2023年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編-專題六-數(shù)列

專題六數(shù)列1.〔15北京理科〕設(shè)是等差數(shù)列.以下結(jié)論中正確的是A．假設(shè)，那么B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，那么D．假設(shè)，那么【答案】C考點(diǎn)：1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2.作差比較法2.〔15北京理科〕數(shù)列滿足：，，且．記集合．〔Ⅰ〕假設(shè)，寫出集合的所有元素；〔Ⅱ〕假設(shè)集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；〔Ⅲ〕求集合的元素個數(shù)的最大值．【答案】〔1〕，〔2〕證明見解析，〔3〕8【解析】①試題分析：〔Ⅰ〕由，可知那么；〔Ⅱ〕因?yàn)榧洗嬖谝粋€元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時，那么M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因?yàn)榛颍允?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).第二步集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)；第三步由于中的元素都不超過36，中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，分中有3的倍數(shù)和中沒有3的倍數(shù)兩種情況，研究集合M中的元素個數(shù)，最后得出結(jié)論集合的元素個數(shù)的最大值為8.試題解析：〔Ⅰ〕由可知：〔Ⅱ〕因?yàn)榧洗嬖谝粋€元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時，那么M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因?yàn)榛?，所以?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).〔Ⅲ〕由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，考點(diǎn)：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.3.〔15北京文科〕等差數(shù)列滿足，．〔Ⅰ〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【答案】〔1〕；〔2〕與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.【解析】試題分析：此題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等根底知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化成和d，解方程得到和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；第二問，先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將和轉(zhuǎn)化為和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出n的值，即項(xiàng)數(shù).試題解析：〔Ⅰ〕設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?所以.〔Ⅱ〕設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，，所以?所以.由，得.所以與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.〔15年廣東理科〕在等差數(shù)列中，假設(shè)，那么=【答案】．【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，，故應(yīng)填入．【考點(diǎn)定位】此題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運(yùn)算，屬于容易題．5.〔15年廣東理科〕數(shù)列滿足,.(1)求的值；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕見解析．〔3〕依題由知，，【考點(diǎn)定位】此題考查遞推數(shù)列求項(xiàng)值、通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前項(xiàng)和、不等式放縮等知識，屬于中高檔題．6.〔15年廣東文科〕假設(shè)三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，那么．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)槿齻€正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以答案?yīng)填：．考點(diǎn)：等比中項(xiàng)．7.(15年廣東文科)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．，，，且當(dāng)時，．求的值；證明：為等比數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析；〔3〕．考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.8.〔15年安徽理科〕設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕記，證明.9.〔15年安徽文科〕數(shù)列中，，〔〕，那么數(shù)列的前9項(xiàng)和等于?！敬鸢浮?7考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的定義；2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.10.〔15年安徽文科〕數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。【答案】〔1〕〔2〕＝.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.裂項(xiàng)相消法求和.11.〔15年福建理科〕假設(shè)是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，那么的值等于〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】試題分析：由韋達(dá)定理得，，那么，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時，，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時，，解得，，綜上所述，，所以，選D．考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．12.〔15年福建文科〕假設(shè)是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，那么的值等于________．【答案】9考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．13.〔15年福建文科〕等差數(shù)列中，，．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)，求的值．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕利用根本量法可求得，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列前n項(xiàng)和，首先考慮其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，此題，故可采取分組求和法求其前10項(xiàng)和．試題解析：〔I〕設(shè)等差數(shù)列的公差為．由得，解得．所以．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、分組求和法．14.〔15年新課標(biāo)2理科〕等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，=21，那么()〔A〕21〔B〕42〔C〕63〔D〕84【答案】B15.〔15年新課標(biāo)2理科〕設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，那么________．【答案】【解析】由得，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，那么，所以．16.〔15年新課標(biāo)2文科〕設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,假設(shè),那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】試題解析：,.應(yīng)選A.考點(diǎn)：等差數(shù)列17.〔15年新課標(biāo)2文科〕等比數(shù)列滿足,,那么〔〕【答案】C【解析】試題分析：由題意可得,所以,故,選C.考點(diǎn)：等比數(shù)列.18.〔15年陜西理科〕中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2023，那么該數(shù)列的首項(xiàng)為．【答案】【解析】試題分析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，那么，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：等差中項(xiàng)．19.〔15年陜西文科〕中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2023，那么該數(shù)列的首項(xiàng)為________【答案】5考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).20.〔15年陜西文科〕設(shè)(I)求；(II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)〔記為〕，且.【答案】(I)；(II)證明略，詳見解析.【解析】試題分析：(I)由題設(shè)，所以，此式等價于數(shù)列的前項(xiàng)和，由錯位相減法求得；(II)因?yàn)?，，所以在?nèi)至少存在一個零點(diǎn)，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，由于，所以，由此可得故，繼而得.試題解析：(I)由題設(shè)，所以①由②①②得，所以(II)因?yàn)?，所以在?nèi)至少存在一個零點(diǎn)，又所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，由于，所以由此可得故所以考點(diǎn)：1.錯位相減法；2.零點(diǎn)存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.21.〔15年天津理科〕數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求q的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(I);(II).【解析】試題分析：(I)由得先求出，分為奇數(shù)與偶數(shù)討論即可；(II)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，用錯位相減法求和即可.試題解析：(I)由，有，即，所以，又因?yàn)?，故，由，得，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以的通項(xiàng)公式為考點(diǎn)：1.等差中項(xiàng)定義；2.等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式.3.錯位相減法.22.〔15年天津文科〕是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.〔=1\*ROMANI〕求和的通項(xiàng)公式；〔=2\*ROMANII〕設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】〔=1\*ROMANI〕,；〔=2\*ROMANII〕【解析】試題分析：〔=1\*ROMANI〕列出關(guān)于q與d的方程組,通過解方程組求出q,d,即可確定通項(xiàng)；〔=2\*ROMANII〕用錯位相減法求和.試題解析：〔=1\*ROMANI〕設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意,由,有消去d得解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕有,設(shè)的前n項(xiàng)和為,那么兩式相減得所以.考點(diǎn)：1.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯位相減法求和.23.〔15年天津文科〕函數(shù)〔=1\*ROMANI〕求的單調(diào)性；〔=2\*ROMANII〕設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對于任意的正實(shí)數(shù),都有;〔=3\*ROMANIII〕假設(shè)方程有兩個正實(shí)數(shù)根且,求證：.【答案】〔=1\*ROMANI〕的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；〔=2\*ROMANII〕見試題解析；〔=3\*ROMANIII〕見試題解析.【解析】試題解析：〔=1\*ROMANI〕由,可得,當(dāng),即時,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng),即時,函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.〔=2\*ROMANII〕設(shè),那么,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,即,令即那么.由于在單調(diào)遞減,故在單調(diào)遞減,又因?yàn)?所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實(shí)數(shù)x,,對于任意的正實(shí)數(shù),都有.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.24.(15年浙江理科)25.〔15年湖南理科〕設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)，且成等差數(shù)列，那么.【答案】.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.26.〔15年山東理科〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：〔Ⅰ〕由可得，而，那么〔Ⅱ〕由及可得.27.〔15年江蘇〕數(shù)列滿足，且〔〕，那么數(shù)列的前10項(xiàng)和為【答案】【解析】試題分析：由題意得：所以考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和28.〔15年江蘇〕設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列〔1〕證明：依次成等比數(shù)列；〔2〕是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；〔3〕是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕不存在〔3〕不存在〔2〕令，那么，，，分別為，，，〔，，〕．假設(shè)存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，那么，且．令，那么，且〔，〕，化簡得〔〕，且．將代入〔〕式，，那么．顯然不是上面方程