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第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法

第四章

定理一般說來,當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運(yùn)用分部積分法進(jìn)行計算:冪函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積,

一個函數(shù)難于用其它方法積分,兩個函數(shù)的乘積.例1.求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式例2.求解:

令則原式=例3.求解:

令則∴原式例4.求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.例5解解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例6.

求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)例7.求解:

令,則原式=例8.求解:

令則原式令

如果需要，條件又允許，則不定積分的換元法、分部積分法等可以混合起來使用。例9.求解:

令則∴原式=例10.求解:

令則得遞推公式利用遞推關(guān)系式可以由低次冪函數(shù)的積分計算出高次冪函數(shù)的積分.說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,例11.證明遞推公式證:注:或說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

c)例43)對含自然數(shù)n

的積分,通過分部積分建立遞推公式.例12.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.例13.求不定積分解法1先換元后分部令即則故解法2用分部積分法內(nèi)容小結(jié)

分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u

后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:例14.求解:令則可用表格法求多次分部積分例15.求解:

令則原式原式

=+－+－+思考與練習(xí)1.下述運(yùn)算是否正確？得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用湊微分法.2.

求對比p354公式(128),(129)

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