人教A版必修二第2章2.12.1.3空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

2．1.3空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1．以下命題正確的是()CA．兩個(gè)平面可以只有一個(gè)交點(diǎn)B．一條直線與一個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)C．兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們一定相交D．兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合12．下列命題正確的是()C

A．若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α

B．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一直線平行 C．兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交 D．若一直線a和平面α內(nèi)一直線b平行，則a∥α

3．若一條直線平行于一個(gè)平面，這條直線就與這個(gè)平面內(nèi))B的任意直線( A．平行 C．異面B．不相交D．相交或異面24．下列命題中，正確的是()B

A．直線a∥平面α，則a平行于α內(nèi)任何一條直線 B．直線a與平面α相交，則a不平行于α內(nèi)的任何一條直線 C．直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線 D．直線a不垂直于平面α內(nèi)的某一條直線，則a不垂直于α內(nèi)任何一條直線3重點(diǎn)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

1．直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種： (1)直線和平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)——直線在平面內(nèi)，記作：l

?α； (2)直線和平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)——直線與平面相交，記作：l∩α＝P； (3)直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)——直線與平面平行，記作：l∥α.42．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：(1)兩個(gè)平面有一條公共的直線——相交，記作α∩β＝l；(2)兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)——平行，記作α∥β.

特別注意：直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過(guò)直線，如果直線不在平面內(nèi)，記作：l?α，包括直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形．5

判斷直線與平面的位置關(guān)系例1：兩條相交直線a、b都在平面α內(nèi)且都不在平面β內(nèi)，且平面α與β相交，則a和b()

A．一定與平面β都相交 B．至少一條與平面β相交 C．至多一條與平面β相交 D．可能與平面β都不相交答案：B

思維突破：設(shè)α∩β＝c，∵若a、b都不與β相交，則a∥c，b∥c，∴a∥b，這與a、b相交矛盾，故a、b中至少一條與β相交．6

1－1.下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)為(

)A．1個(gè)C．3個(gè)B．2個(gè)D．4個(gè)

解析：①錯(cuò)，l可能在平面α內(nèi)；②錯(cuò)，直線a在平面α外有兩種情況：a∥α和a與α相交；③錯(cuò)，直線a可能在平面α內(nèi)；④正確，無(wú)論a在平面α內(nèi)或a∥α，在平面α內(nèi)都有無(wú)數(shù)條直線與a平行．A7

判斷平面與平面的位置關(guān)系例2：判斷下列命題的真假：(1)若兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(3)若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到另外一個(gè)平面的距離相等(距離不為0)，則這兩個(gè)平面平行； (4)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．思維突破：判斷空間中平面與平面的位置關(guān)系時(shí)，可根據(jù)題目中的具體條件展開(kāi)空間想象．8

解：(1)(2)是真命題，(3)(4)是假命題．

(3)會(huì)出現(xiàn)三點(diǎn)在這個(gè)平面的兩側(cè)且符合條件的情況，所以這兩個(gè)平面還可能相交．

(4)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相交平面同時(shí)與另外一個(gè)平面垂直的情況，如正方體中共頂點(diǎn)的三個(gè)面．要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例；而要想說(shuō)明一個(gè)命題是真命題，則需理論上的證明．9A．平行C．平行或相交B．相交D．垂直相交解析：有平行、相交兩種情況，如圖14.

圖14C平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()2－1.如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相10理解直線與平面的位置關(guān)系例3：下列命題為假命題的是()

A．直線a與平面α的位置關(guān)系有且只有a?α、a?α中的一種 B．直線a與平面α的位置關(guān)系有且只有a?α、a∩α＝?、a∩α＝A中的一種 C．已知直線a和平面α滿足a∩α＝?，那么a∥α

D．若直線a和平面α滿足a?α，則a∥α答案：D113－1.有以下命題，正確命題的序號(hào)是______.①②

①直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線與平面平行； ②直線與平面內(nèi)的任何一條直線都不相交，則直線與平面平行； ③直線上有兩點(diǎn)，它們到平面的距離相等，則直線與平面平行； ④直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行．12例4：經(jīng)過(guò)兩條異面直線a、b外的一點(diǎn)P可以作幾個(gè)平面與a、b都平行？請(qǐng)證明你的結(jié)論．正解：可作0個(gè)或1個(gè)平面與a、b都平行．證明如下：(1)當(dāng)點(diǎn)P所在位置使得a、P(或b、P)本身確定的平面平行于b(或a)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作不出與a、b都平行的平面．

(2)當(dāng)點(diǎn)P所在位置使得a、P(或b、P)本身確定的平面與b(或a)不平行時(shí)，可過(guò)點(diǎn)P作a′∥a，b′∥b.因?yàn)閍、b是異面直線，所以a′、b′不重合且相交于P.因?yàn)閍′∩b′＝P，a′、b′可以確定平面α，所以可作1個(gè)平面與a、b都平行．綜上所述，可作0個(gè)或1個(gè)平面與a、b都平行．錯(cuò)因剖析：沒(méi)有考慮點(diǎn)P的不同位置．13

4－1.設(shè)異面直線a與b所成角為50°，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直線l有且僅有幾條？

解：過(guò)點(diǎn)O作a1∥a，b1∥b，則相交直線a1、b1

確定一平面α.a1

與b1

夾角為50°或130°，設(shè)直線OA與a1、b1

均為θ角，作AB⊥平面α于點(diǎn)B，BC⊥a1

于點(diǎn)C，BD⊥b1

于點(diǎn)D，記∠AOB＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)，則有cosθ＝cosθ1·cosθ2，因?yàn)?°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.14當(dāng)θ2＝25°時(shí)，由θ≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°.當(dāng)θ2＝65°時(shí)，由θ≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故當(dāng)θ<25°時(shí)，直線l不存在；