《空間幾何體的表面積和體積》設計 市賽一等獎

《空間幾何體的表面積和體積（第一課時）》教學設計教學目標通過展開柱錐臺的側面，進一步認識柱錐臺的表面積的計算公式。重點難點柱錐臺的側面積和表面積的求法。課時安排1課時教學過程一、自主探究1．幾種特殊的多面體（1）直棱柱：側棱和底面的棱柱叫做直棱柱。（2）正棱柱：底面為的直棱柱叫做正棱柱。（3）正棱錐：一個棱錐的底面是，并且頂點在底面的正投影是，稱這樣的棱錐為正棱錐，正棱錐的都相等。（4）正棱臺：被平行于底面的平面所截，和之間的部分叫做正棱臺。想一想：正方體、長方體是直棱柱嗎？是正棱柱嗎？底面是正多邊形的棱錐是正棱錐嗎？2．幾種簡單幾何體的側面展開圖與側面積想一想：正棱錐、正棱臺中的斜高與側棱相同嗎？兩者之間有何關系？二、重點剖析1．直棱柱和正棱柱各有什么特征，兩者有何聯(lián)系？（1）直棱柱和正棱柱均具有棱柱的所有性質，但直棱柱的側面是矩形，正棱柱的側面都是全等的矩形。（2）無論是直棱柱還是正棱柱，其側棱均垂直于底面，即側棱長即為棱柱的高。（3）由正棱柱的概念可知，正棱柱一定是直棱柱，但直棱柱不一定是正棱柱，因為直棱柱的底面不一定是正多邊形。2．正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積之間的關系及求法是什么？（1）這三種幾何體側面積之間的關系（2）求這三種幾何體側面積的常見策略①正棱柱、正棱錐、正棱臺的所有側面都全等，因此求側面積時，可先求一個側面的面積，然后乘以側面的個數(shù)。②棱臺是由棱錐所截得到的，因此棱臺的側面積可由大小棱錐側面積作差得到。拓展：正棱錐中幾個重要的直角三角形（1）側棱、高、底面正多邊形外接圓的半徑構成直角三角形；（2）側棱、斜高、底面邊長的一半構成直角三角形；（3）斜高、高、邊心距離構成直角三角形。3．如何理解圓柱、圓錐、圓臺的側面積？（1）這三種幾何體側面積之間的關系（2）公式的記憶策略：重過程與原理，從其側面展開圖入手，利用平面幾何中的面積計算公式推導側面展開圖的面積公式，并適當化簡。（3）軸截面的作用旋轉體中軸截面可以將母線、底面半徑、高等主要元素聯(lián)系在一起，因此處理好軸截面中的邊角關系是正確計算的關鍵。三、例題講解例1．如圖所示，已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，（1）若它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，求該圓柱的表面積；（2）在它的所有內(nèi)接圓柱中，表面積的最大值是多少？［變式訓練］：已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求旋轉體的表面積。例2．正四棱錐的側面積是底面積的2倍，高是3，求它的表面積。［變式訓練］：已知一正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm，且其側面積等于兩底面積之和，求棱臺的高。例3．如圖是一建筑物的三視圖（單位：m），現(xiàn)需將其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆，問需要油漆多少千克？（無需求近似值）［變式訓練］：如圖是一個煙筒的直觀圖（圖中單位：cm），它的下部是一個四棱臺（上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形）形物體；上部是一個四棱柱（底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形）形物體，為防止雨水的侵蝕，增加美觀，需要粘貼瓷磚，需要瓷磚多少平方厘米（無需求近似值）。四、歸納小結1．旋轉體的軸截面是化空間問題為平面問題的重要工具，因為在軸截面中集中體現(xiàn)了旋轉體的“關鍵量”之間的關系，在推導這些量之間的關系時要注意比例性質的應用。2．棱錐、棱臺的表面積為其側面積與底面積之和，底面積據(jù)平面幾何知識求解，側面積關鍵是求斜高和底面邊長。斜高、側棱及其在底面的射影與高、底面邊長這四條線段可以構成直角三角形（或梯形），因此利用好這些直角三角形（或梯形）是解題的關鍵。3．三視圖與求空間幾何體的表面積問題結合是常見的例題形式，此類問題要先從幾何體三視圖特征反推得到實物組合體的形狀及相關數(shù)量，然后直接應用圓錐與正四棱柱的表面積或側面積公式運算。學后、教后反思：高二年級數(shù)學教學設計周次5課題空間幾何體的體積2課時授課形式新授主編審核教學目標1．求空間幾何體的體積。2．常與函數(shù)、三視圖、線面位置關系等知識相結合求最值。3．球與正方體等簡單幾何體的“內(nèi)切”，“外接”關系。（易混點）重點難點了解柱、錐、臺體的體積計算公式。了解球的體積公式和球的表面積公式。教學過程一、自主探究1．長方體的體積公式（1）設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則其體積V＝。（2）設長方體的底面積為S，高為h，則其體積V＝。2．錐、臺體的體積公式柱體V柱體柱體V柱體＝其中S為柱體的，h為柱體的，臺體V臺體＝其中S′、S分別為臺體的，h為臺體的，錐體V錐體＝其中S為錐體的，h為錐體的，想一想：底面積和高分別對應相等的圓柱和棱柱的體積相等嗎？3．球的表面積和體積公式想一想：從球的表面積公式和體積公式看，球的表面積和體積是關于半徑的函數(shù)嗎？二、重點剖析1．根據(jù)柱體、錐體、臺體之間的關系，你能發(fā)現(xiàn)三者的體積公式之間的關系嗎？柱體和錐體可以看作“特殊”的臺體，它們之間的關系如下：（1）柱體、錐體、臺體之間的關系（2）體積公式之間的關系：2．如何理解錐體的體積公式？（1）可理解為“錐體的體積是與它底面積相同、高相等的柱體體積的”；（2）三棱錐的任何一個面都可以作為它的底面，因此求三棱錐的體積時可更換三棱錐的頂點和底面，尋求底面積與高易求的三棱錐。拓展：體積計算中的割補法：（1）求組合體的體積時，可先根據(jù)組合體的組成形式將其分割為體積易求的幾何體，再計算。（2）有時也應根據(jù)題目條件進行補形。例如：“臺體”補成“錐體”；“三條側棱兩兩互相垂直的三棱錐”補成“長方體”；“側棱與底面邊長相等的三棱錐”補成“正方體”等。3．用一個平面去截球體，截面的形狀是什么？該截面的幾何量與球的半徑之間有什么關系？可以想象，用一個平面去截球體，截面是圓面，在球的軸截面圖中，截面圓與球的軸截面的關系如圖所示，若球的半徑為R，截面圓的半徑為r，OO′＝d。，在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2+O′C2即R2＝r2+d2。三、例題講解例1．已知如圖，正六棱柱的底面邊長為12cm，高為10cm，從中間挖去一個直徑為10cm的圓柱后，求此幾何體的體積。（無需求近似值，保留根式及）［變式訓練］：如圖所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6cm，高為3cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4cm，高為2cm，現(xiàn)從中間挖去一個直徑為2cm的圓柱，求此幾何體的體積。例2．如圖所示是一個幾何體的主視圖和俯視圖，（1）試判斷這個幾何體的形狀；（2）請畫出它的左視圖，并求該平面圖形的面積；（3）求該幾何體的體積。［變式訓練］：如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝；（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求四棱錐P－ABCD的體積。例3．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2（V1＞V2）的兩部分，求V1：V2。［變式訓練］：如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，求三棱錐A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的體積之比。例4．如圖是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等。相傳這個圓形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)，我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)。求證：（1）球的表面積等于圓柱的側面積（2）球的表面積等于圓柱表面積的（3）球的體積等于圓柱體積的［變式訓練］：如圖，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的體積，（其中∠BAC＝30°）課堂小結：1．求柱體的體積關鍵是求其底面積和高，底面積利用平面圖形面積的求法，常轉化為三角形或四邊形，