機械測試技術(shù)課件2

測試技術(shù)(1)四、周期信號的頻域描述

在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當滿足狄里赫利條件*時可展開成傅里葉級數(shù)：

式中，注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有b-n=-bn。

(2.12)(2.13)(2.14) 信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達式：

式中，

An稱信號頻率成分的幅值，φn稱初相角。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有φ-n=-φn。

比較式（2.12）和式（2.15），可見：（2.15）n＝1,2,……（2.16）

n＝1,2,…… （2.17）

小結(jié)與討論式中第一項a0/2為周期信號中的常值或直流分量

；從第二項依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波

；將信號的角頻率ω0作為橫坐標，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。

由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。

周期信號的頻譜是離散的!

例1 求圖2.11所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)。 解：

信號x（t）在它的一個周期中的表達式為：

根據(jù)式（2.13）和（2.14）有：圖2.11周期方波信號

注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零。

根據(jù)式（2.12），便可得圖2.11所示周期方波信號的傅里葉級數(shù)表達式為：

圖2.12周期方波信號的頻譜圖奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)計算特點

x(t)為奇函數(shù)

由于x(-t)=-x(t)，因此， 由式（2.16）進而有（2.18）（2.19）x(t)為偶函數(shù)由于x(-t)=x(t)，因而有進而有圖2.14偶函數(shù)例，圖中函數(shù)為對稱于縱軸的三角波（2.20）（2.21）傅里葉級數(shù)表達成指數(shù)函數(shù)的形式

由歐拉公式可知

： 代入式（2.12）有：

令 則 或（2.22）（2.23）（2.24）（2.25） 求傅里葉級數(shù)的復系數(shù)

Cn

Cn是離散頻率nω0的函數(shù)，稱為周期函數(shù)x(t)的離散頻譜。Cn一般為復數(shù)，故可寫為 且有（2.26）（2.27）（2.28）（2.29）離散頻譜的兩個重要性質(zhì)每個實周期函數(shù)的幅值譜是n（或nω0）的偶函數(shù)

。當周期信號有時間移位τ時，其振幅譜不變，相位譜發(fā)生±nω0τ弧度的變化。

周期信號的頻譜的特點周期信號的頻譜是離散譜；周期信號的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處；周期信號的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。解：根據(jù)式（2.26）有

例2求周期矩形脈沖的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為τ，如圖2.16所示。圖2.16周期矩形脈沖

由于ω0=2π/T，代入上式得 定義

則式（2.36）變?yōu)?根據(jù)式（2.25）可得到周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式為（2.36）（2.37）（2.38）（2.39）圖2.17周期矩形脈沖的頻譜（T=4τ）

通常將0≤ω≤2π/T這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號的帶寬，用符號ΔC表示：

我們來考慮當周期矩形脈沖信號的周期和脈寬改變時它們的頻譜變化的情形。

(2.40)圖2.18信號脈沖寬度與頻譜的關(guān)系

信號的脈沖寬度相同而周期不同時，其頻譜變化情形：圖2.19信號周期與頻譜的關(guān)系

五、周期信號的功率

一個周期信號x（t）的功率為：

將式（2.15）代入式（2.41），有

根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì)，式（2.41）展開后的結(jié)果為：

上式等號右端的第一項表示信號x（t）的直流功率，而第二項則為信號的各次諧波的功率之和。（2.41）（2.42）（2.43）

又因為，故式（2.43）又可寫為式(2.43)和式(2.44)稱巴塞伐爾（Parseval）定理。它表明：周期信號在時域中的信號功率等于信號在頻域中的功率。定義周期信號x（t）的功率譜為 其中Pn表示信號第n個功率譜點。功率譜的性質(zhì):Pn是非負的；Pn是n的偶函數(shù)；Pn不隨時移τ而改變。（2.44）（2.45）六、非周期信號的頻域描述

（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜（二）能量譜（三）傅里葉變換的性質(zhì)（四）功率信號的傅里葉變換（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜

設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)。它可表達為傅里葉級數(shù)的形式： 式中

將式（2.50）代入式（2.49）得

當T→∞時，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω。(2.49)(2.50)(2.51)

由式（2.51）得到 將式（2.52）中括號中的積分記為： 它是變量ω的函數(shù)。則（2.52）式可寫為： 將X(ω)稱為x（t）的傅里葉變換，而將x(t)稱為X(ω)的逆傅里葉變換，記為：

(2.52)(2.53)(2.54)(2.55)

非周期函數(shù)x（t）存在有傅里葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞,∞)上絕對可積，即 但上述條件并非必要條件。因為當引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進行傅里葉變換。 若將上述變換公式中的角頻率ω用頻率f來替代，則由于ω=2πf，式（2.53）和（2.54）分別變?yōu)?/p>

(2.56)(2.57)小結(jié)：從式（2.57）可知，一個非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的系數(shù)，決定著信號的振幅和相位。X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(f)一般為實變量f的復函數(shù)，故可將其寫為 將上式中的(或，當變量為ω時）稱非周期信號x(t)的幅值譜，φ(f)（或φ(ω)）稱x(t)的相位譜。(2.59) 例4 求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。 解：由式（2.56）有 于是圖2.21單邊指數(shù)函數(shù)

e-atξ(t)(a>0)圖2.22單邊指數(shù)函數(shù)e-atξ(t)(a>0)的頻譜 例5圖2.23所示為一矩形脈沖（又稱窗函數(shù)或門函數(shù)），用符號gT(t)表示： 求該函數(shù)的頻譜。 解：

圖2.23矩形脈沖函數(shù)(2.59)

其幅頻譜和相頻譜分別為： 可以看到，窗函數(shù)gT(t)的頻譜GT(ω)是一個正或負的實數(shù)，正、負符號的變化相當于在相位上改變一個π弧度。

(2.60)(2.61)(2.62)圖2.24矩形脈沖函數(shù)的頻譜GT(ω)矩形脈沖函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對傅里葉變換對，若用rect（t）表示矩形脈沖函數(shù)則有：（二）能量譜

一個非周期函數(shù)x（t）的能量定義為 將式（2.54）代入上式可得 對于實信號x(t)，有，式(2.64)變?yōu)?2.63)(2.64)

由此最后得 式（2.64）亦稱巴塞伐爾方程或能量等式。它表示，一個非周期信號x(t)在時域中的能量可由它在頻域中連續(xù)頻譜的能量來表示。 式（2.64）亦可寫成 其中，,稱S(ω)為x(t)的能量譜密度函數(shù)，簡稱能量譜函數(shù)。(2.65)(2.66)圖2.27矩形脈沖函數(shù)的能量譜曲線及能量表示(三)傅里葉變換的性質(zhì)對稱性（亦稱對偶性）線性尺度變換性奇偶性時移性頻移性（亦稱調(diào)制性）卷積時域微分和積分頻域微分和積分對稱性（亦稱對偶性） 若有則有線性 如果有則(2.67)(2.68)尺度變換性

如果有則對于實常數(shù)a，有若信號x（t）在時間軸上被壓縮至原信號的1/a，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬a倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號幅值的1/|a|。信號的持續(xù)時間與信號占有的頻帶寬成反比。(2.69)圖2.29窗函數(shù)的尺度變換（a=3）奇偶性x(t)為時間t的實函數(shù)x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)），X(ω)為ω的實、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)），X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；x(t)為時間t的實函數(shù)

(2.73)(2.74)5.時移性

如果有 則 例8求圖2.30所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。 解：該函數(shù)的表達式可寫為

可視為一個中心位于坐標原點的矩形脈沖時移至t0點位置所形成。則

幅頻譜和相頻譜分別為(2.75)圖2.30具有時移t0的矩形脈沖圖2.31具有時移的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形6.頻移性（亦稱調(diào)制性） 如果有則ω0 ——常數(shù)。(2.76)圖2.32x(t)cosω0t的頻譜7.卷積時域卷積

如果有

則 式中x(t)*h(t)表示x(t)與h(t)的卷積。頻域卷積 如果有

則(2.79)(2.81)證明：（時域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時移性知，代入上式得(2.80)圖2.34卷積的