2022-2023學(xué)年江蘇省前黃、溧陽(yáng)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)、溧陽(yáng)中學(xué)高二上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角大?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】直線，即，，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以.故選：D.3．若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則它到軸的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，由M到焦點(diǎn)的距離為12，可知M到準(zhǔn)線的距離也為12，故到M到軸的距離是8.故選：B．4．過(guò)點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知點(diǎn)在圓外，要使截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線l必過(guò)圓心，由兩點(diǎn)式即可求直線l方程.【詳解】解：由題意可知，所以P是圓C外部一點(diǎn)，可得截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的直線l是由P、C兩點(diǎn)確定的直線圓C:x2+y2?2x+4y=0的圓心為C(1,?2)，當(dāng)l過(guò)P的圓心C時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以方程為：，化簡(jiǎn)得3x?y?5=0，故選：A.5．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出雙曲線焦點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo).后可得橢圓方程.【詳解】由題，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.頂點(diǎn)坐標(biāo)為：.設(shè)橢圓方程為：，.由題有：.故橢圓方程為：.故選：D6．在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A． B．C． D．【答案】C【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類(lèi)問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．7．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C．2 D．2021【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,結(jié)合函數(shù)的解析式可得=,進(jìn)而分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，若，則，則有，同理：，則（1）（1），則，故；故選：D．8．如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.二、多選題9．已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．直線AB與直線互相垂直 B．直線AB的方程為C． D．線段AB的中垂線方程為【答案】ABD【分析】利用圓的幾何特征，易證直線AB的中垂線即直線，根據(jù)過(guò)兩個(gè)圓的公共點(diǎn)的圓系方程可求得公共弦AB所在直線方程，進(jìn)而求出弦長(zhǎng).【詳解】因?yàn)锳，B是兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，所以，在線段AB的中垂線上，同理，也在線段AB的中垂線上，故A正確；所以直線即直線AB的中垂線，，，則直線的方程為，即，D正確；圓和圓的公共弦所在直線方程為，即，B正確；點(diǎn)到直線AB的距離為，則，C錯(cuò)誤.故選：ABD.10．已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)P，使，則稱該直線為“B型直線”．下列直線中為“B型直線”的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先求得滿足的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為判斷直線與雙曲線右支有交點(diǎn)，即可求解.【詳解】，所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，此時(shí)，，，，所以雙曲線方程是，，“B型直線”是指直線與雙曲線，有交點(diǎn)，A.，，，且，所以存在正根，即直線與雙曲線右支有交點(diǎn)，所以是“型直線”，故A正確；B.是雙曲線的漸近線，所以直線不會(huì)和雙曲線有交點(diǎn)，所以不是“型直線”，故B正確；C.和雙曲線，有交點(diǎn)，所以是“型直線”，故C正確；D.聯(lián)立，代入解得，那么是“型直線”，故D正確.故選：ACD11．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．取得最大值時(shí)，【答案】AB【分析】對(duì)于ABC，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求解；對(duì)于D，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及各項(xiàng)正負(fù)判斷.【詳解】由，得即，又，所以，選項(xiàng)A正確；由；，得，選項(xiàng)B正確；由，得，又，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，令，得，解得，又，所以，即數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以取得最大值時(shí)，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．12．設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有，則稱是“間隔遞增數(shù)列”，k是的“間隔數(shù)”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是“間隔遞增數(shù)列”B．若，則是“間隔遞增數(shù)列”C．若，則是“間隔遞增數(shù)列”且“間隔數(shù)”的最小值為rD．已知，若是“間隔遞增數(shù)列”且“間隔數(shù)”的最小值為3，則【答案】BCD【解析】利用新定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證是否存在正整數(shù)，使得，即可判斷正誤.【詳解】選項(xiàng)A中，設(shè)等比數(shù)列的公比是，則，其中，即，若，則，即，不符合定義，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，則存在時(shí)，成立，即對(duì)任意，均有，符合定義；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，則存在時(shí)，成立，即對(duì)任意，均有，符合定義.綜上，存在時(shí)，對(duì)任意，均有，符合定義，故B正確；選項(xiàng)C中，，令，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，故在時(shí)單調(diào)遞增，令最小值，得，又，，，故存在時(shí)，成立，即對(duì)任意，均有，符合定義，“間隔數(shù)”的最小值為r，故C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，是“間隔遞增數(shù)列”，則，即，對(duì)任意成立，設(shè)，顯然在上遞增，故要使，只需成立，即.又“間隔數(shù)”的最小值為3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，故，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于讀懂題中“間隔遞增數(shù)列”的定義，判斷是否存在正整數(shù)，使對(duì)于任意的恒成立，逐項(xiàng)突破難點(diǎn)即可.三、填空題13．設(shè)為實(shí)數(shù)，若兩條平行直線和之間的距離為2，則______.【答案】或【分析】根據(jù)平行線間距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線和之間的距離等于2，所以有或，故答案為：或．14．等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，，則______．【答案】90【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案為：9015．把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列，若，則________.【答案】1033【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖乙中第行有個(gè)數(shù)，且第行最后一個(gè)數(shù)為，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可知圖乙中第行有個(gè)數(shù)，且第行最后一個(gè)數(shù)為.由，，知出現(xiàn)在第45行倒數(shù)第3位，因此.故答案為：1033.16．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).，依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為_(kāi)___.【答案】【分析】首先設(shè)，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將等差數(shù)列的四個(gè)量分別用表示，再分別在和中分別用余弦定理表示，再求離心率.【詳解】如圖，設(shè)，，則,根據(jù)，成等差數(shù)列，所以，即，所以，，，，根據(jù)橢圓定義可知，，得，中，，中，，得，橢圓的離心率.故答案為：四、解答題17．已知直線和的交點(diǎn)為P．(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求△OAB的面積．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】(1)4x－3y－3＝0(2)30【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）由點(diǎn)斜式方程，設(shè)出直線方程，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）由，求得，可得直線和的交點(diǎn)為P（－3，－5）．由于直線的斜率為，故過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的直線l的方程為，即4x－3y－3＝0．（2）由題知：設(shè)直線m的斜率為kk≠0，則直線m的方程為，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面積為．18．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（1）an＝．（2）Sn＝．【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)得到a3a5＝4，a3+a5＝5，從而a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的兩個(gè)根，且a3＞a5，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）推導(dǎo)出bn＝log2an5﹣n，由此能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【詳解】解：（1）∵在等比數(shù)列{an}中，，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2，∴(a3+a5)2＝25，，∴a3a5＝4，a3+a5＝5，即a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的兩個(gè)根，且a3＞a5，解方程x2﹣5x+4＝0，得a3＝4，a5＝1，,,,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝16×＝．（2）∵bn＝log2an5﹣n，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和：Sn＝5n﹣（1+2+3+…+n）＝5n．19．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是的前項(xiàng)和，已知對(duì)于都成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)或【分析】（1）結(jié)合化簡(jiǎn)已知條件，求得，結(jié)合證得數(shù)列為等差數(shù)列，然后求得，進(jìn)而求得.（2）先求得，然后求得的最大值，進(jìn)而通過(guò)解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也符合，所以.（2），時(shí)，，，，，，∴或5時(shí)，，∴或.20．已知點(diǎn)，圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．【答案】（1）；（2）的方程為，的面積為.【分析】（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得的軌跡方程；（2）設(shè)的軌跡的圓心為，由得到．求出所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)間的關(guān)系求出的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式得答案．【詳解】解：（1）由圓，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．設(shè)，則，．由題意可得，即．整理得．的軌跡方程是．（2）由（1）知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而．，直線的斜率為．直線的方程為，即．則到直線的距離為．又到的距離為，．．21．已知拋物線的焦點(diǎn)為．點(diǎn)在上，．（1）求;（2）過(guò)作兩條互相垂直的直線，與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值?若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)；（2）是定值，.【分析】（1）由題知①，由焦半徑公式得②，兩式聯(lián)立即可求得答案；（2）先討論當(dāng)直線與軸平行時(shí)得，再討論當(dāng)直線與軸不平行且斜率存在時(shí)，證明，再設(shè)方程，聯(lián)立方程，利用向量方法求即可.【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，因?yàn)椋杂山拱霃焦降芒?，由①②解得所?（2）由（1）知拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，此時(shí)的方程為，的方程為，，此時(shí)為等腰直角三角形且，故.當(dāng)直線與軸不平行且斜率存在時(shí)，若為定值，則定值比為，下面證明.要證明，只需證明，只需證，即，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，所以，，聯(lián)立方程得，所以，所以，所以，即，所以.綜上，為定值，.22．如圖，已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且，連接，且交于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；(2)若的面積為，試求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用給定條件列出方程組，求解方程組即可作答.（2）延長(zhǎng)交橢圓C于D，可