非線性物理引言02

非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：為什么要看拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)？從單擺的例子可以看出在相空間里面，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成了豐富的拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)。雖然我們不進(jìn)行真正的拓?fù)鋵W(xué)分析，但是初步的拓?fù)鋵W(xué)穩(wěn)定性分析還是需要的。。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：考慮一階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微分方程：2. 例如Newton’ssecondlawsystem：3. 單擺問題；非線性hardspring問題；Vander

Pol方程：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：4. 相空間動(dòng)力學(xué)方程變成：隨著時(shí)間變化，我們就有了相軌跡，大模樣上形成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。對(duì)于無阻尼單擺問題：我們由此可以定義所謂的相速度：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：相空間動(dòng)力學(xué)方程的拓?fù)鋵W(xué)分析基本上有兩大任務(wù)：(1)相空間中的穩(wěn)定與非穩(wěn)定點(diǎn)－－奇異點(diǎn)；(2)相空間中相速度的分布。簡(jiǎn)單奇異點(diǎn)的定義與分類：3. 中心點(diǎn)：Vortexpoint，其定義很簡(jiǎn)單，一目了然。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言鞍點(diǎn)：saddlepoint。大家可以對(duì)照單擺問題來分析哪個(gè)點(diǎn)是鞍點(diǎn)。焦點(diǎn)：focalpoint。經(jīng)過螺旋路徑，系統(tǒng)在無限長(zhǎng)時(shí)間或者經(jīng)過無限多次螺旋最終達(dá)到焦點(diǎn)F。此時(shí)，相空間中每一點(diǎn)只可能是一條螺旋軌跡上的某一點(diǎn)。這類焦點(diǎn)可以是穩(wěn)定的，也叫吸引子。后面我們還會(huì)看到奇異吸引子的概念。 還有很多更復(fù)雜的奇異點(diǎn)現(xiàn)象！2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言焦點(diǎn)的實(shí)例來自于單擺運(yùn)動(dòng)。我們反復(fù)以這個(gè)例子來說明物理概念。帶阻尼的系統(tǒng)，其演化方程為：9. 節(jié)點(diǎn)：nodalpoint。節(jié)點(diǎn)的概念是focalpoint的一種延伸。我們來看看上述單擺例子在過阻尼情況下的解如何。8. 在亞阻尼情況下(<0)，上述方程的解如下，所以要經(jīng)過無限長(zhǎng)時(shí)間，系統(tǒng)最后達(dá)到focalpointx=0.2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言 上述方程在有限時(shí)間內(nèi)就達(dá)到了穩(wěn)定位置x=0，即節(jié)點(diǎn)。其定義是在xx=0時(shí)，軌跡的斜率是有限的，不同軌跡在趨近節(jié)點(diǎn)時(shí)斜率不同；而焦點(diǎn)處不同軌跡的斜率是一樣的。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：上面我們定義了各類所謂的奇異點(diǎn)，下面要處理的問題是如何從相空間運(yùn)動(dòng)方程來判斷說研究的點(diǎn)是哪一類，穩(wěn)定性如何。首先來看軌跡的斜率：3. 毫無疑問，在奇異點(diǎn)(x0,y0)處，必定有P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0。而在奇異點(diǎn)附近的正常點(diǎn)處，雖然P或者Q可能為零，但是它們不能同時(shí)為零，否則就是奇異點(diǎn)了。因此，我們可以寫出：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言4. 級(jí)數(shù)展開，并忽略掉高階項(xiàng)(高階項(xiàng)并非都是無用的，我們只進(jìn)行線性化分析)。上面提到的幾種所謂簡(jiǎn)單奇異點(diǎn)都是可以通過進(jìn)行線性化分析可以得到的，而較復(fù)雜的就要考慮高階非線性項(xiàng)了。進(jìn)一步分析，可以假定u0和v0，則只要下式滿足就可以進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，而且系統(tǒng)只有我們前面提到的四種奇異點(diǎn)。否則就需要考慮高階非線性項(xiàng)。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言7. 我們進(jìn)行一些變換：8. 關(guān)于u的解具有特征根：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言我們來分析一下特征根，從而推出上述四種奇異點(diǎn)。首先不考慮q=0，因?yàn)檫@對(duì)應(yīng)高階奇異點(diǎn)，因此沒有零特征根。詳細(xì)的分析對(duì)大家很簡(jiǎn)單，自己去完成吧。11. 作業(yè)：建立右圖！2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言穩(wěn)定性分析：李雅普洛夫Lyapunov定理：奇異點(diǎn)附近的線性化方程的特征根實(shí)部如果非零，則所有實(shí)部為負(fù)時(shí)奇異點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，只要一個(gè)根實(shí)部為正，則是不穩(wěn)定點(diǎn)。彭加勒Poincare定理：對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)dx/dt=P(x,y)，dy/dt=Q(x,y)，如果某一奇異點(diǎn)O是中心點(diǎn)或者焦點(diǎn)，在其附近如果P和Q應(yīng)該滿足：P(x,-y)=-P(x,y)，Q(x,-y)=Q(x,y)，那么O就一定是中心點(diǎn)。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言實(shí)例分析：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)無阻尼運(yùn)動(dòng)方程為：奇異點(diǎn)在y0=0,x0=n(n=0,1,2,..)設(shè)定x=x0+u,y=y0+v,我們得到：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言到底是中心點(diǎn)還是焦點(diǎn)，我們可根據(jù)彭加勒定理進(jìn)行判斷。在奇異點(diǎn)附近，P(x,-y)=-y=-P(x,y),Q(x,-y)=-2sinx=Q(x,y)。所以x0=0和y0=0是中心點(diǎn)。類似的方法可以用來判斷奇異點(diǎn)x0=,y0=0是鞍點(diǎn)。如此類推，得到下面的相空間拓?fù)鋱D。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言拓?fù)鋵W(xué)分析：分叉Bifurcation如果系統(tǒng)參數(shù)不同，拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)會(huì)如何變化？分叉的數(shù)學(xué)意義是說一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在相空間中的拓?fù)鋵W(xué)行為會(huì)隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化發(fā)生突變，對(duì)應(yīng)奇異點(diǎn)的類型會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)化。2. Saddle-NodeBifurcation看看一個(gè)例子： 在=0時(shí)，q=0,這兩個(gè)點(diǎn)合并，形成高階奇異點(diǎn)。在<0時(shí)，系統(tǒng)沒有靜態(tài)點(diǎn)或者說奇異點(diǎn)。因此=0對(duì)應(yīng)于參量由負(fù)變正時(shí)形成的nodal-saddle分叉點(diǎn)。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言3. Transcritical

Bifurcation看看一個(gè)例子： 當(dāng)參數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)在相空間的奇異點(diǎn)類型發(fā)生交換，這稱之為交換臨界分叉。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言4. PitchforkBifurcation看看一個(gè)例子：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言 因此，隨著參數(shù)由負(fù)變正，我們看到在x-二維坐標(biāo)系中，奇異點(diǎn)的軌跡形成一個(gè)音叉一樣。我們稱之為pitchfork分叉，或者是超臨界分叉supercriticalbifurcations。x 如果方程為x(+x2)，則我們可以觀察到亞臨界分叉subcriticalbifurcation，音叉在<0一側(cè)。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言5. Hopf

Bifurcation看看VanderPol這個(gè)例子：2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言 Hopf

Bifurcation

意味著在奇異點(diǎn)附近，當(dāng)參量由負(fù)變正時(shí)，系統(tǒng)從一個(gè)衰減振蕩到奇異點(diǎn)(0,0)的動(dòng)力學(xué)演化特征轉(zhuǎn)變?yōu)閺钠娈慄c(diǎn)放大振蕩到外圍的一個(gè)極限環(huán)。 在參量<4時(shí)，系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)定的螺旋線轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)不穩(wěn)定的螺旋線。轉(zhuǎn)變點(diǎn)處我們說系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分叉。2023/1/15PLDLab,LSSMS非線性物理：引言結(jié)語：通過上面對(duì)簡(jiǎn)單的二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析，我們可以對(duì)奇異點(diǎn)附近系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化(時(shí)間軌跡)作出一個(gè)大致的定性分析。上述內(nèi)容事實(shí)上是早期非線性動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容，或者說是微分方程穩(wěn)定性理論的主要任務(wù)之一。現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)理論則主要研究大范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拓?fù)鋵W(xué)特征，以及高階穩(wěn)定性分析方法，牽涉到的數(shù)學(xué)十分繁瑣。當(dāng)這樣的一個(gè)動(dòng)力學(xué)