Ch11.1-3(機械振動)課件

第三篇振動與波動學基礎（VibrationandWaveMotion）振動和波在力學、聲學、電學、生物工程、自控等各領域都占有重要的地位。人類生活在振動的世界里。振動是波動的基礎，波動是振動的傳播。自然界的振動蜜蜂心跳本篇主要學習振動是波動的基礎知識，也是波動光學等相關領域的基礎。振動——某物理量在一定值附近往復變化的過程稱為振動。如交流電壓、電流、鐘擺的擺動等。周期性振動——在T時間內(nèi)運動狀態(tài)能完全重復。特點：有平衡點，且具有重復性。機械振動——物體在某一位置附近來回往復的運動稱為機械振動。★特征——彈性力與慣性交互作用第十一章機械振動（MechanicalVibration/Oscillation）圖片伽利略觀察按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動。

機械振動分類按產(chǎn)生振動原因分：自由、受迫、自激、參變振動。按振動規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機振動。按自由度分：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。按振動位移分：角振動、線振動。其中簡諧振動是最基本的振動，存在于許多物理現(xiàn)象中。任何復雜的振動都可以分解為一些簡諧振動的疊加。按周期分：周期振動、非周期振動。諧振動Dynamicsofsimpleharmonicmotion§11-1簡諧振動（Simpleharmonicmotion）

一、簡諧振動的動力學特征研究：（1）在怎樣的力的作用下物體作簡諧振動（2）由力（力矩）求簡諧振動的動力學規(guī)律1.受力情況：

物體在與位移成正比，方向與位移相反的回復力作用下圍繞平衡位置的往復運動叫簡諧振動。（2）平衡位置是物體靜止時受合力為零的點。（equilibriumposition）ZD_0說明：（1）位移是相對平衡位置的；諧振動諧振動的動力學方程。2.動力學方程

彈簧振子Spring/HarmonicOscillator在水平方向上：由牛頓第二定律，有：令：則有：3.簡諧振動的動力學定義若物理量x，滿足且ω由系統(tǒng)性質(zhì)決定，則稱物理量x的運動為簡諧振動（較為廣泛，不僅適用于機械振動）步驟：1).確定研究對象，分析受力。2).找出平衡位置，寫出回復力（或回復力矩）的表達式。3).寫出動力學方程（利用牛頓第二定律或剛體定軸轉(zhuǎn)動定律）。Kinematicsofsimpleharmonicmotion二、簡諧振動的運動學特征1.運動學方程由：可解得：或：一般寫成：我們采用余弦形式可見簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動2.描述簡諧振動的物理量（A，ω，)振幅A（Amplitude）：離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）。能量E∝A2簡諧振動的運動學定義(2)角頻率ω（Angularfrequency）：振動的快慢周期T：Period頻率ν：(3)相位（Phase）：描述運動狀態(tài)的量為初相位，InitialPhase3.簡諧振動的速度和加速度由：可求得速度和加速度。對彈簧諧振子：初相不同的諧振動可得：以上結(jié)果表明：(1)v，a都是諧振動,并且與x的ω相同(2)(3)a與x方向相反，且成正比為方便起見，把v、a的表達式寫成：ZD_2由：Otx,v,ax(t)v(t)a(t)(4)相位依次差π/24.由初始條件確定振幅和初相位初始條件：寫為：ZD_2Otx,v,ax(t)v(t)a(t)得：即：

尚需滿足（1），（2）所決定的狀態(tài)。小結(jié)：（1）簡諧振動為周期振動（2）狀態(tài)由三要素A，ω，決定（3）ω由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定

A，由振動系統(tǒng)和初始條件共同確定簡諧振動的判據(jù)（動力學方程——振動方程）(1)（運動方程）(2)（胡克定律）(3)★

簡諧振動定義——凡滿足下面方程(1)、(2)、(3)之一者即稱為簡諧振動（理想無阻尼自由振動）。記筆記三、坐標原點的選取對于振動方程的影響(以豎直彈簧振子為例)O'自由端，O

平衡位置以O'

為坐標原點：在建立諧振子的振動方程時，選平衡位置為坐標原點最合適。以O

為坐標原點：[例題1]單擺SimplePendulum解：單擺受力如圖所示對懸掛點的力矩：由：若θ很小，則有：即得：若令：但由于擺角很小的單擺振動為諧振動單擺[例題2]復擺：一長為l的均勻細棒懸于其一端的光滑水平軸上，如圖所示，作成一復擺。此擺作微小擺動的周期為？解：桿受力如圖所示，則θ很小，則：即：故：[例題3]半徑為R的圓環(huán)靜止于刀口O點上，令其在自身平面內(nèi)作微小擺動。證明其擺動為諧振動，并計算其振動周期。證明：設圓環(huán)偏離角度為θ，則因此所作振動為諧振振動而實際上，任何一個稍微偏離平衡狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，都可看成簡諧振子。對于物理學中的許多問題，諧振子都可以作為一個近似的或相當精確的模型。

ZD_1晶格點陣Rotatingvectormethod§11-2諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法加速度與速度

在平面內(nèi)作一參考軸OX，由原點O作一矢量（A為諧振動的振幅），使其以勻角速度繞O點逆時針轉(zhuǎn)動。設在時，與OX軸的夾角為(為初相位)，則時刻A矢量在X軸上的投影的運動為簡諧振動：旋轉(zhuǎn)矢量方向如圖t時刻在x軸上的投影：簡諧振動的三個特征量都通過旋轉(zhuǎn)矢量法表示出來，用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更直觀、更方便，必須掌握。輔助圓[例題1]一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當t=0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x0=0.06m，此時向x軸正向運動。求：(1)此振動的表達式。(2)t=T/4時，質(zhì)點的位置、速度、加速度。(3)從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間。解：(1)取平衡位置為坐標原點設其中A亦為已知，只需求由t=0s時，x0=0.06m，可得：在－π到π之間取值：取哪一個值要看初始條件，由于：所以：由于t=0時，質(zhì)點向正x方向運動，所以v0>0因此，應取于是，此簡諧振動的表達式：

利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解是很直觀的，根據(jù)初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從而得到：(2)將t=T/4=0.5s代入上兩式，以及位移表達式，可求得：此時旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：(3)通過平衡位置時，x=0，由位置表達式，可得：由此可得：第一次通過，取k=1，又由于ω=π/s，所以：

由振幅矢量圖可知，從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原點，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：故：[例題2]以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，試寫出其運動方程。解：設該簡諧振動的運動方程為根據(jù)已知條件求出各量代入上式即可。由圖可知，A=2cm，當t=0時因為：v0<0，畫出矢量圖：

又知t=1s時，位移達到正的最大值，即：故：因而有：簡諧振動的勢能：

§11-3簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例ZD_0簡諧振動的動能：簡諧振動的總能量：即總能量不隨時間變化。彈性力是保守力總機械能守恒。ZD_3說明：Ek

與Ep

振幅相同，ω相同，相位相反。E∝A2

適用于一切振動的共同形式，A

反映了振動強弱。Ek

與Ep

相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)不與外界交換能量，這樣的系統(tǒng)叫無阻尼自由振動系統(tǒng)。勢能的時間平均值：動能的時間平均值：

這些結(jié)論適用于任何簡諧振動。*振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。*

任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比。*

即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。

結(jié)論：諧振動能量守恒振動方程求導振動方程[例題4]一輕彈簧與m=0.1kg的物體構(gòu)成諧振子。A=0.01m，amax=4.0m/S2。求：(1)T；(2)總能量E

(3)何處Ek=EP。

解：

(1)

小結(jié)一、簡諧振動的三個判據(jù)1.回復力：