揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

第四章

近獨(dú)立粒子的最概然分布§4-1粒子微觀狀態(tài)的描述§4-2系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述§4-3等概率原理§4-4分布和微觀狀態(tài)§4-5統(tǒng)計(jì)物理的基本原理1在經(jīng)典物理中，單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)遵守牛頓力學(xué)規(guī)律，若已知某個(gè)粒子在初始時(shí)刻的位置和速度后，求解牛頓方程可預(yù)言該粒子在任何時(shí)間的位置。宏觀體系是由大量原子和分子組成的。例如，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氣體，每立方厘米有個(gè)分子。物體的宏觀性質(zhì)（壓強(qiáng)、比熱、相變等）是大量分子運(yùn)動(dòng)的平均結(jié)果。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性2如果想根據(jù)牛頓力學(xué)來(lái)確定氣體的宏觀性質(zhì)，就要求解

個(gè)相互碰撞的分子的牛頓方程。顯然，這在實(shí)際上是不能辦到的，而且也沒(méi)有必要，因?yàn)榇罅苛Ｗ咏M成的體系出現(xiàn)了新的規(guī)律性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。根據(jù)這種新的規(guī)律性，就能確定宏觀物體的性質(zhì)。3500個(gè)粒子的速率分布42000個(gè)粒子的速率分布5可以想象，當(dāng)很大很大時(shí)，像在氣體中那樣，，速率分布將趨向此穩(wěn)定曲線，起伏非常小，稱為Maxwell分布。

速率分布的時(shí)間平均值6有了統(tǒng)計(jì)分布，就可以通過(guò)計(jì)算平均值來(lái)求得各種宏觀物理量，不用知道各個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)了。前面的演示只是從計(jì)算機(jī)模擬看到的現(xiàn)象，我們自然會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題：此現(xiàn)象背后的物理原理是什么？如何從基本原理推導(dǎo)出Maxwell分布？這是統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)，也是本門課程所要講解的中心內(nèi)容。7統(tǒng)計(jì)物理學(xué)宏觀物質(zhì)系統(tǒng)由大量微觀粒子組成物質(zhì)的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表現(xiàn)宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值粒子運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典描述遵從量子力學(xué)量子描述8§4-1粒子微觀狀態(tài)的描述

（Descriptionofmicroscopicstates）

一、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述r個(gè)廣義坐標(biāo)：r個(gè)廣義動(dòng)量:

2r維空間空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)空間一個(gè)點(diǎn)表示粒子自由度r91自由粒子坐標(biāo)與共軛動(dòng)量為102.線性諧振子彈性力

振動(dòng)頻率振動(dòng)能量?jī)蓚€(gè)半軸分別為橢圓的面積

能量不同，橢圓也就不同畫(huà)出能量不同的兩個(gè)橢圓113.轉(zhuǎn)子描述質(zhì)點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)動(dòng)r=c共軛的動(dòng)量121．自由粒子（Freeparticles）2．線性諧振子（Linearharmonicoscillators）

4．經(jīng)典極限（Classicallimit）

3．電子的自旋（Spinsofelectrons）

5．經(jīng)典粒子微觀狀態(tài)與μ空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系（Correspondingrelationbetweenmicroscopicstatesofclassicalparticlesandvolumeelementsinμspace）二、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述13

19、20世紀(jì)交替時(shí)，牛頓力學(xué)在解釋黑體輻射與固體低溫比熱時(shí)，遇到不可跨越的困難，需建立新的力學(xué)框架——量子力學(xué)，其基本原理如下：Dualityofwave—particleforamicro-particle1924年提出了deBroglieRelation；Uncertaintyrelation：動(dòng)量與坐標(biāo)不可同時(shí)確定，為planck常數(shù)。在量子力學(xué)中粒子的微觀狀態(tài)——量子態(tài)：由一組量子數(shù)描述，量子數(shù)之?dāng)?shù)目等于粒子的自由度數(shù)141．線性諧振子：雙原子分子的相對(duì)振動(dòng)，晶格振動(dòng)

一維：

由一個(gè)量子數(shù)n

描述狀態(tài)，能量可能值

能級(jí)間距：

特點(diǎn)：

等間距，無(wú)簡(jiǎn)并。

152．電子的自旋：通過(guò)Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

Hatsstate

Realorbitpoints

Expectedorbit

NSZ如圖z

向磁場(chǎng)，s態(tài)H的軌道分為二條。

說(shuō)明：H有Internal磁矩（Spin），

161925年Uhlenbeck解釋：其自旋角動(dòng)量在或任意方向投影為，且，自旋量子數(shù)。

自旋磁矩

能級(jí)

即：電子自旋為一個(gè)自由度，無(wú)磁場(chǎng)時(shí)為二度簡(jiǎn)并，量子數(shù)為，為量子效應(yīng)。

173．自由粒子：理想氣體分子，金屬中的電子

一維：由周期性邊界條件

有，，故一個(gè)態(tài)在平面占據(jù)的面積為h,能量的可能值稱為Energylevel。

18特點(diǎn)：

能級(jí)分立

能級(jí)間距

若一個(gè)能級(jí)的狀態(tài)不止一個(gè)時(shí)，稱為Degeneracy，狀態(tài)數(shù)為簡(jiǎn)并度，上述能級(jí)為二度簡(jiǎn)并。

19三維：

動(dòng)量能級(jí)

狀態(tài)由三個(gè)量子數(shù)描述，能級(jí)簡(jiǎn)并較復(fù)雜，如：能級(jí)，簡(jiǎn)并度為6。

20粒子在宏觀大小的容器內(nèi)運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)連續(xù)的動(dòng)量和能量值內(nèi)量子態(tài)數(shù)？量子態(tài)數(shù)三．粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述

21粒子自由度為r由不確定原理：相格大小為空間體積元中微觀狀態(tài)數(shù)為：

描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一個(gè)狀態(tài)空間的一個(gè)體積，or一個(gè)相格自由度為1相格大小為h空間的體積與相格大小hr的比微觀狀態(tài)數(shù)22一個(gè)三維自由粒子在動(dòng)量間隔，坐標(biāo)間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

在體積V中，內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為

:23在V內(nèi)

范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為:

稱為態(tài)密度，對(duì)于自由電子，考慮自旋，狀態(tài)數(shù)需對(duì)上面各式乘2。

24粒子能態(tài)密度⒈的定義叫粒子能態(tài)密度，它表示粒子能量在附近單位能量間隔范圍的量子態(tài)數(shù)。設(shè)粒子能量在到的量子態(tài)數(shù)為，則25例求一個(gè)二維自由粒子在動(dòng)量間隔面積A內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)。在面積A中，內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為

:解26范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為:

稱為態(tài)密度，對(duì)于自由電子，考慮自旋，狀態(tài)數(shù)需對(duì)上面各式乘2。

在A內(nèi)27⒉常見(jiàn)的幾種粒子的能態(tài)密度長(zhǎng)度為L(zhǎng)直線上運(yùn)動(dòng)粒子面積為L(zhǎng)2中的平面運(yùn)動(dòng)粒子（⒍3題）①能量為的自由粒子的態(tài)密度體積為V中的運(yùn)動(dòng)粒子（⒍1題）28

作業(yè)P246—247⒍1⒍3⒍4②能量為的自由粒子29問(wèn)題討論：

1．量子力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描寫的特點(diǎn)？2．邊界條件的選定對(duì)粒子物理的影響？3．什么是“半經(jīng)典”近似？

30§4.2系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述

（DescriptionofMicroscopicStatesofSystems）

1．全同粒子組成的系統(tǒng)。

Systemsconsistingofidenticalparticles2．量子情形。

QuantumCase

3．經(jīng)典情形。

Classicalcase311．全同粒子組成的系統(tǒng)

統(tǒng)計(jì)物理的目的：由微觀量求宏觀量，而宏觀量與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)有關(guān)。全同粒子組成的系統(tǒng)遵從全同性原理，即粒子不可分辨。

討論近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，即強(qiáng)調(diào)相互作用弱到經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間后系統(tǒng)處于平衡態(tài)。全同粒子：相同質(zhì)量、自旋、電荷等322．量子情形：

玻色子（Boson）情形（系統(tǒng)）：自旋量子數(shù)為整數(shù)，如光子（量子數(shù)為1），遵從全同性原理，交換任何兩粒子的微觀狀態(tài)不變，任一量子態(tài)填充的粒子數(shù)無(wú)限制。

33費(fèi)米子（Fermion）自旋為半整數(shù)，如電子，遵從全同性原理和泡利不相容原理；任一量子態(tài)最多只能被一個(gè)粒子占據(jù)。

定域子系統(tǒng)（Localizedparticle）為Boltzmann系統(tǒng)，粒子可分辨，即經(jīng)典情形。

34例1：一個(gè)二粒子系統(tǒng)，單粒子態(tài)有三個(gè)，0，

和就粒子屬于如下的幾種分別，寫出可能的填充狀態(tài)①服從經(jīng)典分布,粒子可分辨;②服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì);③服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì).35①服從經(jīng)典分布,粒子可分辨定域子系統(tǒng)Boltzmann

Distri.粒子ab系統(tǒng)狀態(tài)9個(gè)36②服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)FermiDistribution3個(gè)37③服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)BoseDistribution6個(gè)383．經(jīng)典情形：粒子運(yùn)動(dòng)為軌道性的，可分辨

N粒子系統(tǒng)

,每粒子自由度為

r

r個(gè),r個(gè)

N

r個(gè),Nr個(gè)

空間一個(gè)代表點(diǎn)

空間N個(gè)點(diǎn)

連續(xù)變量，粒子和系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不可數(shù)的將和

分為大小相等地小間隔39空間的粗粒近似相格足夠小，同一相格內(nèi)的不同相點(diǎn)所代表的狀態(tài)可近似認(rèn)為相同。同一相格中各相點(diǎn)對(duì)應(yīng)的粒子能量近似相同?？臻g一個(gè)相格40經(jīng)典的全同粒子可通過(guò)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的跟蹤加以區(qū)分。系統(tǒng)微觀狀態(tài)由所有粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。任意交換一對(duì)粒子的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)得到新的系統(tǒng)微觀狀態(tài)。確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)必須指出各粒子占據(jù)的相格。足夠小，由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)所在相格確定粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)41表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在內(nèi)的粒子所具有的能量體積元簡(jiǎn)并度粒子數(shù)空間劃分為許多體積元粒子微觀狀態(tài)數(shù)由大小為的相格確定，的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)與量子統(tǒng)計(jì)中的簡(jiǎn)并度相當(dāng)！N個(gè)粒子處在各表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在的分布可以描述為能量42應(yīng)當(dāng)認(rèn)為系統(tǒng)的能量是在§4.3等幾率原理在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，我們研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如果我們研究的是一個(gè)孤立系，給定的宏觀條件是系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。由于自然界中實(shí)際上不存在與外界完全沒(méi)有任何相互作用的嚴(yán)格的孤立系統(tǒng)，給定了這宏觀條體,系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的。43玻耳茲曼(Boltzmann)在十九世紀(jì)70’s提出了著名的等幾率原理對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率是相等的。等幾率原理等幾率原理在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中是一個(gè)基本假設(shè)。它的正確性是由它的種種推論都與客現(xiàn)實(shí)際相符而得到肯定的。等幾率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。44§4-4分布和微觀狀態(tài)

（Distribution&MicroscopicStates)

1.BoseSystems

2.FermiSystems

3.BoltzmannSystems

4.Classicallimit45孤立系（IsolatedSystems）：

與外界既無(wú)能量又無(wú)粒子交換的系統(tǒng)

考慮近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)粒子能級(jí)為，簡(jiǎn)并度為；

粒子數(shù)為

，稱為分布

設(shè)給定的宏觀條件為:46討論對(duì)于給定的分布時(shí)，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)

:1．玻色系統(tǒng)：□○○□○○○□○□……

粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)容納的粒子數(shù)沒(méi)有限制個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)的可能性共有如下排列因?yàn)榱Ｗ硬豢煞直?，還應(yīng)除去量子態(tài)之間的相互交換數(shù)用□表示狀態(tài)，○表示粒子

47占據(jù)方式數(shù)為

系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為

個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)的482．費(fèi)米系統(tǒng)：

對(duì)能級(jí)

個(gè)態(tài)，要求

每個(gè)態(tài)上只能有一個(gè)粒子個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)的個(gè)量子態(tài)中選出從個(gè)來(lái)占據(jù)粒子，有49可能的占據(jù)方式數(shù)為

微觀狀態(tài)數(shù)

50定域子可以分辨，對(duì)其編號(hào)個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)第一個(gè)粒子可以占據(jù)個(gè)量子態(tài)中的任一態(tài)種第n個(gè)粒子可以占據(jù)個(gè)量子態(tài)中的任一態(tài)種共有種可能3．Boltzmann系統(tǒng)

51占據(jù)方式數(shù)微觀狀態(tài)數(shù)

編號(hào)的粒子分別占據(jù)能級(jí)上的各量子態(tài)N個(gè)粒子交換應(yīng)除去在同一能級(jí)上個(gè)粒子的交換數(shù)52

當(dāng)，Pauli不相容和能級(jí)簡(jiǎn)并對(duì)占據(jù)影響不大，此時(shí)稱為非簡(jiǎn)并性條件。

53例：由兩個(gè)全同粒子組成的體系,粒子可以占據(jù)能級(jí)中的任何一個(gè),最低能態(tài)是雙重簡(jiǎn)并的,體系處在溫度為的熱平衡狀態(tài).就下列每種情況,確定體系的狀態(tài)數(shù)和能量.①粒子服從費(fèi)米分布;②粒子服從玻色分布;③粒子是可分辨的服從玻耳茲曼統(tǒng)計(jì).54粒子ab554．經(jīng)典極限

用描寫狀態(tài)，將空間分為一系列相格

能量體積元簡(jiǎn)并度粒子數(shù)56§4-5統(tǒng)計(jì)物理的基本原理

BasicPrinciplesofStatisticalPhysics

1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（Statisticallaw）

2.統(tǒng)計(jì)系綜（Statisticalensemble）

571.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（Statisticallaw）

經(jīng)典力學(xué)規(guī)律是確定論，量子力學(xué)為非確定論，但兩者均為力學(xué)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)物理研究熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律，對(duì)于給定的宏觀條件下，不能確定微觀態(tài)究竟為何，但可假定系統(tǒng)處于某一態(tài)的幾率，根據(jù)該幾率可對(duì)力學(xué)量求統(tǒng)計(jì)平均而得宏觀性質(zhì)。

統(tǒng)計(jì)規(guī)律為：宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均。582.統(tǒng)計(jì)系綜（Statisticalensemble）

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行大量次觀測(cè)和對(duì)大量個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行一次觀測(cè)是等價(jià)的。統(tǒng)計(jì)定義：

大量性質(zhì)相同的力學(xué)系統(tǒng)，每一系統(tǒng)處于獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其集合稱為統(tǒng)計(jì)系綜。59宏觀量的觀測(cè)值等于統(tǒng)計(jì)平均值

宏觀量的觀測(cè)值等于統(tǒng)計(jì)平均值——基本假設(shè)之二

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的主要任務(wù)是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)明物質(zhì)的宏觀性質(zhì)。由于對(duì)任何宏觀量的觀測(cè)總是要在一段時(shí)間Δt中進(jìn)行的。因此，觀測(cè)到的宏觀物理量A觀測(cè)，實(shí)際上是在Δt內(nèi)就系統(tǒng)經(jīng)歷的一切微觀態(tài)所對(duì)應(yīng)的微觀量A(t)取平均值，稱為時(shí)間平均值。其表達(dá)式為

60實(shí)際上，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所要解釋的宏觀性質(zhì)是在一定的宏觀條件下大量觀測(cè)數(shù)值的平均結(jié)果。因此統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所求的平均值將不