概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章

第三章多維隨機變量及其分布一、二維隨機變量

三、條件分布

四、相互獨立的隨機變量

五、兩個隨機變量的函數(shù)的分布二、邊緣分布第一節(jié)二維隨機變量在許多隨機試驗中，需要考察的數(shù)量指標不止一個。例如1.考察某地區(qū)學(xué)齡前兒童的身體發(fā)育情況，對這一地區(qū)的兒童進行檢查，需同時測量他們的身高和體重，則得到兩個隨機變量可用來描述兒童的發(fā)育情況。2.射擊，如果在靶紙上沒有平面坐標系，那彈著點就可用隨機變量橫坐標和縱坐標描述。定義1

設(shè)隨機試驗的樣本空間是設(shè)和是定義在上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的一個向量稱為二維隨機變量或二維隨機向量。

定義2

設(shè)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機變量的分布函數(shù)，或X和Y

的聯(lián)合分布函數(shù)。

二維分布函數(shù)的幾何意義處的函數(shù)值:在隨機點落在以為頂點的左下方矩形開域上的概率。所以性質(zhì)：①

是變量和的不減函數(shù)，即對任意固定的，當(dāng)時，對任意固定的，當(dāng)時，②

③

關(guān)于右連續(xù)，即例1.

設(shè)的分布函數(shù)為求常數(shù)的值及概率解由分布函數(shù)的性質(zhì)得定義：

若二維隨機變量的所有可能取值是有限對或可列無限多對時，則稱為離散型隨機變量。

一、二維離散型隨機變量的分布律。稱為二維隨機變量性質(zhì)：例2、將骰子拋兩次，X—第一次出現(xiàn)的點數(shù)，Y—第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求（X,Y）的分布律。解：XY123456123456

例3.一袋中有四個球,上面分別標有數(shù)字1,2,2,3.從袋中任取一球后不放回,再從袋中任取一個球,以分別表示第一、二次取得的球上標有的數(shù)字，求的分布律。解可能取值均為1,2,3.同理可得所以的分布律為

01/61/121/61/61/61/121/60

123

123機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4甲、乙兩人投籃，每人投中的概率分別為今各投三次，求①兩人投中次數(shù)相同的概率；②甲投中次數(shù)比乙多的概率；③甲投中次數(shù)比乙小一次的概率。解表示甲投中的次數(shù)，表示乙投中的次數(shù)，由題意可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二維離散型隨機變量的分布函數(shù)為其中和式是對一切滿足的求和。一維隨機變量的分布函數(shù)為定義：

設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為若存在使得對任意實數(shù)總有則稱為二維連續(xù)型隨機變量,稱為的概率密度,或稱為隨機變量和的聯(lián)合概率密度。二、二維連續(xù)型隨機變量①②f(x,y)的性質(zhì):③若在點連續(xù)，則有④,即連續(xù)型隨機變量在某點的概率為0。G表示xoy平面上的區(qū)域,落在此區(qū)域上的概率相當(dāng)于以G為底,以曲面為頂?shù)那斨w體積。注：例5

設(shè)二維隨機變量的概率密度試求：⑴常數(shù)的值；⑵分布函數(shù)⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性質(zhì)得從而得⑵由分布函數(shù)的性質(zhì)⑷⑶將看作平面上隨機點的坐標，有例6

設(shè)二維隨機變量的概率密度為試求概率解積分區(qū)域如右圖所示的分布函數(shù)為例7

已知試求：⑴的概率密度⑵解⑴由概率密度的性質(zhì)知⑵的概率密度為例6

已知⑴求常數(shù)A的值；⑵求的分布函數(shù)解⑴由性質(zhì)可得所以⑵由于①當(dāng)或時，②當(dāng)時，（如下圖3-5(1)）③當(dāng)時，（如下圖3-5(2)）④當(dāng)時，（如下圖3-5(3)）⑤當(dāng)時，（如下圖3-5(4)）故邊緣分布第三章二、邊緣分布律一、邊緣分布函數(shù)三、邊緣概率密度第二節(jié)一、邊緣分布函數(shù)

的分布函數(shù)為分別的分布函數(shù)為設(shè)記和的邊緣分布函數(shù)。，稱為關(guān)于和則同理可得研究問題：已知聯(lián)合分布，怎樣求X,Y的邊緣分布。解:的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于例1:

已知的分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)和求關(guān)于問各服從什么分布？同理，二、離散型隨機變量的邊緣分布律

設(shè)的分布律為則關(guān)于的邊緣分布律為記做記做同理通常用以下表格表示的分布律和邊緣分布律機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1

已知下面分布率,求二維隨機變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律。注意

1/92/91/92/92/901/900

123

1234/94/91/914/94/91/9三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度若是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為則:同理關(guān)于X

和Y

的邊緣概率密度。分別是解:例2.上服從均勻分布,密度

和的概率密度為xy01y=xxy01y=x解:例2.上服從均勻分布,密度

和的概率密度為例3

已知解例4

已知解由對稱性得注：聯(lián)合分布邊緣分布書82頁：例3條件分布第三章二、連續(xù)型隨機變量的條件分布一、離散型隨機變量的條件分布第三節(jié)對二維隨機變量,在一個隨機變量取固定值的條件下,另一隨機變量的概率分布,稱為條件概率分布(簡稱2、二維離散型隨機變量的條件分布設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為則關(guān)于X的邊緣分布律為關(guān)于Y

的邊緣分布律為條件分布)若，則由條件概率的定義知稱之為在條件下X

的條件分布律。類似地，當(dāng)時，在條件下Y

的條件分布律為例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)

的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求隨機變量(或)的分布列.(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(1)所求概率分布律為于是同理01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101解:(1)所求概率分布律為(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101解:(2)所求概率分布律為(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.3、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布對于二維連續(xù)型隨機變量，由于對任一特定值x或y，均有及，故對二維連續(xù)型隨機變量，不能直接套用條件概率來定義條件概率分布。下面我們利用極限來定義二維連續(xù)型隨機變量的條件分布：設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為,邊緣密度連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)定義為:若連續(xù),則對使的點

,條件分布函數(shù)記為即在條件Y=y

下,連續(xù)型隨機變量X

的條件分布函數(shù)為:條件概率密度函數(shù)為連續(xù)型隨機變量Y

的條件分布函數(shù)為:同理在條件X=x

下,條件概率密度函數(shù)為例4已知二維隨機變量的密度為試求及解：由例1知于是，對有例4已知二維隨機變量的密度為試求及解：由例1知對有類似地,例5設(shè)二維隨機變量試求解:由及(見例3)有=例5設(shè)二維隨機變量試求容易看出,此條件分布仍是正態(tài)分布:類似可以得到也是正態(tài)分布:二元正態(tài)分布的條件分布仍是正態(tài)分布.的條件例6

設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求解：（1）隨機變量X的概率密度函數(shù)為在的條件下，Y的條件概率密度函數(shù)為當(dāng)時，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為在其它點處，有(2004)從而（2）當(dāng)時，當(dāng)或時，因此的條件例6

設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)從而（3）的條件例6

設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)相互獨立的隨機變量第三章二、n個隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性第四節(jié)均有一、兩個隨機變量的獨立性定義1

若二維隨機變量對任意的實數(shù)成立，則稱隨機變量是相互獨立的。即1)對于離散型的隨機變量2)對于連續(xù)型的隨機變量幾乎處處成立。例1

設(shè)隨機變量相互獨立，試確定a,b,c的值？解：因為相互獨立例2

設(shè)隨機變量的概率密度為試問與是否相互獨立?解因為關(guān)于的邊緣概率密度故與是相互獨立的。例3.（約會問題）張三與李四決定在老地方相會，他們到達時間均勻分布在晚上7:00—7:30,且時間相互獨立,求：兩人在5分鐘之內(nèi)能見面的概率。解設(shè)張三到達的時間為X；李四到達的時間為Y，所以，所求概率為注：關(guān)于正態(tài)分布的重要結(jié)論。（86頁例5）二、n個隨機變量的獨立性（自學(xué)）參87頁定理

設(shè)隨機變量相互獨立，h,g是連續(xù)函數(shù)，則隨機變量也相互獨立。二維隨機變量的函數(shù)的分布第三章一、離散型隨機變量函數(shù)的分布第五節(jié)二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布

設(shè)離散型隨機變量的分布律為設(shè)為二元函數(shù)，求的分布律。當(dāng)時，Z相應(yīng)的值為且有例：例1

假設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律為分別求的分布律，并判斷是否獨立？解且=0.19.Zp01230.070.370.370.19所以，同理可得下表化簡整理，得各函數(shù)的分布律為：因為而不相互獨立。故例2

假設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布。求的分布律。解

由題意可知故故泊松分布具有可加性二、二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布

Ⅰ.Z=X+Y的分布已知(X,Y)的概率密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y的分布函數(shù)為解：令x=u-y,則而特別地,當(dāng)X與Y相互獨立時,有上式稱為的卷積公式,記為例3

假設(shè)X和Y相互獨立,且都服從標準正態(tài)分布，解由題意可知X與Y的概率密度分別為由卷積公式可得Z的概率密度為結(jié)論：

正態(tài)分布的可加性（96頁）若隨機變量相互獨立，并且,則例4

設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為解：的概率密度為當(dāng)時，當(dāng)時，所以例5

設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，X服從區(qū)間(0,1)上的上的均勻分布，Y服從的指數(shù)分布，試求隨機變量Z=X+Y的概率密度函數(shù)。綜上所述隨機變量Z=X+Y的密度函數(shù)為總結(jié)：用公式求和函數(shù)的一般過程1、根據(jù)x和y的概率密度，確定是否用卷積公式。并且決定用dx或是dy型的積分。以為例4、整理成完整的表達式。例6、練習(xí)解法1利用概率密度公式Ⅱ.M=max(X,Y)，N=min(X