《橢圓》同步練習(xí) 全省一等獎(jiǎng)

《橢圓》同步練習(xí)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于（）A．4 B．5 2如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD3．如果橢圓上一點(diǎn)M到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,N是的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON的長(zhǎng)為（）A2B4C8D4．已知橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，若點(diǎn)A，B是它的焦點(diǎn)，當(dāng)靜放在點(diǎn)A的小球（不計(jì)大小），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后再回到點(diǎn)A．4a B．2(a－c) C．2(a＋c) 5．橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)直角三角形，則點(diǎn)到軸的距離是（）ABCD或6．如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：①②③④其中正確式子的序號(hào)是A．①③B．②③C．①④D．②④7．（理）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）理7題圖A．圓B．橢圓理7題圖C．一條直線D．兩條平行直線（文）用一個(gè)與圓柱母線成角的平面截圓柱，截口是一個(gè)橢圓，則此橢圓的離心率是（）A．B．C．D．8．（理）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．（文）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．9．已知直線L交橢圓于M、N兩點(diǎn)，橢圓于y軸的正半軸交于點(diǎn)B，若的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線L的方程是（）A．B．C．D．10．設(shè)橢圓和軸正方向交點(diǎn)為A，和軸正方向的交點(diǎn)為B，Ｐ為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn)，使四邊形OAPB面積最大（Ｏ為原點(diǎn)），那么四邊形OAPB面積最大值為（）A．B．C．D．11．如圖,函數(shù)的圖象是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上11題圖的橢圓的兩段弧,則不等式的解集為（11題圖A．B．C．D．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）12橢圓的離心率為，則的值為______________13．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則=___________。14．橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠為鈍角時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是15題圖15．某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測(cè)得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為15題圖三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（本題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。（Ⅰ）寫出的方程;（Ⅱ）若，求的值。17（本題滿分12分）為何值時(shí)，直線和橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？18．（本題滿分12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)到右準(zhǔn)線為的距離為（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，證明：當(dāng)取最小值時(shí)，19．（本題滿分12分）如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，都有，求a的取值范圍.20．（本小題滿分12分）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．21．（本小題滿分14分）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．D解：由橢圓的第一定義知，故選D。OMN2．D解：焦點(diǎn)在軸上，則，故選DOMN3．C解：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，連接（如圖）∵N是的中點(diǎn)，O是，OAMBN∴OAMBN4．D解：當(dāng)球從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)橢圓壁點(diǎn)反彈后再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是；當(dāng)球從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)橢圓壁點(diǎn)反彈后再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是；當(dāng)球從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)橢圓壁上點(diǎn)M反彈后穿過點(diǎn)B到N點(diǎn)再反彈回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是。故選D。5．D解：當(dāng)或時(shí)點(diǎn)到軸的距離是，當(dāng)時(shí)點(diǎn)到軸的距離是，故選D。6．Ｂ解：由焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故選Ｂ．7．（理）B解：本小題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一個(gè)圓柱表面的問題?？紤]到三角形面積為定值，底邊一定，從而P到直線AB的距離為定值，若忽略平面的限制，則P軌跡類似為一以AB為軸心的圓柱面，加上后者平面的交集，軌跡為橢圓！還可以采取排除法，直線是不可能的，在無窮遠(yuǎn)處，點(diǎn)到直線的距離為無窮大，故面積也為無窮大，從而排除C與D,又題目在斜線段下標(biāo)注重點(diǎn)符號(hào)，從而改成垂直來處理，軌跡則為圓，故剩下橢圓為答案！故選B。（文）B解：設(shè)圓柱底面半徑為R，則，，∴，∴，故選B。8．（理）B解：由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則OP又，OP所以，故選B。（文）D解：設(shè)橢圓方程為，把代入橢圓方程得：，∴，又，∴，∴，解得，故選D。9．D解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)B坐標(biāo)為，橢圓右焦點(diǎn)為，∵的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，∴，∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)、在橢圓上，∴，，兩式相減得：ABOPABOP∴直線MN的方程為，即，故選D。10．B解：的面積為，四邊形OAPB的面積大于的面積而小于的面積的2倍，故選B。11．A解：由圖知為奇函數(shù)，∴，故選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）12．解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，13．8解：依題直線過橢圓的左焦點(diǎn),在中，，又，∴14．可以證明且而，則即15．解：。三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．解:（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡(jiǎn)得，所以．17．解：由，得，即當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線沒有公共點(diǎn)18．解：因?yàn)?，到的距離，所以由題設(shè)得解得由，得（Ⅱ）由得，的方程為故可設(shè)由知知得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)所以，19．解：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)椤鱉NF為正三角形，所以,，因此，橢圓方程為(Ⅱ)設(shè)(ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，(ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：整理得所以因?yàn)楹阌校訟OB恒為鈍角.即恒成立.又，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，最小值為0，所以，,，即,解得或(舍去)，即,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.20．解（Ⅰ）：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．如圖，設(shè)，其中，DFByxADFByxAOE故．①由知，得；由在上知，得．所以，化簡(jiǎn)得，解得或．（Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，．又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．解法二：由題設(shè)，，．設(shè)，，由①得，，故四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．21．解：（Ⅰ）由題意：，解得，所求橢圓方程為（Ⅱ）方法一：設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是，，