概率統(tǒng)計第五章

第五章統(tǒng)計量總體和樣本統(tǒng)計量抽樣分布淮陰工學(xué)院本科生課程問題一：一個商店經(jīng)營一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品的利潤最大，你的措施是什么？問題二：一個服裝廠生產(chǎn)一種男服，一批是10000件，這批貨中間碼號是180的男裝應(yīng)該是多少件？不知道顧客需求的分布。知道分布，不知道參數(shù)。數(shù)理統(tǒng)計與概率論是兩個有密切聯(lián)系的學(xué)科,它們都以隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律為研究對象.但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：概率論——已知隨機變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用;數(shù)理統(tǒng)計——通過對實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷整體的規(guī)律性.

數(shù)理統(tǒng)計的核心問題——由樣本推斷總體§5.1總體§5.1總體定義一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.研究對象的全體稱為總體(母體)，總體中每個對象稱為個體.

總體不過在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個個體的一項(或幾項)數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.稱總體中所含個體的數(shù)目為總體容量.例如，研究成年男子的身體素質(zhì)身高若從該大學(xué)一年級學(xué)生中任意抽查學(xué)生的身高，所得結(jié)果為一隨機變量，記作X.X的概率分布反映了總體中各個值的分布情況.很自然地,我們就用隨機變量X來表示所考察的總體.X的分布函數(shù)和數(shù)字特征就是總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.今后不必區(qū)分總體和其相應(yīng)的隨機變量.并常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.比如說總體X

或總體F(x).§5.1總體§5.2樣本為推斷總體分布及各種特征,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗以獲得有關(guān)總體的信息.這一抽取過程稱為抽樣,所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.從全校男生中抽取200人測身高，樣本容量為200.抽到哪200人是隨機的！樣本是n維隨機變量§5.2樣本為推斷總體分布及各種特征,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗以獲得有關(guān)總體的信息.這一抽取過程稱為抽樣,所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.從全校男生中抽取200人測身高，樣本容量為200.

容量為n的樣本可以看作一n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)

.但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù)x1,x2,…,xn,稱為樣本(X1,X2,…,Xn)的一組觀測值，簡稱樣本值

.§5.2樣本§5.2樣本抽樣的目的是為了對總體進行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作簡單隨機抽樣,它要求抽取的樣本X1,X2,…,Xn

滿足下面兩點:獨立性：

X1,X2,…,Xn

是相互獨立的隨機變量;代表性：

Xi

(i=1,2,…,n)與所考察的總體X同分布.由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn

表示.§5.2樣本若總體X的分布函數(shù)和概率密度分別為F(x)和f(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度分別為F(x1,x2,…,xn

)3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體(理論分布)？

樣本

樣本值總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.統(tǒng)計是從手中已有的資料—

樣本值,去推斷總體的情況—總體分布F(x)的性質(zhì).§5.2樣本由樣本值去推斷總體情況,需要對樣本值進行“加工”,一個有效的方法就是構(gòu)造一些樣本的函數(shù),通過樣本函數(shù)把樣本中所含的(某一方面)的信息集中起來.這種不含任何未知參數(shù)、完全由樣本決定的量稱為統(tǒng)計量定義

設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自總體X的容量為n的樣本,若樣本函數(shù)g(x1,…,xn)中不含任何未知參數(shù),則稱g(x1,…,xn)是一個統(tǒng)計量.§5.3統(tǒng)計量§5.3統(tǒng)計量例2

設(shè)X1,X2,X3

是取自正態(tài)總體X~(,2)

的一個樣本,其中已知,未知

,問下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計量,那些不是？

×X1,X2+1,(X1+

X2

+

X3)/3,Max{X1,X2,X3},

定義

設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自總體X的容量為n的樣本,若樣本函數(shù)g(x1,…,xn)中不含任何未知參數(shù),則稱g(x1,…,xn)是一個統(tǒng)計量.樣本的函數(shù)我們主要研究基本的統(tǒng)計量：樣本矩

§5.3統(tǒng)計量樣本矩——幾個常見的統(tǒng)計量

樣本均值樣本方差樣本

k

階原點矩樣本

k

階中心矩

k=1,2,…樣本標(biāo)準(zhǔn)差他們相應(yīng)的觀測值分別為：

k=1,2,…統(tǒng)稱為樣本矩

§5.3統(tǒng)計量定理設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自總體X的容量為n的樣本,若X有期望EX=和方差DX=

2,則

=

,(1)

E(S2)

?

=

2,(2)=

2/n;(3)§5.3統(tǒng)計量§5.4抽樣分布一、c

2

分布定義

設(shè)X1,…,Xn

獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),稱隨機變量所服從的分布為自由度為

n

的

2

分布,記為Y~2

(n).可以證明c2分布的密度為

其中伽瑪函數(shù)(x)通過積分定義的.

§5.4抽樣分布c

2分布的基本性質(zhì)10

設(shè)Y1

~

2(m),Y2

~

2(n),且Y1,Y2相互獨立，則

2分布的可加性20

若Y~

2(n)，則EY

DY

=n,

=2n.30

設(shè)X1,

…,Xn

相互獨立,且都服從正態(tài)分布N(,

2),則40若Y

~

2分布,則當(dāng)n充分大時,近似服從N(0,1).§5.4抽樣分布上側(cè)分位數(shù)

定義

設(shè)X～N(0,1),0<<1,則稱滿足等式

P(X>z

)=

的數(shù)z

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)；定義

設(shè)隨機變量X的密度為f(x),對給定的(0<<1),稱滿足等式

的數(shù)x

為此分布的上側(cè)

分位數(shù)

2分布的上側(cè)

分位數(shù)

：

2分布函數(shù)的值可通過查表得到.

f

(x)

O

x§5.4抽樣分布二、t

分布定義

設(shè)X～N(0,1),Y

～c2

(n),且X與Y相互獨立,稱隨機變量所服從的分布為自由度為n的t分布,記為T～t(n).可以證明

T的密度函數(shù)為：偶函數(shù)T分布的密度關(guān)于y軸對稱,且當(dāng)n充分大時,t分布近似N(0,1).

§5.4抽樣分布自由度為n的t分布的數(shù)學(xué)期望和方差為:

D(T

)=n

/

(n-2),(n

>

2).

E(T

)=0;可查t分布表

求

P(T>

t(n))=,

自由度為n的t分布的上側(cè)分位數(shù)

f

(x)Oxt

(n)§5.4抽樣分布三、F

分布定義

設(shè)隨機變量X與Y獨立，則稱統(tǒng)計量所服從的分布為第一自由度為m,第二自由度為n

的F分布，記作F~F(m,n).

F分布的數(shù)學(xué)期望F分布的性質(zhì):①

若

X~F(m,n),則1/X~F(n,m).②若

X~t(n),則X2

~F(1,n)

§5.4抽樣分布可查F分布表

求

P(F>

F(m,n))=,第一自由度為

m,第二自由度為n

的

F分布的上側(cè)

分位數(shù)F

(m,n)

f

(x)OxF分布上側(cè)

分位數(shù)的性質(zhì)：對給定的,恒有∵

若

X~F(m,n),則1/X

~

F(n,m),

且

1-

=P(

X>

F1-

(m,n))

(*)§5.4抽樣分布四、抽樣分布設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體

N(

,

2)的樣本,則定理——樣本均值、方差的分布設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體N(

,

2)的樣本,則定理——樣本均值和方差標(biāo)準(zhǔn)化的抽樣分布

§5.4抽樣分布解由題意知,所求x

滿足P(X

>x)=1-

0.95,

即n

=15,

=

0.

05,查表知,x=24.996.例1

設(shè)X～

2

(15),試確定x的值,使P(Xx)=0.95.例2

設(shè)

X1,

…,X10是來自正態(tài)總體X