《命題及其關(guān)系》試卷（） 省賽一等獎

《命題及其關(guān)系》試卷一、選擇題1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析由(2x－1)x＝0?x＝0或x＝eq\f(1,2)，所以應(yīng)選B.答案B2．命題“若a>b，則a3>b3”A．若a≥b，則a3≥b3 B．若a>b，則a3≤b3C．若a≤b，則a3≤b3 D．若a3≤b3，則a≤b解析由逆否命題的含義知，D正確．答案D3．命題“若a<0，則一元二次方程x2＋x＋a＝0有實根”與其逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．不確定解析當a<0時，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有實根，故原命題為真；根據(jù)原命題與逆否命題真假一致，可知其逆否命題為真；逆命題為：“若方程x2＋x＋a＝0有實根，則a<0”，因為方程有實根，所以判別式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq\f(1,4)，顯然a<0不一定成立，故逆命題為假；根據(jù)否命題與逆命題真假一致，可知否命題為假．故正確的命題有2個．答案B4．已知a，b，c是實數(shù)，則b2≠ac是a，b，c不成等比數(shù)列的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析因為命題“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”的逆否命題為“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”，是真命題，所以b2≠ac是a，b，c不成等比數(shù)列的充分條件；因為“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”是假命題，所以“若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac”是假命題，即b2≠ac不是a，b，c不成等比數(shù)列的必要條件．故選A.答案A5．(2022·東北三省二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要條件，那么k的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析q：eq\f(3,x＋1)<1?eq\f(3,x＋1)－1<0?eq\f(2－x,x＋1)<0?(x－2)·(x＋1)>0?x<－1或x>2.因為p是q的充分不必要條件，所以k>2，故選B.答案B6．(2022·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b，則“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b，所以f(1)＝1－2a＋b，f(3)＝9－6a＋b,1<a<2，所以1－2a<9－6a，即f(1)<f(3)；反過來，f(1)<f(3)時，得1－2a＋b<9－6a＋b得a<2，不能得到1<a<2，所以“1<a<答案A二、填空題7．已知命題“若a>b，則ac2>bc2”解析其中原命題和逆否命題為假命題，逆命題和否命題為真命題．答案28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為________．解析由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值為－1.答案－19．下面有四個關(guān)于充要條件的命題：①若x∈A，則x∈B是A?B的充要條件；②函數(shù)y＝x2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是b＝0；③x＝1是x2－2x＋1＝0的充要條件；④若a∈R，則a>1是eq\f(1,a)<1的充要條件；其中真命題的序號是________．解析由子集的定義知，命題①為真．當b＝0時，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c顯然為偶函數(shù)，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函數(shù)，則(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②為真．當x＝1時，x2－2x＋1＝0成立，反之，當x2－2x＋1＝0時，x＝1，所以③為真．對于④，由于eq\f(1,a)<1?eq\f(a－1,a)>0，即a>1或a<0，故a>1是eq\f(1,a)<1的充分不必要條件，所以④為假．答案①②③三、解答題10．π是圓周率，a，b，c，d∈Q，已知命題p：若aπ＋b＝cπ＋d，則a＝c且b＝d.(1)寫出命題p的否定并判斷真假；(2)寫出命題p的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么條件？并證明你的結(jié)論．解(1)原命題p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，則a≠c或b≠d”．假命題．(2)逆命題：“若a＝c且b＝d，則aπ＋b＝cπ＋d”，真命題．否命題：“若aπ＋b≠cπ＋d，則a≠c或b≠d”，真命題．逆否命題：“若a≠c或b≠d，則aπ＋b≠cπ＋d”，真命題．(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要條件．證明如下：充分性：若a＝c，則aπ＝cπ，∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b，即(a－c)π＝d－b.∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c，b＝d.∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要條件．11．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．條件p：x∈A，條件q：x∈B，并且p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解化簡集合A，由y＝x2－eq\f(3,2)x＋1，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴ymin＝eq\f(7,16)，ymax＝2.∴y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，2))，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).化簡集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．∵p是q的充分條件，∴A?B.∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4).∴實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析根據(jù)等價命題，便宜?沒好貨，等價于，好貨?不便宜，故選B.答案B2．(2022·天津卷)設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解析先證“a>b”?“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，則a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，則a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，則a2<b2，即－a|a|<－b|b|，從而a|a|>b|b|.再證“a|a|>b|b|”?“a>b”．若a，b≥0，則由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，則由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，故a>b；若a≥0，b<0，則a>b.綜上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要條件．答案C3．(2022·福建卷)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“△OAB的面積為eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件解析當k＝1時，l：y＝x＋1，由題意不妨令A(yù)(－1,0)，B(0,1)，則S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以充分性成立；當k＝－1時，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝eq\f(1,2)，所以必要性不成立．答案A4．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命題“A∩B＝?”是假命題，求實數(shù)m解因為“A∩B＝?”是假命題，所以A∩B≠?.設(shè)全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2則U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≤－1或m≥\f(3,2))).假設(shè)方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，