A微分中值定理

會計學1A微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理P126例1第1頁/共32頁點擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:第2頁/共32頁證第3頁/共32頁

羅爾定理的三個條件，缺一不可.例如,

洛爾定理指出了點的存在性，但不能確定它的位置。又例,不滿足條件(3),羅爾定理結論不成立.不滿足條件(1);

注:第4頁/共32頁使定理可推廣在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.第5頁/共32頁例2證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,第6頁/共32頁第7頁/共32頁第8頁/共32頁二、拉格朗日(Lagrange)中值定理P127第9頁/共32頁幾何解釋:分析:弦AB方程為第10頁/共32頁作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的導數(shù)之間的關系.證第11頁/共32頁證法二F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,

由R-定理知:第12頁/共32頁拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：第13頁/共32頁推論證明：設x1,x2是(a,b)內任意兩點，由L-定理(在x1,x2之間)

由x1,x2的任意性知:f(x)=常數(shù),x∈(a,b).

證畢!(設區(qū)間I為:(a,b))第14頁/共32頁例5證第15頁/共32頁例6證由上式得第16頁/共32頁求證存在使設可導，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設輔助函數(shù)使得第17頁/共32頁設證明對任意有證：不妨設第18頁/共32頁三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內可導(3)在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點使?jié)M足:要證第19頁/共32頁證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.第20頁/共32頁柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率第21頁/共32頁例證結論可變形為也可以用羅爾定理來證第22頁/共32頁例8

設f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求證：(a<ξ<b)證明令∵a,b同號，故x=0不在(a,b)內;∴(x),g(x)在(a,b)內可微?！嘤煽挛髦兄刀ɡ淼?3頁/共32頁例.

試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:第24頁/共32頁例.

試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在第25頁/共32頁內容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數(shù)費馬引理第26頁/共32頁第27頁/共32頁

思考2、證明第28頁/共32頁解答2o對f(x)在[b,a]上用拉格朗日公式,即證明1o由所要證