2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科(天津卷)

2004年一般高等學(xué)校招生全國一致考試(天津卷)數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）參照公式：假如事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)假如事件A、B互相獨立，那么P(AB)P(A)P(B)柱體（棱柱、圓柱）的體積公式V柱體Sh此中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的.1．i是虛數(shù)單位，(1i)(2i)=（）A．1ii31iC．13i13iB．D．2．不等式x12的解集為（）xA．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)3．若平面向量b與向量a(1,2)的夾角是180，且|b|35，則b（）A．(3,6)B．(3,6)C．(6,3)D．(6,3)4．設(shè)P是雙曲線x2y21上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0,F1、F2分別是雙曲線的左、a29右焦點，若|PF1|3，則|PF2|（）A．1或5B．6C．7D．95．若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=（）A．2B．2C．1D．142426．如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（）D1C1AB11A．10B．15C．4D．2E5553DC7．若P(2,1)為圓(x1)2y225ABAByFOAB）的弦的中點，則直線的方程是（A．xy30B．2xy30C．xy10D．2xy508．已知數(shù)列{an}，那么“對任意的nN*，點Pn(n,an)都在直線y2x1上”是“{an}為等差數(shù)列”的（）A．必需而不充分條件B．充分而不用要條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件9．函數(shù)y2sin(2x)(x[0,])為增函數(shù)的區(qū)間是（）6A．[0,3]B．[,7]C．[,5]D．[5,]121236610．如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，D1F1C1AA13。分別過BC、A1D1的兩個平行截面將長方AEB111體分成三部分，其體積分別記為V1VAEA1DFD1，DFCV2VEBEAFCFD，V3VBE1BCFC.AEB1111111若V1:V2:V31:4:1，則截面A1EFD1的面積為（）A．410B．83C．413D．1611．函數(shù)y3x21（1x0）的反函數(shù)是（）A．y1log3x(x1)B．y1log3x(x1)x(13x(13C．y1log3x1)D．y1log3x1)3312．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當x[0,]時，52f(x))的值為（）sinx，則f(3A．11C．3D．32B．222第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不一樣型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)目之比挨次為2:3:5，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.14．假如過兩點A(a,0)和B(0,a)的直線與拋物線yx22x3沒有交點，那么實數(shù)a的取值范圍是.15．若(12x)2004a0a1xa2x2...a2004x2004(xR)，則(a0a1)(a0a2)(a0a3)...(a0a2004).（用數(shù)字作答）16．從1，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，此中能被5整除的四位數(shù)共有個.（用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知tan()1，（1）求tan的值；（2）求sin2cos2的值.421cos218．（本小題滿分12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講競賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù).1）求的分布列；2）求的數(shù)學(xué)希望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小.PFEDCAB20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)ax3bx23x在x1處獲得極值.（1）談?wù)揻(1)和f(1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；（2）過點A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程.21．（本小題滿分12分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足以下條件：a1a,anf(an1)(n2,3,4,...),a2a1，f(an)f(an1)k(anan1)(n2,3,4,...)，此中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).（1）令bnan1an(nN*)，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）當|k|1時，求liman.n22．（本小題滿分14分）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為22，相應(yīng)于焦點F（c，0）（c0）的準線l與x軸訂交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓訂交于P、Q兩點.1）求橢圓的方程及離心率；2）若OPOQ0，求直線PQ的方程；（3）設(shè)APAQ（1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓訂交于另一點M，證明FMFQ.2004年一般高等學(xué)校招生全國一致考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參照解答一、選擇題：本題觀察基本知識和基本運算.每題5分，滿分60分.1—5DAACA6—10BABCC11—12DD二、填空題：本題觀察基本知識和基本運算，每題4分，滿分16分。13．8014．(,13)4

15．200416．300三、解答題：17．本小題觀察兩角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基礎(chǔ)知識，觀察基本運算能.滿分12分.tantan1tan（1）解：tan()41.41tantantan4由tan()1，有1tan1.4121tan2解得tan.3（2）解法一：sin2cos22sincoscos21cos212cos212sincostan1115.2cos2326解法二：由（1），nat1，得sin1cos33∴sin21cos21cos21cos2.99cos29.10于是cos22cos214，5sin22sincos2cos23.35sin2cos2395代入得5101cos24.16518．本小題觀察失散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)希望等看法，觀察運用概率知識解決實質(zhì)問題的能力.滿分12分.(C2kC43k,0,1,2。（1）解：可能取的值為0，1，2。)PkC63k所以，的分布列為012P131555（2）解：由（1），的數(shù)學(xué)希望為E0113211555（3）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P(1)P(0)P(41)519．本小題觀察直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，觀察空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.方法一：（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO?！叩酌鍭BCD是正方形，∴點O是AC的中點在PAC中，EO是中位線，∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA//平面EDBPFEDCOAB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PDDC∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DEPC.①相同由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。而DE平面PDC，∴BCDE.②由①和②推得DE平面PBC.而PB平面PBC，∴DEPB又EFPB且DEEFE，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，DEEF,PDDB.設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則PDDCa,BD2a,PBPD2BD23a，PCPD2DC22aDE1PC2a.22在RtPDB中，DFPDBDa2a6a。PB3a32DEa3在Rt2EFD中，sinEFD，∴EFD.DF6a233所以，二面角C—PB—D的大小為.3D為坐標原點，設(shè)DCa.方法二：以以下圖建立空間直角坐標系，（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG.依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,a,a).22G的坐標為(a,a,0)且∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點22PA(a,0,a),EG(a,0,a).2PA2EG，這表示PA//EG.而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA//平面EDB.zPFEDCyGABx（2）證明；依題意得B(a,a,0)，PB(a,a,a)。又DE(0,a,a)，故PBDE0a2a20.2222PBDE.由已知

EF

PB

，且

EF

DE

E，所以

PB

平面

EFD.（3）解：設(shè)點

F的坐標為

(x0,y0,z0)，PF

PB，則(x0,y0,z0a)(a,a,a).從而x0a,y0a,z0(1)a.所以FE(x0,ay0,az0)(a,(1)a,(1)a).2222由條件EFPB知，F(xiàn)EPB0，即a2(1)a2(1)a20，解得1223∴點F的坐標為(a,a,2a)，且333FE(a,a,a)，F(xiàn)D(a,a,2a)366333∴PBFDa2a22a20333即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角.∵FEFDa2a2a2a2，且91896|FE|a2a2a26a，|FD|a2a24a26a，9363669993FEFDa21∴cosEFD6|FE||FD|66.a26a3∴EFD.3所以，二面角C—PB—D的大小為.320．本小題觀察函數(shù)和函數(shù)極值的看法，觀察運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力。滿分12分.（1）解：(323fxaxbx，依題意，f(1)f(1)0，即)23a2b30,3a2b30.解得a1,b0.∴f()x33,f()3x233(x1)(x1).xxx令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，則f(x)0，故f(x)在(,1)上是增函數(shù)，f(x)在(1,)上是增函數(shù).若x(1,1)，則f(x)0，故f(x)在(1,1)上是減函數(shù).所以，f(1)2是極大值；f(1)2是極小值.（2）解：曲線方程為yx33x，點A(0,16)不在曲線上.設(shè)切點為M(x0,y0)，則點M的坐標滿足y0x033x0.因f(x0)3(x021)，故切線的方程為yy03(x021)(xx0)注意到點A（0，16）在切線上，有16(x033x0)3(x021)(0x0)化簡得x038，解得x02.所以，切點為M(2,2)，切線方程為9xy160.21．本小題主要觀察函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等看法，觀察靈巧應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.（1）證明：由b1a2a10，可得b2a3a2f(a2)f(a1)k(a2a1)0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bnan1an0(nN*).由題設(shè)條件，當n2時bnan1anf(an)f(an1)k(anan1)kbn1anan1anan1anan1所以，數(shù)列{bn}是一個公比為k的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，bnkn1b1kn1(a2a1)(nn*)當k1時，b1b2...bn1(a2a1)1kn1(n2)1k當k1時，b1b2...bn1(n1)(a2a1)(n2).而b1b2...bn1(a2a1)(a3a2)...(anan1)ana1(n2)所以，當k1時ana1(a2a1)1kn1(n2).1k上式對n1也建立。所以，數(shù)列{an}的通項公式為ana(f(a)a)1kn1(nN*)1k當k1時ana1(n1)(a2a1)(n2).上式對n1也建立，所以，數(shù)列{an}的通項公式為ana(n1)(f(a)a)(nN*)，（2）解：當|k|1時limanlim[a(f(a)a)11kn1]af(a)annk1k22．本小題主要觀察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等分析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為x2y21(a2).a22a2c22,由已知得a2cc).2(c解得a6,c2所以橢圓的方程為x2y2661，離心率e.23（2）解：由（1）可得A（3，0）.設(shè)直線PQ的方程為yk(x3).由方程組x2y262

1,yk(x3)得(321)x2182x27260kkk依題意12(232)0，得66.k3k3設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則x1x218k227k263k21，①x1x22.②3k1由直線