函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性（課堂PPT）

第四節(jié)一、函數(shù)單調性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性第三章（2）若在內,則在上單調減少.（1）若在內,則在上單調增加;定理1一、函數(shù)單調性的判定法設函數(shù)在上連續(xù),在內可導.說明：定理中的閉區(qū)間可以換成其它類型的區(qū)間.若定理1則在I內單調遞增(遞減).證任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I內單調遞增.在開區(qū)間I內可導,類似地可以證明的情形.設函數(shù)無妨設例1判定函數(shù)在上的單調性因為在內解所以函數(shù)在上的單調增加.解討論函數(shù)的單調性.例2在內函數(shù)單調減少；函數(shù)單調增加.1）如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調．2）若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.3）導數(shù)等于零的稱為駐點（或稱穩(wěn)定點、臨界點），駐點可能是單調區(qū)間的分界點．說明：4）如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調性.例如,5）函數(shù)的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調性．因此函數(shù)例3說明：在整個定義域內單調增加.此例表明，導數(shù)不存在的點也可能是單調區(qū)間的分界點.當然導數(shù)不存在的點不一定都是單調區(qū)間的分界點.3）用上述這些點把定義域分成若干個互不重疊的子區(qū)間；求函數(shù)單調區(qū)間的步驟:4）考察在這些子區(qū)間內的符號，并由定1）確定函數(shù)的定義域；2）在定義域內求出使的點與不上述步驟可通過作表輔助完成.存在的點；理1得出單調區(qū)間.注意上述這些點中若有某些點兩側的單調性一致，則應將兩側合在一起構成一個單調區(qū)間.例4的單調區(qū)間.解令得據(jù)此作下表：確定函數(shù)故的區(qū)間為單調增的區(qū)間為單調減例5的單調區(qū)間.解令得易得，又為不存在的點.據(jù)此作下表：確定函數(shù)故的區(qū)間為單調增的區(qū)間為單調減令則從而即例6證證明在區(qū)間（a,b]上的方法：證明亦即說明：1）設，證明2）證.例7時,成立不等式證從而因此且例6證明令如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方二、曲線的凹凸性與拐點問題:定義在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.設函數(shù)設是區(qū)間I內的點，如果曲線在經過點時,拐點曲線的凹凸性改變了,那么就稱點拐點.為這曲線的曲線凹凸性的判定理定理2(1)在I內則f(x)在I內圖形是凹的;(2)在I內則f(x)在I內圖形是凸的.設函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)證兩式相加說明(1)成立;(2)分別取可得利用一階泰勒公式將在點展開記判定曲線在上的凹凸性.例8因為在內解所以函數(shù)在上是凹的.解討論函數(shù)的凹凸性.例9在內曲線是凸的；曲線是凹的.例10的凹凸性.解故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側二階導數(shù)不變號,判斷曲線例11的拐點.解不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸此例表明二階導數(shù)不存在的點也可能是凹凸區(qū)說明：求曲線間的分界點，即在曲線上的對應點處可能有拐點.3）用上述這些點把定義域分成若干個互不重疊求函數(shù)凹凸區(qū)間及拐點的步驟:4）考察在這些子區(qū)間內的符號，并由定1）確定函數(shù)的定義域；2）在定義域內求出使的點與不上述步驟可通過作表輔助完成.存在的點；的子區(qū)間；理2得出凹凸區(qū)間.注意上述這些點中若有某些點兩側的凹凸性一致，則應將兩側合在一起構成一個凹凸區(qū)間.對應例12的凹凸區(qū)間及拐點.2)求拐點可疑點坐標令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸求曲線解1)求解例131)函數(shù)的定義與為.的凹凸區(qū)間及拐點.2)求拐點可疑點坐標令得3)列表判別故該曲線在上是凸的,是凹的,而(0,0)不是拐點.凸凹凹且為二階不可導的點.對應為拐點,點下面求求曲線內容小結1.可導函數(shù)單調性判別在I上單調遞增在I上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上凹凸曲線弧的分界點.思考與練習上則或的大小順序是()提示:單調增加,及B1.

設在利用

.2.

的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及