2022-2023學年四川省達州市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)

2022-2023學年四川省達州市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.方程y"+3y'=x2的待定特解y*應取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

2.

3.

4.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1,1]上

A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.無最大值D.無最小值

5.

6.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

7.

8.

9.在空間中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲線B.母線平行于Oy軸的拋物柱面C.母線平行于Oz軸的拋物柱面D.拋物面10.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

11.級數(shù)(k為非零正常數(shù))()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.收斂性與k有關(guān)D.發(fā)散12.設(shè)y1，y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解13.A.6YB.6XYC.3XD.3X^2

14.

15.A.A.必條件收斂B.必絕對收斂C.必發(fā)散D.收斂但可能為條件收斂，也可能為絕對收斂

16.

17.A.e

B.e-1

C.-e-1

D.-e

18.曲線y＝1nx在點(e，1)處切線的斜率為（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e

19.

20.

21.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.柱面22.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

23.

24.

25.函數(shù)y=ex+e-x的單調(diào)增加區(qū)間是

A.(-∞，+∞)B.(-∞，0]C.(-1，1)D.[0，+∞)

26.

27.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0。處連續(xù)，則下列結(jié)論正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

28.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1，1]上（）

A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.無最大值D.無最小值

29.

30.已知作用在簡支梁上的力F與力偶矩M=Fl，不計桿件自重和接觸處摩擦，則以下關(guān)于固定鉸鏈支座A的約束反力表述正確的是()。

A.圖(a)與圖(b)相同B.圖(b)與圖(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同31.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設(shè)法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

32.

33.設(shè)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，滿足f(－1)＝0，當x<－1時，f(x)<0；當x>－1時，f(x)>0．則下列結(jié)論肯定正確的是（）．

A.x＝－1是駐點，但不是極值點B.x＝－1不是駐點C.x＝－1為極小值點D.x＝－1為極大值點34.設(shè)y=5x，則y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

35.

36.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在37.A.A.2B.1C.0D.-138.設(shè)y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

39.

40.設(shè)y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx二、填空題(50題)41.方程y'-ex-y=0的通解為_____.42.設(shè)z＝2x＋y2，則dz＝______。

43.

44.

45.

46.

47.y''-2y'-3y=0的通解是______.

48.

49.設(shè)=3，則a=________。50.51.52.53.54.55.

56.

57.過點M1(1，2，-1)且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為__________。

58.設(shè)y=y(x)是由方程y+ey=x所確定的隱函數(shù)，則y'=_________.

59.60.級數(shù)的收斂區(qū)間為______．

61.

62.設(shè)z=sin(x2y)，則=________。

63.

64.65.66.

67.

68.

69.若函數(shù)f(x)=x-arctanx，則f'(x)=________.

70.

71.

72.

73.

74.

75.76.

77.

78.79.若f'(x0)=1，f(x0)=0,則

80.

81.過點(1，-1，0)且與直線平行的直線方程為______。

82.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，則f(x)=________。

83.設(shè)f(x＋1)=3x2＋2x＋1，則f(x)=_________．

84.設(shè)f(x)在x=1處連續(xù)，=2，則=________。85.設(shè)y=2x2+ax+3在點x=1取得極小值，則a=_____。

86.y=lnx，則dy=__________。

87.

88.89.微分方程y''+y=0的通解是______.

90.

三、計算題(20題)91.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

92.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．93.

94.證明：95.

96.

97.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

98.

99.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則100.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．101.求微分方程的通解．

102.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

103.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．104.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．105.求曲線在點(1，3)處的切線方程．106.107.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．108.109.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

110.四、解答題(10題)111.

112.

113.

114.設(shè)函數(shù)y=xlnx,求y''.

115.判定曲線y=3x3-4x2-x＋1的凹向．

116.

117.

118.

119.

120.(本題滿分8分)

五、高等數(shù)學(0題)121.

六、解答題(0題)122.求函數(shù)f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的極值.

參考答案

1.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程特解y*的取法．

由于相應齊次方程為y"+3y'0，

其特征方程為r2+3r=0，

特征根為r1=0，r2=-3，

自由項f(x)=x2，相應于Pn(x)eαx中α=0為單特征根，因此應設(shè)

故應選D．

2.A解析：

3.D解析：

4.B本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的知識點，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0處處成立,于是函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)都是單調(diào)增加的，故在[-1,1]上單調(diào)增加。

5.C

6.C本題考查的知識點為不定積分的性質(zhì)．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導．若設(shè)g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應選C．

7.B

8.D

9.C方程F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程，故選C。

10.C

11.A

12.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關(guān)的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解?，F(xiàn)在題設(shè)中沒有指出是否線性無關(guān)，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

13.D

14.C

15.D

16.C

17.B所給極限為重要極限公式形式．可知．故選B．

18.D本題考查的知識點為導數(shù)的幾何意義．

由導數(shù)的幾何意義可知，若y＝f(x)在點x0處可導，則曲線)，y＝f(x)在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且切線的斜率為f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知應選D．

19.D解析：

20.D

21.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉(zhuǎn)拋面，故應選C。

22.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

23.A

24.B

25.Dy=ex+e-x，則y'=ex-e-x，當x＞0時，y'＞0，所以y在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增.

26.D

27.D本題考查的知識點為連續(xù)性的定義，連續(xù)性與極限、可導性的關(guān)系．由函數(shù)連續(xù)性的定義：若在x0處f(x)連續(xù)，則可知選項D正確，C不正確．由于連續(xù)性并不能保證f(x)的可導性，可知A不正確．

28.B因處處成立，于是函數(shù)在（-∞，+∞)內(nèi)都是單調(diào)增加的，故在[-1，1]上單調(diào)增加.

29.A解析：

30.D

31.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

32.A

33.C本題考查的知識點為極值的第－充分條件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1為f(x)的駐點，當x<－1時f(x)<0；當x>－1時，

f(x)>1，由極值的第－充分條件可知x＝－1為f(x)的極小值點，故應選C．

34.C本題考查的知識點為基本初等函數(shù)的求導．

y=5x，y'=5xln5，因此應選C．

35.A

36.C被積函數(shù)sin5x為奇函數(shù)，積分區(qū)間[-1，1]為對稱區(qū)間。由定積分的對稱性質(zhì)知選C。

37.Df(x)為分式，當x=-1時，分母x+1=0，分式?jīng)]有意義，因此點

x=-1為f(x)的間斷點，故選D。

38.C

39.C

40.A41.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.42.2dx+2ydy

43.

44.ln2

45.1+2ln2

46.(1+x)ex(1+x)ex

解析：47.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0，得特征根為r1=3，r2=-1，所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.

48.

49.

50.

51.1本題考查了冪級數(shù)的收斂半徑的知識點。

52.53.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本題考查的知識點為平面與直線的方程．

由題設(shè)條件可知應該利用點法式方程來確定所求平面方程．

所給直線z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直線1，則平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．則由平面的點法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

為所求平面方程．

或?qū)憺?x-y＋z－5＝0．

上述兩個結(jié)果都正確，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0稱為平面的點法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

稱為平面的－般式方程．

54.55.3yx3y-1

56.

57.

58.1/(1+ey)本題考查了隱函數(shù)的求導的知識點。

59.60.(-1，1)本題考查的知識點為求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．

所給級數(shù)為不缺項情形．

可知收斂半徑，因此收斂區(qū)間為

(-1，1)．

注：《綱》中指出，收斂區(qū)間為(-R，R)，不包括端點．

本題一些考生填1，這是誤將收斂區(qū)間看作收斂半徑，多數(shù)是由于考試時過于緊張而導致的錯誤．

61.ln|x-1|+c62.設(shè)u=x2y，則z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

63.264.0

65.本題考查的知識點為換元積分法．

66.

67.3e3x3e3x

解析：

68.

69.x2/(1+x2)本題考查了導數(shù)的求導公式的知識點。70.

71.

解析：

72.3yx3y-13yx3y-1

解析：

73.2

74.0＜k≤1

75.76.本題考查的知識點為重要極限公式。

77.78.0．

本題考查的知識點為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

79.-1

80.(03)(0,3)解析：81.本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關(guān)系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，-1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

82.6e3x

8