高等數(shù)學(xué)緒論

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數(shù)學(xué)是什么◆

高等數(shù)學(xué)是什么◆

數(shù)學(xué)的歷史◆如何學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》緒論

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恩格斯：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。”從數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)看，數(shù)學(xué)是模型；從數(shù)學(xué)的過程看，數(shù)學(xué)是推理與計(jì)算；從數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式看，數(shù)學(xué)是符號(hào)；從數(shù)學(xué)對(duì)人的指導(dǎo)看，數(shù)學(xué)是方法論；從數(shù)學(xué)的價(jià)值看，數(shù)學(xué)是工具。一、數(shù)學(xué)是什么？1）哲學(xué)說2）符號(hào)說3）科學(xué)說4）工具說5）邏輯說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說

★15種“數(shù)學(xué)的定義”9）結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說）10）模型說11）活動(dòng)說12）精神說13）審美說14）藝術(shù)說15）萬物皆數(shù)說

——《數(shù)學(xué)文化導(dǎo)論》1、數(shù)學(xué)是一種哲學(xué)亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的?！迸ｎD在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說，他把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來”。歐幾里得：“點(diǎn)是沒有部分的那種東西；線是沒有寬度的長(zhǎng)度?！?/p>

——《幾何原本》

★★★————————————————————————————★伽利略（Galeleo）說：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識(shí)不清。”★

1965年獲得了Nobel獎(jiǎng)的物理學(xué)家費(fèi)格曼（RichardFegnman）曾說：“若是沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙似乎是不可描述的?！薄?/p>

Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者溫伯格（StevenWeinberg）說過：“這是不可思議的，當(dāng)一個(gè)物理學(xué)家得到一個(gè)思想時(shí)，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了?！?、數(shù)學(xué)是一種語言，一切科學(xué)的共同語言————————————————————————————

F.培根說：“知識(shí)就是力量”“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”?！餂]有Maxwell方程就不可能有電磁波理論，就不會(huì)有現(xiàn)代的通訊技術(shù)；★沒有Riemann幾何，不可能產(chǎn)生廣義相對(duì)論；★沒有Navier-Stokes方程，就不會(huì)有流體力學(xué)的理論基礎(chǔ)，也不可能產(chǎn)生航空學(xué)；★沒有數(shù)理邏輯和量子力學(xué)，就沒有現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)；3、數(shù)學(xué)是一把鑰匙，一把打開科學(xué)大門的鑰匙———————————————————————————————★

諾依曼（VonNeumann）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域……數(shù)學(xué)方法滲透、支配著一切自然科學(xué)的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標(biāo)志?！瘪R克思說：“一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了?！薄?/p>

人體器官的三維圖像(一維數(shù)學(xué)模型)★

數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)(小波分析)★

數(shù)學(xué)在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、心理學(xué)、政治科學(xué)諸領(lǐng)域也有重要的作用，產(chǎn)生了很多交叉學(xué)科，如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)、數(shù)學(xué)政治科學(xué)、對(duì)策論等。4、數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具———————————————————————————————★簡(jiǎn)潔美★和諧美★對(duì)稱美★奇異美5、數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù)———————————————————————————————兩個(gè)黑洞的斗爭(zhēng)分形現(xiàn)象蝴蝶吸引子數(shù)學(xué)努力的目標(biāo)是：將雜亂整理為有序，使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，使復(fù)雜演變?yōu)楹?jiǎn)單。數(shù)學(xué)不僅是一種重要的工具和方法，同時(shí)是一種思維模式，即“數(shù)學(xué)思維”；不僅是一種知識(shí)，而且是一種素質(zhì)。結(jié)語:二、數(shù)學(xué)的歷史第一階段：數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期（遠(yuǎn)古時(shí)代---公元前5世紀(jì)）★形成了數(shù)的概念，

產(chǎn)生了數(shù)的運(yùn)算方法。

★幾何學(xué)有了初步發(fā)展。第二階段：常量數(shù)學(xué)時(shí)期

（公元前6、7世紀(jì)---17世紀(jì)中葉）★數(shù)學(xué)形成了一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)★這個(gè)時(shí)期的基本成果，已構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課本的主要內(nèi)容。第一個(gè)特征：其所研究的對(duì)象是不變的量（常量）或孤立不變的規(guī)則幾何圖形；第二個(gè)特征：表現(xiàn)在其研究方法上。既不能把幾何問題用代數(shù)術(shù)語陳述出來，也不能通過計(jì)算用代數(shù)方法來解決幾何問題。初等代數(shù)與初等幾何是互不相關(guān)的問題，▲本階段特征：如：勻速運(yùn)動(dòng)；勻加速運(yùn)動(dòng)；直邊圖形；圓弧邊圖形等第三階段：變量數(shù)學(xué)時(shí)期

（17世紀(jì)中葉---19世紀(jì)中葉）★笛卡爾的《幾何學(xué)》；恩格斯指出：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……?！锱ｎD、萊布尼茨創(chuàng)立微積分.★這個(gè)時(shí)期的基本成果是解析幾何、微積分、微分方程等，它們是現(xiàn)今高等院校中的基礎(chǔ)課程。第四階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段

（19世紀(jì)至今）★主要分支：非歐幾何、群論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)逼近論、常微分方程定性理論、數(shù)理邏輯等.1、幾何、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析變得更為抽象。2、與其它學(xué)科之間相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學(xué)科和綜合性學(xué)科。三、高等數(shù)學(xué)是什么？1、高等數(shù)學(xué)的涵義●廣義——第三階段的主要成果。包括《微積分》、《解析幾何》、《線性代數(shù)》和《概率論》等，即大學(xué)階段的數(shù)學(xué)?！癃M義——《高等數(shù)學(xué)》課程。主要內(nèi)容：極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、空間解析幾何和簡(jiǎn)單微分方程等。

理論基礎(chǔ)：極限理論?！陡叩葦?shù)學(xué)》課程的重要性

高等數(shù)學(xué)其它數(shù)學(xué)課程物理學(xué)、天文學(xué)、工程技術(shù)、管理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息科學(xué)……↓↓支持推動(dòng)“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”例：趣味數(shù)學(xué)題(1)割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?2)截丈問題：(3)

s等于多少悖論：設(shè)則：(1)(2)(3)s=1-s

解得s=1/2

認(rèn)為答案為1/2.主要是當(dāng)時(shí)還沒有級(jí)數(shù)收斂的概念.這個(gè)問題據(jù)說曾令眾多大師為難,萊布尼茨都“飛矢不動(dòng)”

(4)芝諾悖論：

“矢”指的是弓箭中的箭。如果我們截取“飛矢”的靜止的，所以，“飛矢”是“不動(dòng)”的。每一個(gè)瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然每一個(gè)瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應(yīng)該是“芝諾悖論”的錯(cuò)誤就在于，他將無窮小徹底等同于零。離可以無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。

芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領(lǐng)先于他的烏龜，因?yàn)楫?dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那一點(diǎn)，烏龜又向前爬動(dòng)了。阿基里斯和烏龜?shù)木唷鞍⒒锼棺凡簧蠟觚敗?/p>

阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。(4)芝諾悖論：

2、微積分的涵義●微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱?！袼且环N數(shù)學(xué)思想：無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，如：子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念求曲線的長(zhǎng)度、區(qū)域的面積、物體的體積等；微積分是從四個(gè)方面的問題來的：

求曲線的切線；

求運(yùn)動(dòng)物體的速度；

求一些問題的極大、極小值。

例：圖中陰影的面積、曲線的長(zhǎng)度、陰影繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)的立體的體積及表面積。例.不規(guī)則圖形面積解決問題的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值求近似取極限微分積分3、《高等數(shù)學(xué)》課程的作用

Ⅰ.為其他后續(xù)數(shù)學(xué)課程奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?！毒€性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》、《數(shù)值分析》等Ⅱ.為同學(xué)們學(xué)習(xí)相關(guān)基礎(chǔ)課程及本專業(yè)的專業(yè)課程奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?！洞髮W(xué)物理》、《計(jì)算機(jī)理論基礎(chǔ)》、《控制理論基礎(chǔ)》等Ⅲ.逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)該具有的能力與素質(zhì)：①抽象概括問題的能力；例:(七橋問題)

科尼斯堡有條布勒格爾河上有七座橋，“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只走一次最后又回到出發(fā)點(diǎn)？”②邏輯推理能力；例：某外企招考員工的一道題：有三個(gè)筐，一個(gè)筐里裝著橘子，一個(gè)筐里裝著蘋果，一個(gè)筐里混裝著橘子和蘋果，裝完后封好。然后做“橘子”、“蘋果”、“混裝”三個(gè)標(biāo)簽，分別貼到上述三個(gè)筐上。由于馬虎，結(jié)果全貼錯(cuò)了。請(qǐng)想一個(gè)辦法，只許從某一個(gè)筐里拿出一個(gè)水果，就能夠糾正所有的標(biāo)簽。

——《數(shù)學(xué)文化》顧沛著，高等教育出版社。

例：微軟公司招考員工的一道面試題：一個(gè)屋子里有50個(gè)人，每個(gè)人領(lǐng)著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有如下條件：a.狗的病不會(huì)傳染，也不會(huì)不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看別人的狗，從而推理發(fā)現(xiàn)自己的狗是否有病；c.一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)天開槍打死這條狗；d.狗只能由它的主人開槍打死。結(jié)果，第一天沒有槍聲，第二天沒有槍聲，……，第十天發(fā)出了一片槍聲，問有幾條狗被打死？——《數(shù)學(xué)文化》，顧沛著，高等教育出版社。

③空間想象能力；④自學(xué)能力；⑤比較熟練的運(yùn)算能力；⑥綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力；例：證明：①在凸凹不平的地面上，將四條腿桌子旋轉(zhuǎn)調(diào)整幾次，一定可以使其放穩(wěn)。②金屬環(huán)加熱過程中，環(huán)上必存在具有相同溫度的關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn).⑦具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點(diǎn)是加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模的能力；⑧具有進(jìn)行邏輯推理和選擇計(jì)算方法的能力；⑨具有判斷計(jì)算和推理結(jié)果正確性的能力；例：某公司的一個(gè)崗位三年聘期，提供了兩種薪酬支付方式，A：月薪1000，每月加薪100；B：季薪6000，每季度加薪300，若你在這個(gè)崗位上，請(qǐng)問你選擇哪種支付方式？四、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？聽懂、練會(huì)、考好、用活1.培養(yǎng)興趣。興趣是最好的老師！沒有興趣的學(xué)習(xí)是痛苦的折磨。2.多加練習(xí)。聽數(shù)學(xué)不如讀“數(shù)學(xué)”，讀數(shù)學(xué)不如做“數(shù)學(xué)”3.掌握規(guī)律

復(fù)習(xí)----學(xué)習(xí)新知識(shí)----練習(xí)----總結(jié)

學(xué)習(xí)中要抓住三個(gè)問題：基本概念，基本原理，典型范例。要求：基本概念要準(zhǔn)確；基本