線性代數(shù)64教學(xué)大綱

PAGE1PAGE8《線性代數(shù)64學(xué)時(shí)》教學(xué)大綱數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院代數(shù)幾何教研室一、教學(xué)目的和要求《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》是原國家教委在高等學(xué)校財(cái)經(jīng)類專業(yè)中設(shè)置的核心課程之一，《線性代數(shù)》是該課程的重要組成部分。線性代數(shù)的地位在不斷提高，無論是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，還是在數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用中，線性代數(shù)都在扮演愈來愈重要的角色。對于財(cái)經(jīng)類的本科生，線性代數(shù)是學(xué)習(xí)許多后續(xù)課程的必備基礎(chǔ)，也是將來接受終生教育的必備基礎(chǔ)，現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)上所用的各種數(shù)值計(jì)算方法，基本上都要以線性代數(shù)的計(jì)算方法作為基礎(chǔ)，僅此一點(diǎn)就足以說明線性代數(shù)的重要性。本課程不僅要使學(xué)生掌握行列式的計(jì)算，線性方程組的求解，矩陣的各種運(yùn)算，矩陣的特征值和特征向量的求法等重要技能，而且要通過線性代數(shù)的基本概念和基本理論的學(xué)習(xí)，通過靈活多變的線性代數(shù)證明題的訓(xùn)練，培育學(xué)生的理性思維品格和思辯能力，開發(fā)學(xué)生的潛在能動(dòng)性和創(chuàng)造力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題根據(jù)本課程的特點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：1.本課程概念和命題（包括定理、推論、性質(zhì)等）比較多，要幫助學(xué)生識別那些是主要的、基本的，那些是次要的、從屬的。2.在學(xué)生掌握基本計(jì)算的基礎(chǔ)上，要適當(dāng)訓(xùn)練他們做一些證明題。線性代數(shù)證明題靈活多變、精彩紛呈，是對智力的一種挑戰(zhàn)。學(xué)生通過證明題的訓(xùn)練，才能對線性代數(shù)的理論和方法有所領(lǐng)會(huì)，才能對這門課程產(chǎn)生興趣。如果僅僅做一些程式化的計(jì)算題，學(xué)生就學(xué)不到線性代數(shù)的精髓，也會(huì)對這門課程感到索然無味。要在講授具體知識的過程中，滲透線性代數(shù)這門學(xué)科的思想方法，如降階的思想，消去法的思想，標(biāo)準(zhǔn)形的方法等。這樣才能使學(xué)生不僅學(xué)到具體的線性代數(shù)知識，掌握具體的線性代數(shù)技能，而且不斷提高數(shù)學(xué)的素質(zhì)。三、教學(xué)內(nèi)容行列式教學(xué)內(nèi)容:

§1.1二階與三階行列式§1.2排列排列；排列的奇偶性；對換對排列奇偶性的影響?！?.3n階行列式分析二階、三階行列式構(gòu)成；給出n階行列式的定義?！?.4行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算?！?.5行列式按一行（列）展開子式和代數(shù)余子式；行列式依行（依列）展開定理；降階的意義及在行列式計(jì)算方面的作用；Vandermonde行列式的計(jì)算?！?.6克萊姆法則§1.7數(shù)域數(shù)域的定義。教學(xué)基本要求：了解行列式的定義、熟練掌握行列式的性質(zhì)，掌握二、三、四階行列式的計(jì)算法，會(huì)計(jì)算n階行列式，理解并會(huì)應(yīng)用克萊姆法則。

教學(xué)重點(diǎn)：行列式的概念、計(jì)算及克萊姆法則的結(jié)論。

教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì)的證明。

作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值，利用克萊姆法則求解非齊次線性方程組。第二章線性方程組教學(xué)內(nèi)容：§2.1消元法消元法解線性方程組；矩陣的概念；矩陣的初等變換；線性方程組有唯一解、無窮多組解和無解的討論?！?.2n維向量空間n維向量的定義；向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算；n維向量空間定義?！?.3向量間的線性關(guān)系線性組合；向量組的線性相關(guān)性及其判定。§2.4向量組的秩向量組的極大線性無關(guān)組；等價(jià)向量組；向量組的秩?！?.5矩陣的秩矩陣的行秩與列秩；矩陣的秩；初等變換求矩陣的秩；向量組的秩和極大無關(guān)組的求法?！?.6線性方法組解的判定線性方程組有解判定定理；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件?！?.7線性方法組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)?！?.8線性方程組在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用教學(xué)基本要求：理解n維向量的概念，理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，了解并會(huì)運(yùn)用有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)結(jié)論。了解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，熟練掌握向量組的極大線性無關(guān)組及秩的求法。了解向量組等價(jià)的概念，了解向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念。理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。

教學(xué)重點(diǎn)：n維向量及向量組的線性相關(guān)性的概念和有關(guān)結(jié)論。向量組的極大無關(guān)組和秩的概念及其求法。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。向量組等價(jià)的概念線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊

次線性方程組有解的充分必要條件。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解。用行初等變換求線性方程組通解的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)結(jié)論的證明。向量組的極大線性無關(guān)組的求法。齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件

的證明。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念。用行初等變換求線性方程組通解的方法。

作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念及判斷，熟練掌握向量組的極大線性無關(guān)組和秩的求法使學(xué)生熟練掌握齊次線性方程組有非零解的判斷及基礎(chǔ)解系的求解方法，并能熟練掌握非齊次線性方程組有解的判斷及其求解方法。矩陣教學(xué)內(nèi)容：§3.1矩陣的概念矩陣相等的定義?！?.2矩陣的運(yùn)算矩陣的加法，數(shù)乘及矩陣的乘法，矩陣的算律，矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì)?！?.2初等矩陣消法、倍法、換法矩陣；初等矩陣和初等變換的關(guān)系?！?.3可逆矩陣可逆矩陣的定義；可逆矩陣的性質(zhì)；可逆矩陣的判別法；可逆矩陣乘法；矩陣的行列式；有關(guān)矩陣秩的定理?！?.4矩陣的分塊分塊的方法；分塊陣的運(yùn)算；準(zhǔn)對角形；分塊矩陣的初等變換。§3.5初等矩陣消法、倍法、換法矩陣；初等矩陣和初等變換的關(guān)系。§3.6幾種常用的特殊矩陣對角矩陣；準(zhǔn)對角矩陣；三角矩陣；對稱矩陣與反對稱矩陣。§3.7投入產(chǎn)出分析介紹教學(xué)基本要求：了解矩陣的概念，理解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣以及它們的性質(zhì)。掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式。理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆。理解分塊矩陣，掌握高階矩陣分塊的方法。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)，掌握初等變換求逆矩陣的方法。

教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念及其各種運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律。逆矩陣的概念、矩陣可逆的判斷及逆矩陣的求法。

教學(xué)難點(diǎn)：矩陣可逆的充分必要條件的證明，初等矩陣及其性質(zhì)，分塊矩陣及其運(yùn)算。

作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握矩陣的各種運(yùn)算，理解伴隨矩陣、初等矩陣和初等變換的概念，熟練掌握利用初等變換求矩陣的逆矩陣，熟練掌握矩陣可逆的判斷及逆矩陣的求法。向量空間教學(xué)內(nèi)容：§4.1向量空間向量空間的定義，例子；向量空間的性質(zhì)；子空間。§4.2向量的內(nèi)積內(nèi)積的定義和性質(zhì)；長度；正交組；正交化?！?.3正交矩陣正交矩陣的定義及性質(zhì)。教學(xué)基本要求：了解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)等概念。了解向量的內(nèi)積、正交矩陣的概念和性質(zhì)，施密特正交化過程。教學(xué)重點(diǎn)：子空間、基的概念，正交矩陣的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：向量空間的概念，施密特正交化過程。作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握向量空間、子空間、基，熟練掌握正交矩陣，施密特正交化過程。矩陣的特征值和特征向量教學(xué)內(nèi)容：§5.1矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量的定義；特征方程；特征值與特征向量的求法及有關(guān)性質(zhì)；矩陣的跡。§5.2相似矩陣和矩陣對角化的條件相似矩陣的定義；矩陣對角化的充要條件。§5.3實(shí)對稱矩陣的對角化實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)；化實(shí)對稱矩陣為對角形。教學(xué)基本要求：理解特征值、特征向量的概念及性質(zhì)，掌握特征值、特征向量的計(jì)算。了解相似矩陣的概念與性質(zhì)，理解矩陣可對角化的條件，了解實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量性質(zhì)，掌握實(shí)對稱矩陣對角化方法。教學(xué)重點(diǎn)：矩陣特征值、特征向量的概念，性質(zhì)，計(jì)算。理解矩陣可對角化的條件，了解實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量性質(zhì)，掌握實(shí)對稱矩陣正交化方法。教學(xué)難點(diǎn)：矩陣特征值、特征向量的概念。理解矩陣可對角化的條件，實(shí)對稱矩陣正交化方法。作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握特征值、特征值向量的計(jì)算，相似矩陣的概念，熟練掌握實(shí)對稱矩陣對角化。二次型教學(xué)內(nèi)容：§6.1二次型及其矩陣表示二次型的定義；二次型的矩陣；矩陣合同的概念?！?.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形配方法，矩陣對稱變換，正交替換化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形?！?.3正定二次型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，慣性定理；正定二次型的定義，判別方法。教學(xué)基本要求：理解二次型的定義；二次型的矩陣；矩陣合同的概念。掌握配方法，矩陣對稱變換，正交替換化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形。理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，慣性定理；熟練掌握正定二次型的定義，判別方法。教學(xué)重點(diǎn)：二次型的定義；二次型的矩陣；配方法化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形；正定二次型判別方法。教學(xué)難點(diǎn)：配方法化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形；正定二次型判別方法。作業(yè)：通過作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握二次型的定義；二次型的矩陣；矩陣合同的概念。配方法化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形。熟練掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，慣性定理；熟練掌握正定二次型的定義，判別方法。教學(xué)課時(shí)分配表各節(jié)名稱課時(shí)分配（學(xué)時(shí)）講課習(xí)題課合計(jì)第一章行列式10212第二章線性方程組12214第三章矩陣12214第四章向量空間426第五章矩陣的特征值與特征向量8210第六章二次型628合計(jì)521264參考書目北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)