一個80后的獨(dú)白教程文件

一個80后的獨(dú)白相似三角形判定定理的證明(含解析)相似三角形判定定理的證明(含解析)相似三角形判定定理的證明(含解析)相似三角形判定定理的證明一、選擇題1.如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，且∠EAF=60°，則∠B等于().

A.60°

B.50°

C.70°

D.65°

2.如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)(－2,1)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是()?

A.(74，72)、(-12，4)

B.(32，3)、(-23，4)

C.(32，3)、(-12，4)

D.(74，72)、(-23，4)

3.P是△ABC一邊上的一點(diǎn)（P不與A、B、C重合），過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時，過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（）A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

4.如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，過點(diǎn)A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則DE的長是()

A.5

B.136

C.1

D.56

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.（3，2）

B.（3，1）

C.（2，2）

D.（4，2）

6.下列說法中正確的有（）

①位似圖形都相似；

②兩個等腰三角形一定相似；

③兩個相似多邊形的面積比為4：9，則周長的比為16：81；

④若一個三角形的三邊分別比另一個三角形的三邊長2cm，那么這兩個三角形一定相似．A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

7.如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．若AD?BC=9，則直徑AB的長為（）

A．3

B．6

C．9

D．

8.如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，BF交AD的延長線于G，則圖中的相似三角形對數(shù)共有（?）

A．8對；

B．6對；

C．4對；

D．2對．

9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，則的值為（）

A．

B．

C．

D．2

10.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=3，DC=5，則△ABC與△DCA的面積比為（）

A．2：3

B．3：5

C．9：25

D．：

11.如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）

A．（，3）、（-，4）

B．（，3）、（-，4）

C．（，）、（-，4）

D．（，）、（-，4）

12.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點(diǎn)，且∠ECF=45°，過點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

13.如圖，點(diǎn)D、E、F、G為△ABC兩邊上的點(diǎn)，且DE∥FG∥BC，若DE、FG將△ABC的面積三等分，那么下列結(jié)論正確的是（）

A．=

B．==1

C．=+

D．=

14.已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則的值為（）

A．

B．2

C．

D．3

15.如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積分別記作S1、S2、S3、S4，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）

A．S1=S3

B．S2=2S4

C．S2=2S1

D．S1?S3=S2?S4

16.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在BC上移動至點(diǎn)C停止，記PA＝x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是()

A.y=12x

B.y=12x

C.y=34x

D.y=43x

17.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，則AD為()

A.2.5

B.1.6

C.1.5

D.1

18.如圖，已知：△ABC、△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，兩條直角邊AB、AD重合，把AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），到如圖所示的位置時，BC分別與AD、AE相交于點(diǎn)F、G，則圖中

共有（）對相似三角形．

A．1

B．2

C．3

D．4

19.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是（）

A．2

B．

C．

D．2.5

20.如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=．下列給出的結(jié)論中，正確的有（）

①△ADE∽△ACD；???

②當(dāng)BD=6時，△ABC與△DCE全等；

③△DCE為直角三角形時，BD為8或12.5；

④0＜CE≤6.4．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

21.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

22.如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)M，E在AD上，點(diǎn)F在邊AB上，并且DM=1，現(xiàn)將△AEF沿著直線EF折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處，則當(dāng)PB+PM的和最小時，ME的長度為（）

A．

B．

C．

D．

23.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B-A-D在菱形ABCD的邊上運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)D停止，點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，PP′交BD于點(diǎn)M，若BM=x，△OPP′的面積為y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致為（）

A．

B．

C．

D．

24.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的頂點(diǎn)O在AB邊上，OM、ON分別交邊AC、BC于點(diǎn)P、Q，∠MON繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時，的值為______；當(dāng)時，的值為______（用含n的式子表示）．其中正確的選項是（）

A．

B．

C．

D．；

25.如圖，直線l與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且與x軸的正半軸交于C點(diǎn)．若AB=2BC，△OAB的面積為8，則k的值為（）

A．6

B．9

C．12

D．18

26.如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE＝CE，MN＝1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動，當(dāng)DM為時△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似()

A.55

B.255

C.55或255

D.255或355

27.在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AD，作∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=45．有下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時，△ABD與△DCE全等；③當(dāng)△DCE為直角三角形時，BD=8；④3.6≤AE＜10．其中正確的結(jié)論是()

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①②③

28.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則OEBF等于()

A.12

B.13

C.55

D.253

29.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延長線與BA的延長線交于點(diǎn)F，則S△AFE：S四邊形ABCE為()

A.3：4

B.4：3

C.7：9

D.9：7

30.如圖，?ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，CG⊥DE，垂足為G，DG=323cm，則EF的長為().

A.2cm

B.3cm

C.1cm

D.233cm

二、填空題31.如圖，邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)．點(diǎn)F關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)G恰好在BC延長線上，F(xiàn)G交DE于點(diǎn)H．點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，若MH=，則EG=__________．

32.如圖，正方形ABCD的邊長為3，延長CB到點(diǎn)M，使BM=1，連接AM，過點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，連接ON，則ON的長為__________．

33.如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，連接CG交BD于點(diǎn)H，連接FO并延長FO交CG于點(diǎn)P，則PG：PC的值為__________．

34.在△ABC中，AB=9，AC=5，AD是∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D（如圖），△ABD沿直線AD翻折后，點(diǎn)B落到點(diǎn)B1處，如果∠B1DC=∠BAC，那么BD=__________．

35.如圖，在△ABC中，AB=AC=3，高BD=，AE平分∠BAC，交BD于點(diǎn)E，則DE的長為__________．

36.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，聯(lián)結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．若AB=5，AD=8，AE=4，則AF的長為__________．

37.如圖，在A時測得旗桿的影長是4米，B時測得的影長是9米，兩次的日照光線恰好垂直，則旗桿的高度是__________米．

38.如圖所示，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，當(dāng)AD=4，DG=時，則CH的長為__________．

39.如圖，在直角三角形ABC中，點(diǎn)E在線段AB上，過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)H，點(diǎn)F在BC的延長線上，連結(jié)EF交AC于點(diǎn)O．若AB=2，BC=1，且，則=__________，OH=__________．

40.如圖，在△PMN中，點(diǎn)A、B分別在MP和NP的延長線上，==，則=__________．

41.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為AD的中點(diǎn)，連接BE、BD、CE，則圖中陰影部分的面積是__________.

42.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=6，AB=8，E、F分別是OD、CD的中點(diǎn)，則△DEF的面積為__________．

43.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，延長BG交AC于點(diǎn)F，則CF=__________

44.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，把△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，AB′的延長線交DC于點(diǎn)F，若FC=2，則正方形的邊長為__________

45.如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)）繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，DE，DF分別與邊AB，AC交于M、N點(diǎn)，則線段MN的最小值為__________．

46.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AB、AC上的點(diǎn)，若∠EPF=45°，∠FEP=60°，則CF=__________．

47.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分別在AB、AC上，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為__________．

48.如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是邊BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到AM的距離DE等于__________．

49.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE：EC=1：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△BFE的面積與△DFA的面積之比為__________．

50.如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，∠A=120°，則圖中陰影部分的面積是__________．

51.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對角線BD于點(diǎn)F，則EFFC等于__________

52.已知如圖：正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF=CE，BE交DF于點(diǎn)G，若GF=2，DG=3，則BG=__________．

53.如圖，E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為__________．

54.如圖，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=8，CB=2，當(dāng)BD=__________時，△ACB∽△CBD．

55.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，且CE=2BE，△DEF的面積等于2，則此矩形的面積等于__________．

56.如圖，邊長為20的正方形ABCD截去一角成為五邊形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若點(diǎn)P在線段EF上使矩形PMBN有最大面積時，則PE的長度為__________．

57.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點(diǎn)M在邊上，過點(diǎn)M作MN⊥AM交邊CD于點(diǎn)N，連接AN．若△ADN的面積等于14，則BM的長等于__________．

58.如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊外的一點(diǎn)，滿足：CE∥BD，BE=BD，則CE=__________．

59.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=16，BD=20，一動點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)BP的值是__________時，△PAB與△PCD是相似三角形．

60.如圖，∠ABC=∠ACD，AD=6，BD=2，則AC=__________．

三、解答題61.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D．E分別在AB，AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．

（1）求證：DF?AB=BC?DG；

（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)時，求證：．

62.如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求證：△AEH∽△ABC；

（2）求這個正方形的邊長與面積。

63.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．

（1）求證：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAE=30°，AD=3，求AE和BF的長．

64.如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時，四邊形BCEF是菱形。

65.如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，始終保持AM和MN垂直．

（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，梯形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，Rt△ABM∽Rt△AMN？

66.如圖，△ABC中，BC=2AB，點(diǎn)D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交線段DE的延長線于點(diǎn)F，取AF的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DG，GD與AE交于點(diǎn)H．

（1）求證：四邊形ABDF是菱形；

（2）求證：DH2=HE?HC．

67.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BE．

（1）求證：AB?AD=BF?ED；

（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求證：四邊形ABEC是菱形．

68.如圖，正方形ABCD中，

（1）E為邊BC的中點(diǎn)，AE的垂直平分線分別交AB、AE、CD于G、F、H，求；

（2）E的位置改動為邊BC上一點(diǎn)，且=k，其他條件不變，求的值．

69.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，AD=9，AC=12，BC=16，點(diǎn)E是邊BC上一個動點(diǎn)，∠EAF=∠BAC，AF交CD于點(diǎn)F、交BC延長線于點(diǎn)G，設(shè)BE=x．

（1）使用x的代數(shù)式表示FC；

（2）設(shè)=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)△AEG是等腰三角形時，直線寫出BE的長．

70.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．

（1）求證：=；

（2）當(dāng)GC⊥BC時，求證：∠BAC=90°．

71.如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒5個單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜2）．

（1）連接CQ，當(dāng)t為何值時CQ=BC；

（2）連接AP，BQ，若BQ⊥AP，求△ABP的面積；

（3）求證：PQ的中點(diǎn)在△ABD的一條中位線上．

72.如圖，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，連BD，交AC于E．

（1）如圖（1），若∠BAC=60°，求的值；

（2）如圖（2），CF⊥AB于F，交BD于G，求證：CG=FG；

（3）若AB=13，tan∠ABC=，直接寫出EC的長為__________．

73.定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．

（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）求出線段AD的長．

74.已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．

75.如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=12CD．

（1）求證：△ABF∽△CEB；

（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積。

76.如圖,AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)向D點(diǎn)移動。

（1）當(dāng)P點(diǎn)移動到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時，△ABP∽△CPD？

（2）當(dāng)P點(diǎn)移動到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時，∠APC=90°？

77.如圖，在△ABC中，正方形EFGH的兩個頂點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，另兩個頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，BC=15cm，BC邊上的高是10cm，求正方形的面積.

78.如圖，矩形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE交CD于G，交BC延長線于F，∠DAE=∠DCE，∠AEB=∠CEB．

（1）求證：矩形ABCD是正方形；

（2）若AE=2EG，求EG與GF之間的數(shù)量關(guān)系．

79.如圖，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DP并延長，交AB的延長線于點(diǎn)Q．

（1）求證：△DCP∽△QBP．

（2）若=，求的值．

80.如圖在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若BC=8cm，AD=6cm，

（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周長

（2）當(dāng)PN為多少時矩形PQMN的面積最大，最大值為多少？

81.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD與AE、AF分別相交于G、H．

（1）求證：△ABE∽△ADF；

（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

82.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，且AE=OC．

（1）求證：AP=AO；

（2）求證：PE⊥AO；

（3）當(dāng)AE=AC，AB=10時，求線段BO的長度．

83.在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的長．

84.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，DF⊥AC，DF與CE相交于點(diǎn)F，AF的延長線與BD相交于點(diǎn)G．

（1）求證：AD2=DG?BD；

（2）聯(lián)結(jié)CG，求證：∠ECB=∠DCG．

85.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．

（1）求證：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形．

相似三角形判定定理的證明試卷的答案和解析1.答案：

A；

試題分析：

試題分析：

由題中條件不難得出△AEG與△CFG為相似三角形，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可。

解：可證△AEG∽△CFG

∵∠EAF=60°，

∴∠GCF=60°，

∴∠B=∠GCF=60°．

故選：A.

2.答案：

C；

試題分析：

試題分析：

首先過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長CA交x軸于點(diǎn)H，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

{∠F=∠BEO=90°∠CAF=∠BOEAC=OB，∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴?ADOE=ODBE，即1OE=23，∴OE=32，即點(diǎn)B（32，3），∴AF=OE=32，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：-（2-23）=-?12，∴點(diǎn)C（-12，4）．故選：C.

3.答案：

C

試題分析：

試題分析：根據(jù)相似三角形的判定方法分別利用平行線以及垂直平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等即可得出．

試題解析：如圖所示：

當(dāng)PD∥BC時，△APD∽△ACB；

當(dāng)PE∥AB時，△CPE∽△BAC；

當(dāng)PF⊥AB時，△APF∽△ABC

故過點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有3條．

故選：C．

4.答案：

D；

試題分析：

試題分析：

過F作FH⊥AE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AEAF=ADFH，于是得到AE=AF，列方程即可得到結(jié)論.

解：過F作FH⊥AE于H，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF=CE，

∴DE=BF，

∴AF=3-DE，

∴AE=4+DE2，

∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，

∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，

∴∠DAE=∠AFH，

∴△ADE∽△AFH，

∴AEAF=ADFH，

∴AE=AF，

∴4+DE2=3-DE，

∴DE=56，

故選：D.

5.答案：

A；

試題分析：

試題分析：

直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出AD的長，進(jìn)而得出△OAD∽△OBG，進(jìn)而得出AO的長，即可得出答案。

解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，

∴ADBG=13，

∵BG=6，

∴AD=BC=2，

∵AD∥BG，

∴△OAD∽△OBG，

∴OAOB=13，

∴OA2+OA=13，

解得：OA=1，

∴OB=3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2），

故選：A．

6.答案：

A

試題分析：

試題分析：根據(jù)相似三角形或相似多邊形的定義以及性質(zhì)即可作出判斷．

試題解析：①正確．

②兩個等腰三角形一定相似，錯誤不一定相似．

③兩個相似多邊形的面積比為4：9，則周長的比為16：81，錯誤周長比應(yīng)該是2：3，

④不相似，三邊不一定成比例．

故選A．

7.答案：

B

試題分析：

試題分析：先證明∠DOC=90°，再證明△AOD∽△BCO得OA2=AD?BC，由此即可解決問題．

試題解析：如圖，連接OC．

∵AM和BN是它的兩條切線，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∴∠ADE+∠BCE=180°

∵DC切⊙O于E，

∴∠ODE=∠ADE，∠OCE=∠BCE，

∴∠ODE+∠OCE=90°，

∴∠DOC=90°，

∴∠AOD+∠COB=90°，

∵∠AOD+∠ADO=90°，

∴∠AOD=∠OCB，

∵∠OAD=∠OBC=90°，

∴△AOD∽△BCO，

∴，

∴OA2=AD?BC=9，

∴OA=3，

∴AB=2?OA=6．

故選B．

8.答案：

B

試題分析：

試題分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到平行四邊形的對邊平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根據(jù)相似三角形的判定方法：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長線所構(gòu)成的三角形相似，進(jìn)而得出答案．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，

∴△GAB∽△BCF，

還有△ABC≌△CDA（是特殊相似），

∴共有6對．

故選：C．

9.答案：

B

試題分析：

試題分析：首先根據(jù)DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出=，進(jìn)而得出的值．

試題解析：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∵AD=4，DB=2，

∴===．

則的值為．

故選：B．

10.答案：

C

試題分析：

試題分析：先證明△ABC∽△DCA，再由面積的比等于相似比的平方，即可得出結(jié)論．

試題解析：∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD，

∵∠B=∠ACD=90°，

∴△ABC∽△DCA，

∴=（）2=（）2=；

故選：C．

11.答案：

B

試題分析：

試題分析：首先過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

試題解析：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長CA交x軸于點(diǎn)H，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴，

即，

∴OE=，

即點(diǎn)B（，3），

∴AF=OE=，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：-（2-）=-，

∴點(diǎn)C（-，4）．

故選：B．

12.答案：

C

試題分析：

試題分析：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；

②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；

③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；

④根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，依此即可作出判斷．

試題解析：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB==，故①正確；

②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵M(jìn)G⊥AC，

∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，

∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，

∴CE=AF=BF，

∴FG是△ACB的中位線，

∴GC=AC=MH，故②正確；

③如圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，

則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2．

在△ECF和△ECD中，

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE．

∵∠5=45°，

∴∠BDE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③錯誤；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，

∵∠A=∠5=45°，

∴△ACE∽△BFC，

∴=，

∴AF?BF=AC?BC=1，

由題意知四邊形CHMG是矩形，

∴MG∥BC，MH=CG，

MG∥BC，MH∥AC，

∴=；=，

即=；=，

∴MG=AE；MH=BF，

∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，

故④正確．

故選：C．

13.答案：

C

試題分析：

試題分析：根據(jù)相似三角形的判定及其性質(zhì)，求出線段AD、AB、BD、BF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，即可解決問題．

試題解析：∵DE、FG將△ABC的面積三等分，

∴設(shè)△ADE、△AFG、△ABC的面積分別為λ、2λ、3λ

∵DE∥FG∥BC，

∴△ADE∽△AFG∽△ABC，

∴=，，，

∴，，BF=，

DF=，BD=，

∴，，，

，

∴該題答案為C．

14.答案：

B

試題分析：

試題分析：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M，求出∠1=∠3，證△OAN∽△BOM，求出兩三角形的面積，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可．

試題解析：

過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M，

∵OA⊥OB，

∴∠ANO=∠BMO=∠AOB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∴△OAN∽△BOM，

∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上，

∴S△AON=1，S△BOM=4，

∴==2（相似三角形的面積比等于相似比的平方），

故選B．

15.答案：

B

試題分析：

試題分析：證三角形相似，再根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

試題解析：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，則S△ABD=S△ACD，

∴S1=S3，故命題正確；

B、∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

又∵BC=2AD，

∴=（）2=，

則S2=2S4正確．故命題錯誤；

C、作MN⊥BC于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M．

∵△AOD∽△COB，

又∵BC=2AD，

∴==，即=，

∴=，

則設(shè)S△OBC=2x，則S△ABC=3x，則S△AOB=x，

即S2=2S1，故命題正確；

D、設(shè)AD=y，則BC=2y，設(shè)OM=z，則ON=2z，

則S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，

S△ABC=BC?MN=×2y?3z=3yz，

則S1=S3=3yz-2yz=yz，

則S1?S3=y2z2，

S2?S4=y2z2，

故S1?S3=S2?S4正確．

故選B．

16.答案：

B；

試題分析：

試題分析：

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DAE=∠APB，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得DEAB=ADAP，然后整理即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．

解：矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE=∠APB，

∵∠B=∠AED=90°，

∴△ABP∽△DEA，

∴DEAB=ADAP

∴y3=4x，

∴y=12x．

故選：B．

17.答案：

B；

試題分析：

試題分析：

連接OD、OE，先設(shè)AD=x，再證明四邊形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，從而得出CD=CE=4-x，BE=6-（4-x），可證明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的長即可。

解：連接OD、OE，

設(shè)AD=x，

∵半圓分別與AC、BC相切，

∴∠CDO=∠CEO=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形ODCE是矩形，

∴OD=CE，OE=CD，

又∵OD=OE，

∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，

∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，

∴∠A=∠BOE，

∴△AOD∽OBE，

∴ADOE=ODBE，

∴x4-x=4-xx+2，

解得x=1.6，

故選：B．

18.答案：

D

試題分析：

試題分析：根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案．

試題解析：∵△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，

∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，

∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，

∴∠CFA=∠BAG，

∴△CAF∽△BGA，

∴△BGA∽△AGF∽△CAF；

還有△ABC≌△DEA，

∴相似三角形共有4對．

故選：D．

19.答案：

B

試題分析：

試題分析：延長BA和CD交于O，求出∠OBE=∠CBE，∠BEO=∠BEC=90°，證△BEO≌△BEC，推出OE=CE，根據(jù)面積公式求出△OBE的面積是2，OD：OC=1：4，證出△OAD∽△OBC，求出△OAD的面積=，即可求出答案．

試題解析：延長BA和CD交于O，

∵BE平分∠ABC，BE⊥CD，

∴∠OBE=∠CBE，∠BEO=∠BEC=90°，

在△BEO和△BEC中，

∴△BEO≌△BEC（ASA），

∴OE=CE，

∵CE：ED=2：1，△BEC的面積為2，

∴△OBE的面積是2，OD：OC=1：4，

∵AD∥BC，

∴△OAD∽△OBC，

∴=（）2=，

∴S△OAD==×（2+2）=，

∴四邊形ABED的面積S=2-=，

故選B．

20.答案：

D

試題分析：

試題分析：①根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似即可證明．

②由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得．

③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得．

④依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得．

試題解析：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B

∴∠ADE=∠C，

∴△ADE∽△ACD；

故①正確，

②作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，

∴BG=ABcosB，

∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，

∵BD=6，

∴DC=10，

∴AB=DC，

在△ABD與△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA）．

故②正確，

③當(dāng)∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°，

∴∠ADC=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，

BD=8．

當(dāng)∠CDE=90°時，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=α且cosα=．AB=10，

∴cosB==，

∴BD=12.5．

故③正確．

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

設(shè)BD=y，CE=x，

∴=，

∴=，

整理得：y2-16y+64=64-10x，

即（y-8）2=64-10x，

∴0＜x≤6.4．

故④正確．

正確的有①②③④．

故選：D．

21.答案：

C

試題分析：

試題分析：證明△BPE∽△CDP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可作出判斷．

試題解析：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

∴△BPE∽△CDP，

∴，即，則y=-x2+x，y是x的二次函數(shù)，且開口向下．

故選：C．

22.答案：

B

試題分析：

試題分析：延長AD到M′，使得DM′=DM=1，連接PM′，如圖，當(dāng)PB+PM的和最小時，M′、P、B三點(diǎn)共線，易證△DPM′∽△CPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DP，設(shè)AE=x，則PE=x，DE=2-x，然后在Rt△PDE中運(yùn)用勾股定理求出x，由此可求出EM的值．

試題解析：延長AD到M′，使得DM′=DM=1，連接PM′，如圖．

當(dāng)PB+PM的和最小時，M′、P、B三點(diǎn)共線．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=2，

∴DC=AB=4，AD=BC=2，AD∥BC，

∴△DPM′∽△CPB，

∴==，

∴DP=PC，

∴DP=DC=．

設(shè)AE=x，則PE=x，DE=2-x，

在Rt△PDE中，

∵DE2+DP2=PE2，

∴（2-x）2+（）2=x2，

解得：x=，

∴ME=AE-AM=-1=．

故選B．

23.答案：

D

試題分析：

試題分析：由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分兩種情況：

①當(dāng)BM≤4時，先證明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面積y是關(guān)于x的二次函數(shù)，即可得出圖象的情形；

②當(dāng)BM≥4時，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同；即可得出結(jié)論．

試題解析：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，

①當(dāng)BM≤4時，

∵點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于BD對稱，

∴P′P⊥BD，

∴P′P∥AC，

∴△P′BP∽△CBA，

∴，即，

∴PP′=x，

∵OM=4-x，

∴△OPP′的面積y=PP′?OM=×x（4-x）=-x2+3x；

∴y與x之間的函數(shù)圖象是拋物線，開口向下，過（0，0）和（4，0）；

②當(dāng)BM≥4時，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同，過（4，0）和（8，0）；

綜上所述：y與x之間的函數(shù)圖象大致為．

故選：D．

24.答案：

A

試題分析：

試題分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根據(jù)相似的性質(zhì)得=，=，由于=，則=，=，所以=，在Rt△ABC中，利用正切的定義得tanB=tan30°==，即，則=，利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，則Rt△DOP∽Rt△EOQ，==，且當(dāng)n=2時=時，=．

試題解析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如圖，

∵∠ACB=90°，

∴OD∥BC，OE∥AC，

∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，

∴=，=，

∵=，

∴=，，

∴=，=，

∴=，

在Rt△ABC中，利用正切的定義得tanB=tan30°==，，

∴=，

∵∠POQ=90°，

而∠DOE=90°，

∴∠DOP=∠QOE，

∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，

∴==，

即=時，=，

故選A．

25.答案：

A

試題分析：

試題分析：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，先證明△CBE∽△CAD，利用相似比得到AD=3BE，設(shè)B（t，），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得S△AOD=S△BOE，由于S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，所以S△AOB=S梯形ABED，然后利用梯形的面積公式計算即可求得．

試題解析：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，

∵BE∥AD，

∴△CBE∽△CAD，

∴=，

∵AB=2BC，

∴CB：CA=1：3，

∴==，

∴AD=3BE，

設(shè)B（t，），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），

∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，

而S△AOD=S△BOE，=k，

∴S△AOB=S梯形ABED=（+）?（t-t）=8，

解得，k=6．

故選A．

26.答案：

C；

試題分析：

試題分析：

根據(jù)AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM與AB和BE是對應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計算即可。

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∵BE=CE，

∴AB=2BE，

又∵△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似，

∴①DM與AB是對應(yīng)邊時，DM=2DN

∴DM2+DN2=MN2=1

∴DM2+14DM2=1，

解得DM=255；

②DM與BE是對應(yīng)邊時，DM=12DN，

∴DM2+DN2=MN2=1，

即DM2+4DM2=1，

解得DM=55．

∴DM為255或55時，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似。

故選：C．

27.答案：

C；

試題分析：

試題分析：

①根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；

②由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；

③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；

④依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得。

解：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∴△ADE∽△ACD；

故①正確；

②作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=45，

∴BG=ABcosB，

∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×45=16，

∵BD=6，

∴DC=10，

∴AB=DC．

在△ABD與△DCE中，{∠BAD＝∠CDE∠B＝∠CAB＝DC，

∴△ABD≌△DCE（ASA）．

故②正確；

③當(dāng)∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°，

∴∠ADC=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且cosα=45，AB=10，

∴BD=8．

當(dāng)∠CDE=90°時，易證△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=α且cosα=45，AB=10，

∴cosB=ABBD=45，

∴BD=252．

即當(dāng)△DCE為直角三角形時，BD=8或252．

故③錯誤；

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

設(shè)BD=y，CE=x，

∴ABDC=BDCE，

∴1016-y=yx，

整理得：y2-16y+64=64-10x，

即（y-8）2=64-10x，

∴0＜x≤6.4，

∵AE=AC-CE=10-x，

∴3.6≤AE＜10．

故④正確．

故正確的結(jié)論為：①②④．

故選：C．

28.答案：

C；

試題分析：

試題分析：

由四邊形ABCD是正方形，證得△ADE≌△BAF，進(jìn)而證得BF=AE，利用兩角對應(yīng)相等易得△AOE∽△ABF，那么OEBF=AEAF問題得解。

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，

∵DE⊥AF，

∴∠ADE+∠DAO=∠DAO+∠OAF=90°

∴∠ADE=∠OAE，

在△ADE和△BAF中，

{∠ADE＝∠OAFAD＝AB∠DAE＝∠ABF?，

∴△ADE≌△BAF，

∴BF=AE，

∵AE=12AB，

∴BF=12AB，

設(shè)BF=1，則AB=2，

∴AF=5，

∵∠AOE=∠B=90°．

∠OAE=∠FAB，

∴△AOE∽△ABF，

∴?OEBF＝AEAF?＝?15?＝55?．

故選:C.

29.答案：

D；

試題分析：

試題分析：

利用平行四邊形的性質(zhì)得出△FAE∽△FBC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出S△FAES△FBC=916，進(jìn)而得出答案。

解：∵在平行四邊形ABCD中，

∴AE∥BC，AD=BC，

∴△FAE∽△FBC，

∵AE：ED=3：1，

∴AEBC=34，

∴S△FAES△FBC=916.

∴S△AFE：S四邊形ABCE=9：7．

故選：D．

30.答案：

B；

試題分析：

試題分析：

利用平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠CDE=∠CED，進(jìn)而求出DE的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出EF的長。

解：∵在?ABCD中，∠ADC的平分線DE交BC于點(diǎn)E，

∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，

∴∠CDE=∠CED，

∵AB=3cm，AD=6cm，

∴DC=EC=3cm，

∵CG⊥DE，DG=332cm，

∴EG=332cm，

∴DE=33cm，

∵AD∥BC，

∴△AFD∽△CFE，

∴ADEC=DFEF，則63=33-EFEF，

解得：EF=3．

故選：B．

31.答案：

試題分析：

試題分析：連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由點(diǎn)F，點(diǎn)G關(guān)于直線DE的對稱，得到DF=DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，證得△FDG是等腰直角三角形，推出四邊形APHQ是矩形，證得△HPF≌△DHQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP=HQ，證得APHQ為正方形，利用正方形性質(zhì)聯(lián)系題中所給數(shù)據(jù)計算出正方形邊長，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG長．

試題解析：連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，

∵點(diǎn)F，點(diǎn)G關(guān)于直線DE的對稱，

∴DF=DG，

正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，

∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD與Rt△CDG中，，

∴Rt△AFD≌Rt△CDG，

∴∠ADF=∠CDG，

∴∠FDG=∠ADC=90°，

∴△FDG是等腰直角三角形，

∵DH⊥CF，

∴DH=FH=FG，

∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，

∴四邊形APHQ是矩形，

∴∠PHQ=90°，

∵∠DHF=90°，

∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF與△DQH中有，

∴△HPF≌△DHQ，

∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；

設(shè)正方形APHQ邊長為a，則在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；

∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，

又易證△FPH∽△EHG，則有，即EG=，

又FH2=22+42=20，PH=4，

∴EG=5

故答案為：5．

32.答案：

試題分析：

試題分析：由條件可證得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=，利用對應(yīng)線段的比相等可求得AN和MN，進(jìn)一步可得到，且∠CAM=∠NAO，可證得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得ON．

試題解析：∵AB=3，BM=1，

∴AM=，

∵∠ABM=90°，BN⊥AM，

∴△ABN∽△BNM∽△AMB，

∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，

∴AN=，MN=，

∵AB=3，CD=3，

∴AC=，

∴AO=，

∵，，

∴，且∠CAM=∠NAO

∴△AON∽△AMC，

∴，

∴ON=．

故答案為：．

33.答案：

試題分析：

試題分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則AB=BC=AD=a，根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，由勾股定理求出AC=a，延長FP交AD于M，過B作BN∥AC交AF的延長線于N，證△NFB∽△AFC求出BF=（-1）a，CF=（2-）a，證△BOF∽△DOM求出DM=BF=（-1）a，求出GM=（）a，證△GMP∽△CFP，得出=，即可求出答案．

試題解析：如圖：

設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則AB=BC=AD=a，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，

由勾股定理得：AC=a，

延長FP交AD于M，過B作BN∥AC交AF的延長線于N，

則∠N=∠CAF，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠N=∠BAF，

∴AB=BN=a，

∵BN∥AC，

∴△NFB∽△AFC，

∴=，

∴=，

∴BF=（-1）a，

∴CF=a-（-1）a=（2-）a，

∵AD∥BC，

∴△BOF∽△DOM，

∴=，

∵OD=OB，

∴DM=BF=（-1）a，

∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，

∴DG=AG=a，

∴GM=a-（-1）a=（）a，

∵AD∥BC，

∴△GMP∽△CFP，

∴=，

∴==，

故答案為：．

34.答案：

試題分析：

試題分析：如圖，作輔助線；證明△ADB′∽△DCB′，得到；求出AB′、CB′的長度；進(jìn)而求出B′D的長度，即可解決問題．

試題解析：如圖，由題意得：△ABD≌△AB′D，

∴BD=B′D，∠B′AD=∠BAD（設(shè)為α）；

∵∠B′DC=∠BAC，

∴∠B′DC=∠B′AD；而∠B′=∠B′，

∴△ADB′∽△DCB′，

∴①；

∵AD平分∠CAB，

∴，

設(shè)B′D=BD=9λ，則CD=5λ；

∵△ABD≌△AB′D，

∴AB′=AB=9，CB′=9-5=4，代入①并解得：

B′D=6，

∴BD=6．

故答案為6．

35.答案：

試題分析：

試題分析：延長AE交BC于點(diǎn)F．在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理得到AD，進(jìn)一步得到CD；在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得到BC；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到CF，在Rt△AFC中，根據(jù)勾股定理得到AF，通過AA證明△DAE∽△FAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．

試題解析：延長AE交BC于點(diǎn)F．

∵在△ABC中，AB=AC=3，高BD=，

∴在Rt△ADB中，AD==2，

∴CD=AC-AD=1，

∴在Rt△BDC中，BC==，

∵AE平分∠BAC，

∴CF=，∠AFC=90°，

∴在Rt△AFC中，AF==，

∵∠DAE=∠FAC，∠ADE=∠AFC=90°，

∴△DAE∽△FAC，

∴DE：AD=CF：AF，

DE===．

故答案為：．

36.答案：

試題分析：

試題分析：如圖，證明AE⊥AD，求出DE的長度；證明△ADF∽△DEC，得到；運(yùn)用AD=8，DE=4，CD=AB=5，求出AF的長度，即可解決問題．

試題解析：如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，∠B=∠ADC；而AE⊥BC，

∴AE⊥AD，∠ADF=∠DEC；

∴DE2=AE2+AD2=16+64=80，

∴DE=4

而∠AFE=∠B，

∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，

∴∠DAF=∠EDC；

∴△ADF∽△DEC，

∴；而AD=8，DE=4，CD=AB=5，

∴AF=2．

故答案為2．

37.答案：

試題分析：

試題分析：如圖，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，則可判斷Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可計算出PQ．

試題解析：如圖，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，

∵PQ⊥CD，

∴∠PQC=90°，

∴∠C+∠QPC=90°，

而∠C+∠D=90°，

∴∠QPC=∠D，

∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，

∴=，即=，

∴PQ=6，

即旗桿的高度為6m．

故答案為6．

38.答案：

試題分析：

試題分析：作EN⊥CD于N，如圖，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD=4，DG=DE=，∠GDF=∠EDF，∠ADC=90°，則∠EDC=45°，再證明△ADG≌△CDE得到∠1=∠2，接著在等腰Rt△DEN中計算出DN=EN=DE=1，所以CN=CD-DN=3，CE=，然后證明△CEN∽△CMD，利用相似比可計算出DM=，CM=，則AM=AD-DM=，最后證明△AMH∽△CMD，利用相似比可計算出HM=，再把CM與HM相加即可得到CH的長．

試題解析：作EN⊥CD于N，如圖，

∵四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，

∴AD=CD=4，DG=DE=，∠GDF=∠EDF，∠ADC=90°，

∴∠EDC=45°，

在△ADG和△CDE中，

，

∴△ADG≌△CDE，

∴∠1=∠2，

在Rt△DEN中，∵∠EDN=45°，

∴DN=EN=DE=×=1，

∴CN=CD-DN=3，

∴CE===，

∵EN∥DM，

∴△CEN∽△CMD，

∴==，即==，

∴DM=，CM=，

∴AM=AD-DM=4-=，

∵∠1=∠2，∠AMH=∠CMD，

∴△AMH∽△CMD，

∴=，即=，

∴HM=，

∴CH=CM+HM=+=．

故答案為．

39.答案：

試題分析：

試題分析：首先由勾股定理求得AC的長，然后過點(diǎn)E作DE∥BF，從而可得到△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO，從而可證明；然后再證明△DHD∽△AEH，從而可得到AH=4OD，然后由△EDO∽△FCO可得到OF=4OE，然后得到AC=5OH，最后即可求得OH的長度．

試題解析：過點(diǎn)E作ED∥BF．

∵ED∥BF．

∴△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO．

∴，．

∴．

又∵CF=2AE，

∴CF=4ED．

∴．

∵∠EDH=∠AED，∠EHD=∠AED=90°，

∴△EHD∽△AED．

∵∠A=∠A，∠AHE=∠AED，

∴△AED∽△AEH．

∴△DHE∽△AEH．

∴AH=2EH=4DH．

∵△EDO∽△FCO，

∴．

∴OC=4OD．

∴AH+OC=4DH+4OD=4HO．

∴AC=5HO．

在Rt△ABC中，AC==．

∴OH==．

故答案為：；．

40.答案：

試題分析：

試題分析：先由==，根據(jù)比例的性質(zhì)可得==，又∠APB=∠MPN，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得△APB∽△MPN，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到==．

試題解析：∵==，

∴==，

∴1+=1+=，

∴==，

∴==，

又∵∠APB=∠MPN，

∴△APB∽△MPN，

∴==．

故答案為．

41.答案：

3；

試題分析：

試題分析：

CE與BD相交于F點(diǎn)，如圖，由DE∥BC可判斷△DEF∽△BCF，則EFFC=DFBF=DEBC=12，于是利用三角形面積公式可得S△DCF=S△EBF=2S△DEF，而S△CDES=94,所以S△DCF=S△EBF=23?×94×32，然后計算圖中陰影部分的面積。

解：CE與BD相交于F點(diǎn)，如圖，

∵E為AD的中點(diǎn)，

∴DE=32，

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴EFFC=DFBF=DEBC=12，

∴S△DCF=S△EBF=2S△DEF，

而S△CDE=12×3×32=94，

∴S△DCF=S△EBF=23×94=32，

∴圖中陰影部分的面積=2×32=3．

故答案為：3．

42.答案：

試題分析：

試題分析：先求出矩形的面積，再由矩形的性質(zhì)得出△OCD的面積=矩形的面積的，證明EF是△OCD的中位線，得出△EFD∽△OCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果．

試題解析：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，矩形ABCD的面積=AB?AD=8×6=48，

∴△OCD的面積=×48=12，

∵E、F分別是OD、CD的中點(diǎn)，

∴EF是△OCD的中位線，

∴EF∥OC，EF=OC，

∴△EFD∽△OCD，

∴=（）2=，

∴S△EFD=S△OCD=×12=3．

故答案為：3．

43.答案：

223；

試題分析：

試題分析：

延長BF交CD于H．根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)ASA可以證明△ABE≌△BCH，則CH=BE=1，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解。

解：延長BF交CD于H．

在正方形ABCD中，正方形的邊長是2，根據(jù)勾股定理，得AC=22．

∵AB=BC，∠ABE=∠BCH=90°，∠BAE=∠CBH，

∴△ABE≌△BCH，

∴CH=BE=1．

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CHF，

∴AF:CF＝AB:CH=2，

∴CF=13?AC=223．

故答案為：223．

44.答案：

4；

試題分析：

試題分析：

認(rèn)真審題，連接EF，可以證明△EB′F≌△ECF，進(jìn)而可以證明△ABE∽△ECF，得出兩個三角形的邊之間的比例關(guān)系，據(jù)此即可得出本題的答案。

解：如圖，連接EF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠C=90°，

∵把△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，E為BC的中點(diǎn)，

∴BE=EC=BB′，∠B=∠AB′E=∠EB′F=90°，∠AEB=∠AEB′

在Rt△EB′F和Rt△ECF中，

{EB'＝ECEF＝EF，

∴在Rt△EB′F≌Rt△ECF中，

∴∠B′EF=∠CEF，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∴FCBE=ECAB，

即：2BE=12，

解得：BE=4，

∴BC=8．

故答案為：4.

45.答案：

試題分析：

試題分析：首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出結(jié)論，由條件把AM、AN用含x的式子表示出來，由勾股定理把MN表示出來解答即可．

試題解析：∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∵AD是BC邊上的高，

∴∠DAC+∠C=90°

∴∠B+∠DAC=90°，

∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°

∴∠BDM=∠ADN，

∴△BMD∽△AND，

∴，

∵，

∴DM：DN=，

∵△BMD∽△AND，

∴∴，

∴AN=BM∴，

設(shè)BM為x，

∴AN=，AM=6-x，

∵∠BAC=90°，

∴MN2=（6-x）2+（x）2=（）2+，

故MN的最小值是，

故答案為：．

46.答案：

試題分析：

試題分析：由等腰直角三角形的性質(zhì)求得∠B=∠C=45°；然后由三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義求得∠BPE=∠CFP，證得△BPE∽△CFP；過點(diǎn)F作EM⊥EP于點(diǎn)M，設(shè)EM=a，求出FM=a、PM=a、FP=a，得，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得CF長．

試題解析：如圖，

∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，

∴∠B=∠C=45°，BP=CP=BC=，

∴∠2+∠3=135°．

又∵∠EPF=45°

∴∠1+∠3=135°

∴∠1=∠2，

∴△BPE∽△CFP．

過點(diǎn)F作EM⊥EP于點(diǎn)M，設(shè)EM=a．

在Rt△EMF中，∵∠FEP=60°，

∴FM=a，

在Rt△FMP中，得到PM=a，F(xiàn)P=a，

則，

∵△BPE∽△CFP，

∴，即，

解得：CF=3-．

故答案為：3-．

47.答案：

試題分析：

試題分析：△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′為CE的中點(diǎn)，所以，可運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求得．

試題解析：∵△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，

∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，

∴△ACB∽△AED，

又A′為CE的中點(diǎn)，

∴=，

即=，

∴ED=2．

故答案為：2．

48.答案：

試題分析：

試題分析：首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，求得AD∥BC，即可得到∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△DAE∽△AMB，由△ABM∽△ADE可以得到，根據(jù)勾股定理可以求得AD的長，繼而得到答案．

試題解析：在矩形ABCD中，

∵M(jìn)是邊BC的中點(diǎn)，BC=3，AB=2，

∴AM=，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AMB，

∵∠DEA=∠B=90°，

∴△DAE∽△AMB，

∴，

∴DE=，

故答案為．

49.答案：

試題分析：

試題分析：由于平行四邊形的對邊相等，根據(jù)BE、EC的比例關(guān)系即可得到BE、AD的比例關(guān)系；易證得△BFE∽△DFA，已知了BE、AD的比例關(guān)系（即兩個三角形的相似比），根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得解．

試題解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC；

∵BE：EC=1：2，

∴BE：BC=1：3，即BE：AD=1：3；

易知：△BEF∽△DAF，

∴S△BFE：S△DFA=BE2：AD2=1：9．

50.答案：

試題分析：

試題分析：設(shè)BF與CE相交于點(diǎn)H，利用△BCH和△BGF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之間的距離，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．

試題解析：如圖，設(shè)BF與CE相交于點(diǎn)H，

∵CE∥GF，

∴△BCH∽△BGF，

∴=，

即=，

解得CH=，

∴DH=CD-CH=2-=，

∵∠A=120°，

∴AB、GF之間的距離=（2+3）×=，

∴陰影部分的面積=××=．

故答案為：．

51.答案：

12；

試題分析：

試題分析：

利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，進(jìn)而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案。

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△DCF，

∴EFFC=DEBC，

∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，

∴DE=AE=12BC，

∴EFFC=DEBC=12．

故答案為：12．

52.答案：

試題分析：

試題分析：由正方形ABCD中，CF=CE，易證得△DCF≌△BCE，則可得DF=BE，繼而可證得BG⊥DF，則可得△DGE∽△BGF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

試題解析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC，CD⊥BC，

∴∠BCD=∠DCF=90°

∴在△DCF與△BCE中，

，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴∠FDC=∠EBC，DF=BE=DG+GF=3+2=5，

∵∠FDC+∠F=90°，

∴∠EBC+∠F=90°，

∴∠BGF=90°，

∴∠DGE=∠BGF=90°，

∴△DGE∽△BGF，

∴，

∵GE=BG-BE=BG-5，

∴，

解得：BG=6．

故答案為：6．

53.答案：

試題分析：

試題分析：先設(shè)正方形的邊長為a，再求證Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面積，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根據(jù)S陰影=S□ABCD-4S△AED+4S△AEL計算即可．

試題解析：設(shè)正方形的邊長為a，則S□ABCD=a2，

∵AE=BF=CG=DH=AB，

∴AE=BF=CG=DH=a，

∴AF==a，

∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，

∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，

∴S△AED=×a?a=a2．

∵Rt△AED≌Rt△BFA，

∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，

∴∠ALE=∠DAE=90°，

∴△AEL是直角三角形，

∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，

∴Rt△AEL∽Rt△AFB，

∴==，即==，

解得，AL=a，EL=，

∴S△AEL=AL?EL=×a×=，

同理可得，S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=，

∴S陰影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×a2+4×=a2，

∴陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為a2：a2=．

54.答案：

試題分析：

試題分析：欲證△ACB∽△CBD，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即∠ACB=∠CBD=90°，此時，再求夾此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例即可．

試題解析：∵∠ACB=∠CBD=90°，

當(dāng)時，即，

即BD=時，△ACB∽△CBD．

55.答案：

試題分析：

試題分析：首先由矩形的性質(zhì)，得到AD∥BC，AD=BC，即可得到△AFD∽△EFB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得AD：BE=DF：BF，求得DF：BF的值，則可求得△DBC的面積，問題的解．

試題解析：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△AFD∽△EFB，

∴AD：BE=DF：BF，

∵CE=2BE，

∴DF：BF=3：1，

∵S△DEF=2，

∴S△BEF=，

∴S△BED=2+=

∴S△DEC=

∴S△DBC=S△DEB+S△DEC==8，

∴S矩形fBCD=2S△DBC=16．

故答案為：16．

56.答案：

試題分析：

試題分析：延長NP交ED于G點(diǎn)，設(shè)PG=x，先由PG∥DF，得出△EPG∽△EFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出EG=2x，MP=10+2x，進(jìn)而得到S矩形PNBM是x的二次