一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

北師版*2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系第二章一元二次方程知識點(diǎn)一：已知方程求方程兩根的代數(shù)式的值1．(教材P50例題變式)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的兩個根，則x1x2的值是()A．－2B．－3C．2D．32．(達(dá)川區(qū)月考)兩實(shí)數(shù)根的和是3的一元二次方程為()A．x2＋3x－5＝0B．x2－5x＋3＝0C．2x2－6x＋3＝0D．3x2－6x＋8＝0BCD

4．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的兩個根，則x12＋x22＝______．5．(眉山中考)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，則(x1－1)(x2－1)的值是_________.3－4解：Δ＝25－4×1×0＝25>0，設(shè)兩根為x1，x2，∴x1＋x2＝－5；x1·x2＝0知識點(diǎn)二：已知方程的根求方程的系數(shù)7．如果關(guān)于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是()A．－3，2B．3，－2C．2，－3D．2，38．(雅安中考)已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的兩根，且x1x2＝－3，則k的值為()A．1B．2C．3D．49．(教材P51習(xí)題改編)已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個根為2，則m＝______，另一根是_________.AB1－310．(煙臺中考)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的兩個根，且x1＋x2＝1－x1x2，則m的值為()A．－1或2B．1或－2C．－2D．1DA

12．設(shè)α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的兩個根，則α2＋4α＋β＝______．13．在解方程x2＋px＋q＝0時，甲同學(xué)看錯了p，解得方程的根為x＝1與x＝－3；乙同學(xué)看錯了q，解得方程的根為x＝4與x＝－2，你認(rèn)為方程中的p＝__________，q＝__________．4－2－315．(黃石中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0.(1)求證：該方程有兩個不等的實(shí)根；(2)若該方程的兩實(shí)根x1、x2滿足x1＋2x2＝9，求m的值．解：(1)證明：∵在方程x2－4x－m2＝0中，Δ＝(－4)2－4×1×(－m2)＝16＋4m2＞0，∴該方程有兩個不等的實(shí)根(2)∵該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，∴x1＋x2＝4①，x1·x2＝－m2②.∵x1＋2x2＝9③，∴聯(lián)立①③，解得x1＝－1，x2＝5，18．(南充自主招生)已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，(1)求證：無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；(3)k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．解：(1)因?yàn)棣ぃ絙2－4ac＝[－(2k＋3)]2－4×1×(k2＋3k＋2)＝1＞0，所以方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2，則AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝25，即(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25，解得k＝2或k＝－5.根據(jù)三角形的邊長必須是正數(shù)，因而兩根的和2k＋3＞0且兩根的積k2＋3k＋2＞0，∴k＝2(3)若AB＝BC＝5時，5是方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的實(shí)數(shù)根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4.由(1)知，無論k取何值，Δ＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：AB＋AC＝2k＋3，當(dāng)k＝3時，AB＋AC＝9，則周長是9＋5＝14；當(dāng)k＝4時，AB＋AC＝8＋3＝11.則周長是11＋5＝16方法技能：根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用條件：①是一元二次方程一般形式；②該方程有根，即a≠0且