《導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》模擬試題庫(kù)

《導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》試題庫(kù)第1組一、選擇題1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)為()A．Δx＋eq\f(1,Δx)＋2 B．Δx－eq\f(1,Δx)－2C．Δx＋2 D．Δx－eq\f(1,Δx)＋2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－2＝(Δx)2＋2·(Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝Δx＋2，選C.答案：C2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于()A．2 B．0C．－2 D．－4解析：∵f′(x)＝2f′(1)＋2x∴f′(1)＝2f∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.故選D.答案：D3．(2022合肥模擬)函數(shù)y＝x2cosx在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是()A．0 B．2cos1－sin1C．cos1－sin1 D．1解析：∵y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2cos1－sin1，故選B.答案：B4．(2022安慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋g(x)．若曲線y＝g(x)在點(diǎn)P(0，g(0))處的切線方程是y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)Q(0，f(0))處的切線方程是()A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋3C．y＝x＋2 D．y＝3x＋2解析：由題意得g′(0)＝2，g(0)＝1，而f′(x)＝ex＋g′(x)，∴f′(0)＝e0＋2＝3，f(0)＝e0＋1＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)．∴切線方程為y－2＝3(x－0)，即y＝3x＋2.選D.答案：D5．(2022濰坊模擬)若曲線f(x)＝x·sinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：f′(x)＝sinx＋xcosx，依題意，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，且－eq\f(a,2)×1＝－1，解得a＝2，故選D.答案：D6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)＝1，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a、b滿足f(2a＋b)<1，則eq\f(b＋1,a＋1)的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(5，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，5)) D．(－∞，3)解析：觀察圖象，可知f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)，由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b<4，,a>0，,b>0，))畫出以(a，b)為坐標(biāo)的可行域(如圖陰影部分所示)，而eq\f(b＋1,a＋1)可看成(a，b)與點(diǎn)P(－1，－1)連線的斜率，可求得選項(xiàng)C為所求．故選C.答案：C二、填空題7．設(shè)直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為________．解析：由已知條件可得直線的斜率k＝eq\f(1,2)，y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，ln2)．由點(diǎn)(2，ln2)在切線y＝eq\f(1,2)x＋b上可得b＝ln2－eq\f(1,2)×2＝ln2－1.答案：ln2－18.(2022蕪湖市期末評(píng)價(jià))如圖所示，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(3，f(3))處的切線方程為y＝－x＋5，則f(3)－f′(3)＝________.解析：f(3)＝2，f′(3)＝－1，所以f(3)－f′(3)＝3.答案：39．(2022黃山模擬)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對(duì)于定義域內(nèi)任意x1、x2(x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))恒成立，則稱f(x)為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝2x＋3；②f(x)＝x2－2x＋3；③f(x)＝eq\f(1,x)；④f(x)＝ex；⑤f(x)＝lnx．其中為恒均變函數(shù)的序號(hào)是________．(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào))解析：函數(shù)①是一次函數(shù)顯然是恒均變函數(shù)；對(duì)函數(shù)②f′(x)＝2x－2，所以有f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝2×eq\f(x1＋x2,2)－2＝x1＋x2－2，又eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－2x1－x\o\al(2,2)＋2x2,x1－x2)＝x1＋x2－2，因此函數(shù)②是恒均變函數(shù)；對(duì)于函數(shù)③④⑤可以驗(yàn)證當(dāng)x1＝1，x2＝3時(shí)等式均不成立．答案：①②10．已知直線l與曲線f(x)＝x2＋3x－2＋lnx相切，則直線l的斜率的最小值為_______．解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線上任意一點(diǎn)P(x，y)處的切線l的斜率為f′(x)＝2x＋3＋eq\f(1,x).因?yàn)閤>0，所以2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x×\f(1,x))＝2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào))，所以f′(x)＝2x＋3＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)＋3，即直線l的斜率的最小值為2eq\r(2)＋3.答案：2eq\r(2)＋3三、解答題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(eq\r(x)－2)2；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.解：(1)法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1－2x－eq\f(1,2).(3)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1－eq\f(1,2)cosx.(4)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.∵f′(x)＝xcosx，∴必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d－cx＝0，,ax＋b＋c＝x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＝0，,－c＝0，,a＝1，,b＋c＝0))?a＝d＝1，b＝c＝0.12．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在x＝eq\f(1,4)處的切線為l，直線g(x)＝kx＋eq\f(9,4)與l平行，求f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)的最短距離．解：因?yàn)閒(x)＝eq\r(x)，所以f′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).所以切線l的斜率為k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，切點(diǎn)為Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).所以切線l的方程為x－y＋eq\f(1,4)＝0.因?yàn)榍芯€l與直線g(x)＝kx＋eq\f(9,4)平行，所以k＝1，即g(x)＝x＋eq\f(9,4).f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)＝x＋eq\f(9,4)的最短距離為切線l：x－y＋eq\f(1,4)＝0與直線x－y＋eq\f(9,4)＝0之間的距離，所以所求最短距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)－\f(1,4))),\r(2))＝eq\r(2).第2組一、選擇題1．(2022四川廣元二診)如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，則容器中水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖象可能是()解析：由三視圖知容器為錐形漏斗，在向容器中勻速注水過程中，水升高得越來越慢，高度h隨時(shí)間t的變化率越來越小，表現(xiàn)在切線上就是切線的斜率在減小，故選B.答案：B2．(2022廣東惠州模擬)設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，eq\f(π,4)]，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A．[－1，－eq\f(1,2)] B．[－1,0]C．[0,1] D.[eq\f(1,2)，1]解析：設(shè)P(x0，y0)，P點(diǎn)處切線傾斜角為α，則0≤tanα≤1，由f(x)＝x2＋2x＋3，得f′(x)＝2x＋2，令0≤2x0＋2≤1，得－1≤x0≤－eq\f(1,2).故選A.答案：A3．(2022東北三省三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋1，g(x)＝alnx，若在x＝eq\f(1,4)處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()\f(1,4) \f(1,2)C．1 D．4解析：在x＝eq\f(1,4)處兩函數(shù)圖象的切線平行，即兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值相等．由f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)，所以eq\f(1,2\r(\f(1,4)))＝eq\f(a,\f(1,4))，即1＝4a得a＝eq\f(1,4).答案：A4．函數(shù)f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的導(dǎo)數(shù)是()A．f′(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．f′(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．f′(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))D．f′(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))解析：由于f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))，∴f′(x)＝4×eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))，故選D.答案：D5．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：∵點(diǎn)(0，－1)不在f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又f′(x)＝1＋lnx，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝1＋lnx0x0，))解得x0＝1，y0＝0.∴切點(diǎn)為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.故選B.答案：B6．(2022河北保定一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝|sinx|的圖象與直線y＝kx(k>0)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為α，則α等于()A．－cosα B．tanαC．sinα D．π解析：如圖，若直線與函數(shù)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線y＝kx與曲線y＝－sinx(x∈[π，2π])相切，設(shè)切點(diǎn)為(α，－sinα)，則－sinα＝kα且k＝－cosα，所以α＝tanα.故選B.答案：B二、填空題7．(2022江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則eq\f(1＋sin2x,cos2x－sin2x)＝________.解析：f′(x)＝cosx－sinx，由f′(x)＝2f(x)得－cosx＝3sinx即tanx＝－eq\f(1,3).eq\f(1＋sin2x,cos2x－sin2x)＝eq\f(2sin2x＋cos2x,cos2x－2sinxcosx)＝eq\f(2tan2x＋1,1－2tanx)＝eq\f(\f(2,9)＋1,1＋\f(2,3))＝eq\f(11,15).答案：eq\f(11,15)8．(2022廣東江門調(diào)研)曲線y＝ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y＝2x的距離的最小值是________．解析：如圖，所求最小值即曲線上斜率為2的切線與y＝2x兩平行線間的距離，也即切點(diǎn)到直線y＝2x的距離．由y＝lnx，則y′＝eq\f(1,x)＝2，得x＝eq\f(1,2)，y＝ln(2×eq\f(1,2))＝0，即與直線y＝2x平行的曲線y＝ln(2x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)是(eq\f(1,2)，0)，y＝ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y＝2x的距離的最小值，即eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)9．(2022山師大附中期末)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f(x)在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程為________________．解析：f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1，此時(shí)f(x)＝－2x＋lnx，f(1)＝－2，故所求的切線方程為y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0.答案：x＋y＋1＝010.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)＝1，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a、b滿足f(2a＋b)<1，則eq\f(b＋1,a＋1)的取值范圍是________．解析：觀察圖象，可知f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)，由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b<4，,a>0，,b>0，))畫出以(a，b)為坐標(biāo)的可行域(如圖陰影部分所示)，而eq\f(b＋1,a＋1)可看成(a，b)與點(diǎn)P(－1，－1)連線的斜率，可求得選項(xiàng)C為所求．答案：(eq\f(1,3)，5)三、解答題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因a，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)在曲線上任取一點(diǎn)x0，x0＋eq\f(1,x0－1).由f′(x0)＝1－eq\f(1,x0－12)知，過此點(diǎn)的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,0)－x0＋1,x0－1)＝1－eq\f(1,x0－12)(x－x0)．令x＝1得y＝eq\f(x0＋1,x0－1)，切線與直線x＝1交點(diǎn)為1，eq\f(x0＋1,x0－1).令y＝x得y＝2x0－1，切線與直線y＝x交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)．直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)．從而所圍三角形的面積為eq\f(1,2)eq\f(x0＋1,x0－1)－1|2x0－1－1|＝eq\f(1,2)eq\f(2,x0－1)|2x0－2|＝2.所以，所圍三角形的面積為定值2.12．(2022浙江永嘉縣聯(lián)合體第二學(xué)期聯(lián)考)已知點(diǎn)M是曲線y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角α的取值范圍．解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝－1，y＝eq\f(5,3)，∴斜率最小的切線過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，∴切線方程為x＋y－eq\f(11,3)＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).第3組一、選擇題1.(2022·黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=cosx,則f(π)+f′()=()2.(2022·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2022·長(zhǎng)春模擬)若函數(shù)f(x)=excosx,則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的傾斜角為()(A)0 (B)銳角 (C)直角 (D)鈍角4.(2022·武漢模擬)已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()(A)3(B)2(C)1(D)5.如圖,其中有一個(gè)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(-1)為()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2022·安慶模擬)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于()(A)-1或 (B)-1或(C)-或 (D)-或7二、填空題7.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5)=________.8．(2022·荊門模擬)若曲線f(x)=,g(x)=xα在點(diǎn)P(1，1)處的切線分別為l1,l2,且l1⊥l2,則α的值為____________.9.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.三、解答題10.求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=.11.已知曲線y=,(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程.(2)求曲線的斜率為4的切線方程.12.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖象為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象為C2,已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩條切線互相垂直.(1)求a,b之間的關(guān)系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】選D.因?yàn)閒(x)=cosx,所以f′(x)=cosx-sinx,所以f(π)=,所以f(π)+f′()=.2.【解析】選′=2x,所以在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵>1>,而由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可得cos1<sin1.∴f′(1)<0,即f(x)在(1,f(1))處的切線的斜率k<0,∴切線的傾斜角是鈍角.4.【解析】選A.函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為由得x2-x-6=0,解得x=3或x=-2(舍去).5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上.又∵a≠0,∴其圖象必為(3).由圖象特征知f′(0)=0,且對(duì)稱軸x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(diǎn)(1,0)在切線上求出切點(diǎn)后再求a的值.【解析】選A.設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(diǎn)(x0,x03),所以切線方程為y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,解得a=,同理,當(dāng)x0=時(shí),由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A.【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知過某點(diǎn)M(x1,f(x1))(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時(shí),常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0)),利用k=求解.7.【解析】對(duì)f(x)=3x2+2xf′(2)求導(dǎo),得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:68.【解析】所以在點(diǎn)P處切線的斜率分別為因?yàn)閘1⊥l2,所以k1k2==-1,所以α=-2.答案：-29.【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】由題意該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=2ax+.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x>0時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+存在零點(diǎn)的問題.方法一(圖象法):再將之轉(zhuǎn)化為g(x)=-2ax與h(x)=存在交點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí)不符合題意,當(dāng)a>0時(shí),如圖1,數(shù)形結(jié)合可得沒有交點(diǎn),當(dāng)a<0時(shí),如圖2,此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn),故有a<0,應(yīng)填(-∞,0).方法二(分離變量法):上述也可等價(jià)于方程2ax+=0在(0,+∞)內(nèi)有解,顯然可得a=∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=(x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=,∴y′=.(3)∵y==cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.11.【解析】(1)∵點(diǎn)P(2,4)在曲線y=上,且y′=x2,∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=y′︱x=2=4,∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為k=x02=4,x0=±2,所以切點(diǎn)為(2,4),(-2,-),∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.【解析】(1)方法一:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f′(x0)=3x02+1,∴直線l的方程為y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又∵直線l過點(diǎn)(0,0),∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).方法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點(diǎn)為(x0,y0),則k=.又∵k=f′(x0)=3x02+1,∴=3x02+1,解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).(2)∵切線與直線y=-x+3垂直,∴切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f′(x0)=3x02+1=4,∴x0=±1,∴∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)對(duì)于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,對(duì)于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0,y0),由題意知過交點(diǎn)(x0,y0)的兩條切線互相垂直,∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4x02-2(a+2)x0+2a-1=0.①又點(diǎn)(x0,y0)在C1與C2上,故有∴2x02-(a+2)x0+2-b=0.②由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a.(2)由(1)知:b=-a,∴ab=a(-a)=-(a-)2+,∴當(dāng)a=時(shí),(ab)最大=.第4組一、選擇題1.(2022·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=asinx且f′(π)=2，則a的值為()(A)1 (B)2 (C) (D)-22.(2022·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2022·海口模擬)下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中，存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線的曲線是()(A)f(x)＝ex (B)f(x)＝x3(C)f(x)＝lnx (D)f(x)＝sinx4.(2022·青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為()(A)2 (B)- (C)4 (D)-5.如圖,其中有一個(gè)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(-1)為()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2022·萊蕪模擬)已知點(diǎn)P在曲線上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()(A)(0，) (B)()(C)() (D)［)二、填空題7.如圖，函數(shù)F(x)＝f(x)＋的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝_________.8.設(shè)a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，則點(diǎn)P到曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸的距離的取值范圍為___________.9.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題10.求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y＝e-xsin2x.11.已知曲線y=,(1)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程.(2)求曲線的斜率為4的切線方程.12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值.(2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．答案解析1.【解析】選D.因?yàn)閒′(x)=acosx，所以f′(π)=acosπ=-a=2,所以a=-2，故選D.2.【解析】選′=2x,所以在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2,則存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線，即f′(x1)·f′(x2)＝-1有無(wú)數(shù)對(duì)x1，x2使之成立,對(duì)于A由于f′(x)＝ex＞0，所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；對(duì)于B由于f′(x)＝3x2≥0，所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；對(duì)于C由于f(x)＝lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＝＞0;對(duì)于D,由于f′(x)＝cosx，所以f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2，若x1＝2mπ，m∈Z,x2＝(2k＋1)π，k∈Z，則f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立．4.【解析】選C.因?yàn)榍€y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=g′(1)+2=4.5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上.又∵a≠0,∴其圖象必為(3).由圖象特征知f′(0)=0,且對(duì)稱軸x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【解析】選D.設(shè)t=ex∈(0,+∞),則∵,∴y′∈［-1,0),α∈［).7.【解析】F′(x)＝f′(x)＋x，由題意可知F′(5)＝f′(5)＋2＝－1，∴f′(5)＝－3.又點(diǎn)(5,3)在F(x)的圖象上，∴f(5)＋5＝3，∴f(5)＝－2，∴f(5)＋f′(5)＝－5.答案：－58.【解析】∵y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，∴0≤f′(x0)≤1，即0≤2ax0＋b≤1.又∵a＞0,∴≤x0≤，∴0≤x0＋≤，即點(diǎn)P到曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸的距離的取值范圍為［0，］．答案：［0，］9.【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】由題意該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=2ax+.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x>0時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+存在零點(diǎn)的問題.方法一(圖象法):再將之轉(zhuǎn)化為g(x)=-2ax與h(x)=存在交點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí)不符合題意,當(dāng)a>0時(shí),如圖1,數(shù)形結(jié)合可得沒有交點(diǎn),當(dāng)a<0時(shí),如圖2,此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn),故有a<0,應(yīng)填(-∞,0).方法二(分離變量法):上述也可等價(jià)于方程2ax+=0在(0,+∞)內(nèi)有解,顯然可得a=∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=,∴y′=.(3)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－sin2x)．11.【解析】(1)設(shè)曲線y=與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A(x0，x03+)，則切線的斜率k=，∴切線方程為y-()=x02(x-x0)，即y=x02·x-x03+.∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4=，即x03-3x02+4=0，∴x03+x02-4x02+4=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為k=x02=4,x0=±2,所以切點(diǎn)為(2,4),(-2,-),∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程.(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.【解析】(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13,∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切線與直線y=-x+3垂直,∴切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f′(x0)=3x02+1=4,∴x0=±1,∴∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在.∵直線m恒過定點(diǎn)(0,9)，直線m是曲線y＝g(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x02＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切線方程為y－(3x02＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將點(diǎn)(0,9)代入，得x0＝±1，當(dāng)x0＝－1時(shí)，切線方程為y＝9；當(dāng)x0＝1時(shí)，切線方程為y＝12x＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝－18；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝9.∴公切線是y＝9.又令f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10，∴公切線不是y＝12x＋9.綜上所述公切線是y＝9，此時(shí)k＝0.第5組時(shí)間：45分鐘分值：75分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1 B．2C．3 D．4解析①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝eq\f(1,xln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝－eq\f(\f(1,x),lnx2)＝－eq\f(1,x·lnx2)；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，故選B.答案B2．(2022·云南師大附中模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是()A．y＝x＋1 B．y＝3x＋2C．y＝2x－1 D．y＝－2x＋3解析令x＝0，解得f(0)＝1.對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，解得f′(0)＝1，故切線方程為y＝x＋1.選A.答案A3．(2022·北大附中河南分校模擬)如果f′(x)是二次函數(shù)，且f′(x)的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，那么曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線的傾斜角α的取值范圍是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析由題意可設(shè)f′(x)＝a(x－1)2＋eq\r(3)(a>0)，即函數(shù)切線的斜率為k＝f′(x)＝a(x－1)2＋eq\r(3)≥eq\r(3)，即tanα≥eq\r(3)，所以eq\f(π,3)≤α<eq\f(π,2)，選B.答案B4．(2022·青島一中模擬)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為()A．y＝3x＋1 B．y＝－3xC．y＝－3x＋1 D．y＝3x－3解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，若f′(x)為偶函數(shù)，則a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.∴f′(0)＝－3，∴在原點(diǎn)處的切線方程為y＝－3x，選B.答案B5．(2022·山西測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－2ax＋3a2，且在f(x)的圖象上點(diǎn)(1，f(1))處的切線在y軸上的截距小于0，則aA．(－1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))解析∵f′(x)＝3x2＋2ax－2a，∴f′(1)＝3，又f(1)＝1－a＋3a2，∴在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為y＝3(x－1)＋1－a＋3a2，則可得3a2－a－2＜0，解得－eq\f(2,3)＜a答案C6．(2022·吉林聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sinx＋2xf′(eq\f(π,3))，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a＝－eq\f(1,2)，b＝log32，則下列關(guān)系正確的是()A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)<f(b)解析∵f′(x)＝cosx＋2f′(eq\f(π,3))，∴f′(eq\f(π,3))＝coseq\f(π,3)＋2f′(eq\f(π,3))，f′(eq\f(π,3))＝－eq\f(1,2)，∴f′(x)＝cosx－1≤0，f(x)單調(diào)遞減．又∵a<b，∴f(a)>f(b)．答案A二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．已知函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________.解析f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx－sinx，則x＝eq\f(π,2)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＝－1，所以f(x＝－sinx＋cosx，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)＝0.答案08．若曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，即f′(x)＝0有解．又因?yàn)閒′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，所以方程5ax4＋eq\f(1,x)＝0有解．所以5ax5＝－1有解．又因?yàn)閤>0，所以a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．答案(－∞，0)9．若對(duì)任意m∈R，直線x＋y＋m＝0都不是曲線f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析直線x＋y＋m＝0的斜率為－1，依題意得關(guān)于x的方程f′(x)＝x2－a＝－1沒有實(shí)數(shù)解，因此，a－1<0，即a<1.答案(－∞，1)三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(eq\r(x)－2)2；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝eq\f(ln2x＋3,x2＋1).解(1)解法1：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2－3)＝18x2－4x＋9.解法2：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2)xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝1－2xeq\s\up15(－eq\f(1,2)).(3)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－(eq\f(1,2)sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(4)y′＝eq\f(ln2x＋3′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(2x＋3′,2x＋3)·x2＋1－2xln2x＋3,x2＋12)＝eq\f(2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3,2x＋3x2＋12).11．已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線l⊥l1，且l也過切點(diǎn)P0，求直線l的方程．解(1)證明：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4.又∵點(diǎn)P0在第三象限，∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為－eq\f(1,4).∵l過切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，∴直線l的方程為y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.12．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(t,x)(t>0)和點(diǎn)P(1,0)，過點(diǎn)P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)．(1)求證：x1，x2為關(guān)于x的方程x2＋2tx－t＝0的兩根；(2)設(shè)|MN|＝g(t)，求函數(shù)g(t)的表達(dá)式．解(1)證明：由題意，可知y1＝x1＋eq\f(t,x1)，y2＝x2＋eq\f(t,x2).因?yàn)閒′(x)＝1－eq\f(t,x2)，所以切線PM的方程為y－(x1＋eq\f(t,x1))＝(1－eq\f(t,x\o\al(2,1)))(x－x1)．又切線PM過點(diǎn)P(1,0)，所以0－(x1＋eq\f(t,x1))＝(1－eq\f(t,x\o\al(2,1)))(1－x1)，即xeq\o\al(2,1)＋2tx1－t＝0.①同理，由切線PN也過點(diǎn)P(1,0)，得xeq\o\al(2,2)＋2tx2－t＝0.②由①②，可得x1，x2是方程x2＋2tx－t＝0的兩根．(2)由(1)，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2t，,x1·x2＝－t.))|MN|＝eq\r(x1－x22＋x1＋\f(t,x1)－x2－\f(t,x2)2)＝eq\r([x1＋x22－4x1x2][1＋1－\f(t,x1x2)2])＝eq\r(20t2＋20t)所以g(t)＝eq\r(20t2＋20t)(t>0)．第6組A級(jí)1．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)2．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－23．在函數(shù)y＝x3－9x的圖象上，滿足在該點(diǎn)處的切線的傾斜角小于eq\f(π,4)，且橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．34．已知曲線y＝lnx在點(diǎn)P(1,0)處的切線為l，直線l′過點(diǎn)P且垂直于直線l，則直線l′與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是()A．4 B．2C．1 \f(1,2)5．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝06．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值為________．7．已知函數(shù)f(x)＝2xsinx，則當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)的值為________．8．(2022·遼寧卷)已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________．9．(2022·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋3xf′(0)，則f′(1)等于________．10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3))).11．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx，a∈R.若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程，B級(jí)1．(2022·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)＝cosx＋2xf′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的大小關(guān)系是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) D．不確定2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，記f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，則f1eq\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))))＋f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋…＋f2012eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________.3．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．答案：A級(jí)1．Cf′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a22．A因?yàn)閥′＝eq\f(2,x＋22)，所以，在點(diǎn)(－1，－1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，所以，切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故選A.3．A依題意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<eq\f(10,3)，顯然滿足該不等式的整數(shù)x不存在，因此在函數(shù)y＝x3－9x的圖象上，滿足在該點(diǎn)處的切線的傾斜角小于eq\f(π,4)，且橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，選A.4．D由于f′(x)＝eq\f(1,x)，故f′(1)＝1，則切線方程為y＝x－1，故直線l′方程為y＝－x＋1，其在x，y軸上的截距分別為1,1故直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).5．Bf′(x)＝lnx＋1，x>0，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝x0lnx0，切線的斜率為lnx0＋1，所以lnx0＋1＝eq\f(y0＋1,x0)，解得x0＝1，y0＝0，所以直線l的方程為x－y－1＝0.6．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)7．解析：f′(x)＝2sinx＋2xcosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2sineq\f(π,2)＋2·eq\f(π,2)·coseq\f(π,2)＝2.答案：28．解析：因?yàn)閥＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P，Q兩點(diǎn)處切線的斜率的值為4或－2.所以這兩條切線的方程為l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，將這兩個(gè)方程聯(lián)立方程組求得y＝－4.答案：－49．解析：∵f′(x)＝x2＋3f∴f′(0)＝0＋3f′(0)，即f∴f′(x)＝x2，則有f′(1)＝1.答案：110．解析：(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x))).(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).11．解析：f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)(x>0)，由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)＝alnx,\f(1,2\r(x))＝\f(a,x)))，解得a＝eq\f(1,2)e，x＝e2.∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e)，切線的斜率為k＝f′(e2)＝eq\f(1,2e)，所以切線的方程為y－e＝eq\f(1,2e)(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.B級(jí)1．C依題意得f′(x)＝－sinx＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－sineq\f(π,6)＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，f′(x)＝－sinx＋1≥0，f(x)＝cosx＋x是R上的增函數(shù)，注意到－eq\f(π,3)<eq\f(π,3)，于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).選C.2．解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此類推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋…＋f2012eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋f3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋f4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.答案：03．解析：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，過點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線的斜率f′(1)＝0，∴所求的直線方程為y＝－2.(2)設(shè)過P(1，－2)的直線l與y＝f(x)切于另一點(diǎn)(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3.又直線過(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示為eq\f(y0－－2,x0－1)＝eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1)，又eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)－3，即xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2)，故所求直線的斜率為k＝3×(eq\f(1,4)－1)＝－eq\f(9,4)，∴y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.第7組一、選擇題1.(2022·陽(yáng)江模擬)已知f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，則x0等于()（A）e2（B）e（C）（D）ln22.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2012(x)＝()(A)－sinx－cosx(B)sinx－cosx(C)－sinx＋cosx(D)sinx＋cosx3.若函數(shù)f(x)＝excosx，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為()(A)0(B)銳角(C)直角(D)鈍角4.(2022·青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2，曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為()（A）2（B）-（C）4（D）-5．如圖，其中有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(-1)為()（A）2（B)-（C）3（D）-6.(2022·茂名模擬)曲線y=x3+x在點(diǎn)(1,)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()二、填空題7．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，則f′(5)＝_______.8．(2022·肇慶模擬)曲線y=x3+3x2+6x-1的切線中，斜率最小的切線方程為_______.9．(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.三、解答題10．求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).(2)y＝(3)y＝(4)y＝e－xsin2x.11．已知曲線y=（1）求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程.（2）求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程.（3）求曲線的斜率為4的切線方程.12.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩條切線互相垂直．(1)求a，b之間的關(guān)系.(2)求ab的最大值．答案解析1.【解析】選B.因?yàn)閒′(x)=lnx+x·=lnx+1，所以f′(x0)=lnx0+1,由lnx0+1=2得x0=e.2.【解析】選B.∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∴f2012(x)＝f4(x)＝sinx－cosx，故選B.3.【解析】選D.由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx),∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵>1>,而由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可得cos1<sin1.∴f′(1)<0，即f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率k<0，∴切線的傾斜角是鈍角．4.【解析】選C.因?yàn)榍€y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1，所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=g′(1)+2=4.5．【解析】選B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上．又∵a≠0，∴其圖象必為(3)．由圖象特征知f′(0)＝0，且對(duì)稱軸x=－a＞0，∴a＝－1，故f(－1)＝－.6.【解析】選′=x2+1，曲線在點(diǎn)(1，)處的切線斜率k=12+1=2,故曲線在點(diǎn)(1，)處的切線方程為y-=2(x-1).該切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是(,0),(0,-).故所求三角形的面積是:【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）已知切點(diǎn)A（x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k=f′(x0).(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A（x1，f(x1))，即解方程f′(x1)=k.（3）已知過某點(diǎn)M（x1,f(x1)）（不是切點(diǎn)）的切線斜率為k時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)A（x0，f(x0))，利用k=求解.7．【解析】對(duì)f(x)＝3x2＋2xf′(2)求導(dǎo)，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：68．【解析】y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.當(dāng)x=-1時(shí)，y′min=3；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-5.∴斜率最小的切線方程為y+5=3(x+1)，即3x-y-2=0.答案：3x-y-2=09．【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】由題意可知f′(x)=3ax2+，又因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，所以3ax2+=0?a=-(x＞0)?a∈(-∞,0).答案：(-∞,0)10．【解析】(1)方法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.方法二：y′＝［(x＋1)(x＋2)］′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)·(x＋3)′＝［(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′］(x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.(2)∵y＝∴y′＝(3)∵y＝＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.(4)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－sin2x)．11．【解析】（1）∵點(diǎn)P(2,4)在曲線y=上，且y′=x2,∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=y′|x=2=4，∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）設(shè)曲線y=與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A（x0，），則切線的斜率k=y′|，∴切線方程為y-()=x02（x-x0），即y=∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4=即x-3x+4=0，∴x+x-4x+4=0，∴（x0+1）(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0）,則切線的斜率為k=x=4,x0=±2，所以切點(diǎn)為（2，4），（-2，-）,∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【變式備選】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程.(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．【解析】(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13,∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直線l過點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．方法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)，則k＝又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．(3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-14)或(-1,-18),切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.12.【解析】(1)對(duì)于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，對(duì)于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0，y0)，由題意知過交點(diǎn)(x0，y0)的兩條切線互相垂直，∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0.①又點(diǎn)(x0，y0)在C1與C2上，故有∴2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②由①-②×2得，2a+2b=5,∴b=-a.(2)由(1)知：b＝－a，∴ab＝a(－a)＝－(a－)2＋,∴當(dāng)a＝時(shí)，(ab)最大＝.第8組一、選擇題1.函數(shù)y=cos(2x+1)的導(dǎo)數(shù)是()(A)y′=sin(2x+1) (B)y′=-2xsin(2x+1)(C)y′=-2sin(2x+1) (D)y′=2xsin(2x+1)2.(2022·茂名模擬)曲線y=x3+x在點(diǎn)(1,)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()(A) (B) (C) (D)3.(2022·陽(yáng)江模擬)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,則x0等于()(A)e2 (B)e (C) (D)ln24.(2022·肇慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為()(A)2 (B)- (C)4 (D)-5.如圖,其中有一個(gè)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(-1)為()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(20