描述，還必須解決用不同參照系對同一運動物體運動描述所得的結(jié)果之間的轉(zhuǎn)化問題(變換問題)。物理規(guī)律在不同坐標系之間的變換是任何物理領(lǐng)域中的重要和關(guān)鍵問題。二慣性系下的相對運動理論慣性系：牛頓定律嚴格成立的參照系，稱為慣性系。說明：對非慣性系，牛頓定律是不成立的，我們現(xiàn)在只限于討論慣性系問題。1.慣性系2.慣性系下的相對運動理論

對空間P點,有rps=rps+

rssyxyoSSzzO’rpsrps.

prssps=ps+ssaps=aps+ass

假定：參考系S和S之間，只有相對平移而無相對轉(zhuǎn)動,且各對應(yīng)坐標軸始終保持平行。伽利略變換

伽利略變換所體現(xiàn)的時空觀：不同坐標系下的矢量可以相加，也可以同時對時間求微分。rps=rps+

rssps=ps+ssaps=aps+ass

即：不同參考系下測量的空間間隔和時間間隔都相同，稱為絕對時空觀。

在高速運動情形，須代之以相對論時空觀。ps=-sp它表示：質(zhì)點P對S系的速度等于質(zhì)點P對S系的速度與S系對S系的速度的矢量和。

注意：(1).速度合成定理是矢量關(guān)系式。

(2).雙下標先后順序交換意味著改變一個符號,即：ps=ps+ss速度合成定理

絕對速度=相對速度+牽連速度(3).應(yīng)用方法：A.確定描述對象，選擇靜止系和運動參照系

B.確定絕對速度，相對速度，牽連速度

C.利用(1)~(2)或物理意義列方程并求解。例4.1：飛機羅盤顯示飛機機頭以速度215km/h向正東飛行，風速為65km/h，風速方向向正北求：(1).飛機相對地面的速度

(2).飛機欲向正東飛行，機頭應(yīng)指向什么