2022-2023學(xué)年福建省廈門市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年福建省廈門市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1，1]上（）

A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.無最大值D.無最小值

2.當(dāng)x一0時(shí)，與3x2+2x3等價(jià)的無窮小量是()．

A.2x3

B.3x2

C.x2

D.x3

3.

4.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（）

A.

B.

C.

D.

5.

在x=0處()。A.間斷B.可導(dǎo)C.可微D.連續(xù)但不可導(dǎo)

6.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

7.

8.設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

9.A.3B.2C.1D.0

10.下列命題中正確的有()．

11.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則下列命題中正確的是（）．A.A.f(x)在點(diǎn)x0必定可導(dǎo)

B.f(x)在點(diǎn)x0必定不可導(dǎo)

C.

D.

12.

13.

14.A.有一個(gè)拐點(diǎn)B.有兩個(gè)拐點(diǎn)C.有三個(gè)拐點(diǎn)D.無拐點(diǎn)15.函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)

16.

17.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

18.

19.方程x2+2y2+3z2=1表示的二次曲面是

A.圓錐面B.旋轉(zhuǎn)拋物面C.球面D.橢球面

20.

二、填空題(20題)21.設(shè)z=x2y+siny，=________。

22.

23.______。

24.

25.

26.

27.

28.方程y'-ex-y=0的通解為_____.29.y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間為______．

30.

31.設(shè)y=2x+sin2，則y'=______．

32.

33.34.

35.設(shè)sinx為f(x)的原函數(shù)，則f(x)=______．

36.

37.

38.

39.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

40.設(shè)f(x)=xex，則f'(x)__________。

三、計(jì)算題(20題)41.42.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．43.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則44.

45.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．46.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．47.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

48.

49.證明：50.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．

51.

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.

54.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

55.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．56.57.求微分方程的通解．58.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．59.

60.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．四、解答題(10題)61.62.求直線y=2x+1與直線x=0，x=1和y=0所圍平面圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

63.

64.

65.

66.

67.求y"-2y'=2x的通解．

68.

69.

70.若y=y(x)由方程y=x2+y2，求dy。

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.若f(x一1)=x2+3x+5，則f(x+1)=________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B因處處成立，于是函數(shù)在（-∞，+∞)內(nèi)都是單調(diào)增加的，故在[-1，1]上單調(diào)增加.

2.B由于當(dāng)x一0時(shí)，3x2為x的二階無窮小量，2x3為戈的三階無窮小量．因此，3x2+2x3為x的二階無窮小量．又由，可知應(yīng)選B．

3.B

4.D

5.D①∵f(0)=0，f-(0)=0，f+(0)=0；∴f(x)在x=0處連續(xù)；∵f-"(0)≠f"(0)∴f(x)在x=0處不可導(dǎo)。

6.C所給方程為可分離變量方程．

7.D

8.C

9.A

10.B解析：

11.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限、連續(xù)與可導(dǎo)性的關(guān)系．

這些性質(zhì)考生應(yīng)該熟記．由這些性質(zhì)可知本例應(yīng)該選C．

12.C

13.A

14.D

15.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為判定函數(shù)的單調(diào)性。

y=ln(1+x2)的定義域?yàn)?-∞，+∞)。

當(dāng)x＞0時(shí)，y'＞0，y為單調(diào)增加函數(shù)，

當(dāng)x＜0時(shí)，y'＜0，y為單調(diào)減少函數(shù)。

可知函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間是(0，+∞)，故應(yīng)選C。

16.D

17.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式或等價(jià)無窮小代換．

解法1由可知

解法2當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，sinmx～mx，因此

18.B

19.D本題考查了二次曲面的知識(shí)點(diǎn)。

20.D21.由于z=x2y+siny，可知。

22.yxy-123.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算。

所求極限的表達(dá)式為分式，其分母的極限不為零。

因此

24.

25.(03)(0,3)解析：26.

27.28.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.29.(0，+∞)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域?yàn)?-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點(diǎn)x=0．

當(dāng)x＞0時(shí)，總有y'＞0，從而y單調(diào)增加．

可知y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間為(0，+∞)．

30.31.2xln2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算．

本題需利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解．

Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．

本題中常見的錯(cuò)誤有

(sin2)'=cos2．

這是由于誤將sin2認(rèn)作sinx，事實(shí)上sin2為一個(gè)常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即

(sin2)'=0．

相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．

請(qǐng)考生注意，不論以什么函數(shù)形式出現(xiàn)，只要是常數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)必定為0．

32.-2sin2-2sin2解析：33.0．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的性質(zhì)．

積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此

34.

35.cosxcosx解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為原函數(shù)的概念．

由于sinx為f(x)的原函數(shù)，因此f(x)=(sinx)'=cosx．

36.

37.y=xe+Cy=xe+C解析：

38.39.

40.(1+x)ex

41.

42.由二重積分物理意義知

43.由等價(jià)無窮小量的定義可知

44.

則

45.

46.

47.

48.

49.

50.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.

52.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.

54.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％55.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

56.

57.

58.

列表：

說明

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

61.62.解：設(shè)所圍圖形面積為A，則

63.

64.

65.

66.67.y"-2y'=x為二階常系數(shù)線性微分方程．特征方程為y2-2r=0．特征根為r1=0，r2=2．相應(yīng)齊次方程的通解為y=C1+C2e2x.r1=0為特征根，可設(shè)y*=x(Ax+B)為原方程特解，代入原方程可得