第3章 圖像變換

1《數(shù)字圖像處理與圖像通信》朱秀昌劉峰胡棟北京郵電大學(xué)出版社2第3章圖像變換3.1離散傅立葉變換3.2離散余弦變換3.3數(shù)字圖像信號(hào)的正交基表示3.4沃爾什和哈達(dá)瑪變換3.5離散K-L變換3數(shù)字（圖像）信號(hào)分析方法：空域（時(shí)域）分析法頻率分析法圖像變換：將圖像信號(hào)從空間域變換到頻率域（或相反），以便從另一個(gè)角度來(lái)觀察、分析、處理圖像的空間域或頻率域信號(hào)。43.1離散傅立葉變換3.1.1一維離散傅立葉變換設(shè)離散序列：離散傅立葉正變換（DFT）：離散傅立葉反變換（IDFT）：51.δ函數(shù)及其性質(zhì)

定義：

性質(zhì)：

(1)篩選性質(zhì)

(2)尺度變化性質(zhì)6(3)乘積（采樣）

(4)卷積性質(zhì)

(5)其傅立葉變換為常數(shù)1

(6)δ函數(shù)序列的傅立葉變換也是一個(gè)δ函數(shù)序列72.頻率域抽樣定理（和時(shí)間域的抽樣對(duì)稱(chēng)）如果函數(shù)h(t)的持續(xù)時(shí)間有限，即：

則其傅氏變換H(f)能由其等間隔頻域樣本唯一確定：83.一維DFT的推演（不做要求）圖(c)為抽樣的結(jié)果。然后，用(d)所示的矩形窗截?cái)喑闃雍蟮暮瘮?shù)。圖(e)表示截?cái)嗪蟮牟ㄐ渭捌涓凳献儞Q。由卷積定理可知，時(shí)域上的截?cái)嘁鹆祟l率域的“皺波”效應(yīng).最后對(duì)上式的傅氏變換進(jìn)行抽樣，它等效于截?cái)嗪蟮某闃硬ㄐ闻c圖中(f)的時(shí)間函數(shù)作卷積。于是，圖(g)中的周期為的周期函數(shù)可以寫(xiě)成：94.離散卷積和相關(guān)設(shè)x(n)、h(n)是周期為N的周期函數(shù)，其離散卷積y(n)是一個(gè)周期為N的函數(shù)：

離散卷積定理：兩卷積信號(hào)的頻譜等于這兩個(gè)信號(hào)頻譜的乘積。即離散相關(guān)：

離散相關(guān)定理：兩相關(guān)信號(hào)的頻譜等于一個(gè)信號(hào)的頻譜和另一個(gè)信號(hào)頻譜的共軛的乘積。103.1.2二維離散傅立葉變換1.二維DFT的定義：

{f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}

的DFT:|F(u,v)|幅度譜

φ(u,v)相位譜112.二維DFT的性質(zhì)（特性）

(1)變換的可分離性

(2)旋轉(zhuǎn)不變性123.二維DFT的實(shí)現(xiàn)

用兩次一維DFT就可以實(shí)現(xiàn)二維變換（大幅降低計(jì)算復(fù)雜度）：

x，y分別與行、列坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)：用同一個(gè)（一維）變換程序：133.2離散余弦變換3.2.1一維DCTDCT變換的基本思想：

將一個(gè)實(shí)函數(shù)對(duì)稱(chēng)延拓成一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，實(shí)偶函數(shù)的傅立葉變換也必然是實(shí)偶函數(shù)，

DCT變換本質(zhì)上仍然是傅立葉變換，但只有實(shí)數(shù)計(jì)算，計(jì)算簡(jiǎn)單。一維DCT的定義：設(shè)信號(hào)序列為{f(x)|x=0,1,…,N-1}，其離散余弦的正變換：14

逆變換:

一維DCT的正反變換的變換核都是：矩陣形式：153.3.2二維DCT

二維圖像信號(hào)序列{f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的二維DCT正變換：

二維DCT的逆變換：二維DCT的正反變換的變換核都相同，且是可分離的：16

二維DCT的矩陣形式：

可用兩次一維DCT實(shí)現(xiàn)圖像信號(hào)的二維DCT；

二維DCT的頻譜分布特點(diǎn)：由于DCT相當(dāng)于對(duì)帶有中心偏移的偶函數(shù)進(jìn)行二維DFT，因此，其譜域與DFT相差一倍，如圖3.4所示。圖3.4DCT與DFT頻譜的區(qū)別173.3圖像信號(hào)的正交基表示3.3.1變換核的一般表達(dá)式正反變換的通用形式：正變換核：g(x,y,u,v)

；反變換核：h(x,y,u,v)。

可分離變換有如下等式，如右邊的FT變換：183.3.2變換的矩陣表達(dá)式可分離變換的矩陣形式：P、Q是對(duì)稱(chēng)陣酉矩陣對(duì)于二維正交變換，其逆變換總是存在的，且逆變換核等于正變換核的共軛轉(zhuǎn)置。193.3.3基本圖像和基本頻譜二維正交變換矩陣的外積形式：矩陣f分解成為求和形式：向量外積形式：20外積:

一個(gè)N×1向量與另一個(gè)1×N向量的積，結(jié)果為一N×N階矩陣?！盎緢D像”是固定的矩陣（只與該正交變換的階數(shù)有關(guān)）；物理意義：以變換域系數(shù)作為加權(quán)，由外積的組合，或者說(shuō)由“基本圖像”的組合，可以得到原始圖像f?！盎绢l譜”利用“基本圖像”和“基本頻譜”，分析頻域的分量在空間域像素的貢獻(xiàn)（影響），

空間域的像素值對(duì)頻域中頻譜分量的貢獻(xiàn)（影響）。213.4沃爾什和哈達(dá)瑪變換3.4.1離散沃爾什（Walsh）變換包括只有+1和-1兩個(gè)數(shù)值；完備正交基，計(jì)便于計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)處理。1.一維離散沃爾什變換一維離散沃爾什變換核和正變換：

一維離散沃爾什反變換核和反變換：222.二維離散沃爾什變換二維沃爾什變換的變換核和正變換二維沃爾什正變換二維沃爾什變換的反變換核和反變換（略）23矩陣表達(dá)式【例2】求二維數(shù)字圖像信號(hào)信號(hào)的二維沃爾什變換。圖像是4×4矩陣，n=2、N=4

二維沃爾什變換為：243.5.2離散哈達(dá)瑪(Hadamard)變換哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換，哈達(dá)瑪變換核矩陣是一個(gè)方陣，只包括+1和-1兩個(gè)矩陣元素，哈達(dá)瑪變換核矩陣的各行或各列之間彼此是正交的，哈達(dá)瑪變換核矩陣與沃爾什變換不同之處僅僅是行的次序不同，最大優(yōu)點(diǎn)：哈達(dá)瑪變換核矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，即高階矩陣可以用二個(gè)低階矩陣求得。251.一維離散哈達(dá)瑪變換一維哈達(dá)瑪變換核為一維哈達(dá)瑪變換式為例如：26

一維哈達(dá)瑪反變換核一維哈達(dá)瑪反變換列率：某一列符號(hào)改變的次數(shù)。通常稱(chēng)為這個(gè)列的列率，定序哈達(dá)瑪變換：列率隨u增加而增加的次序定序哈達(dá)瑪變換核和反變換核272.二維離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換對(duì)：二維哈達(dá)瑪變換核是可分離和對(duì)稱(chēng)的，可分成二步一維變換來(lái)完成，哈達(dá)瑪變換也存在快速算法FHT，其原理與FWT類(lèi)似。283.5離散K-L變換*K-L變換(Karhunen-LoeveTransform)，從圖像的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)出發(fā)的變換

離散的K-L變換:特征向量變換、主分量分析、霍特林(Hotelling)變換，……K-L變換式表示為：其中29K-L變換也有反變換，可以從Y