《隨機(jī)信號(hào)分析》緒論 第1章 隨機(jī)變量基礎(chǔ)

?隨機(jī)信號(hào)分析?緒論第1章隨機(jī)變量根底

顧昕鈺 副教授信息與通信工程學(xué)院先進(jìn)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室〔AdvancedNetworkTechnologyLab,ANTLab〕流量和用戶行為識(shí)別分析，大數(shù)據(jù)處理車聯(lián)網(wǎng)空間通信壓縮感知和分布式視頻處理5G2023/1/1222023/1/125課程學(xué)習(xí)的意義

例：通信系統(tǒng)中的隨機(jī)信號(hào)處理噪聲N信息V信號(hào)Y信號(hào)X信息U信源變換信道復(fù)原變換信宿移動(dòng)通信

衛(wèi)星通信

2023/1/126課程學(xué)習(xí)的意義

例：雷達(dá)系統(tǒng)中的隨機(jī)信號(hào)處理內(nèi)部噪聲雷達(dá)干擾目標(biāo)氣象雜波地雜波影響雷達(dá)檢測(cè)目標(biāo)的因素目標(biāo)回波2023/1/127課程學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)本課程學(xué)習(xí)，掌握隨機(jī)信號(hào)的根本概念、根本理論以及根本分析方法，為后續(xù)通信原理等課程的學(xué)習(xí)打好根底建立有關(guān)隨機(jī)問題的思維方法和應(yīng)有的知識(shí)水平；初步具有描述和分析研究應(yīng)用中隨機(jī)問題模型和統(tǒng)計(jì)特性的能力；建立進(jìn)一步學(xué)習(xí)系統(tǒng)理論和閱讀文獻(xiàn)資料關(guān)于隨機(jī)過(guò)程分析與處理的必要背景知識(shí)。2023/1/128課程定位通信工程、電子信息工程、信息工程等多個(gè)專業(yè)方向的重要專業(yè)根底課先修課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)、信號(hào)與系統(tǒng)后續(xù)課程通信原理、數(shù)字通信、移動(dòng)通信原理、通信網(wǎng)根底，信息論等2023/1/129課程特點(diǎn)?信號(hào)與系統(tǒng)?與?隨機(jī)信號(hào)分析?是兩門主要的專業(yè)根底課，前者主要以分析確定性的信號(hào)與系統(tǒng)為主要內(nèi)容，后者那么以分析隨機(jī)信號(hào)以及與系統(tǒng)的相互作用為主要內(nèi)容。隨機(jī)信號(hào)分析是隨機(jī)與信號(hào)分析的結(jié)合。隨機(jī)性的分析運(yùn)用概率論的理論；信號(hào)分析運(yùn)用信號(hào)與系統(tǒng)理論，因此，本課程是概率論與信號(hào)與系統(tǒng)的結(jié)合。2023/1/1210參考資料?隨機(jī)信號(hào)分析與處理?〔第2版〕，羅鵬飛，張文明編著，清華大學(xué)出版社，2021年3月?通信原理?〔第3版〕，周炯槃，龐沁華等編著，北京郵電大學(xué)出版社，2021年8月?概率、隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程?〔第4版〕，A.Papoulis等著，保錚等譯，西安交通大學(xué)出版社，2004年9月2023/1/1211教學(xué)安排課程內(nèi)容與教學(xué)安排緒論、隨機(jī)變量根底：2-4學(xué)時(shí)隨機(jī)過(guò)程：8-10學(xué)時(shí)隨機(jī)過(guò)程的變換：10學(xué)時(shí)窄帶隨機(jī)過(guò)程：8學(xué)時(shí)考核方法平時(shí)+期末閉卷考試概率論的根本術(shù)語(yǔ)隨機(jī)變量的定義及分布多維隨機(jī)變量及分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的函數(shù)多維正態(tài)隨機(jī)變量第1章隨機(jī)變量根底隨機(jī)試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，所有可能的結(jié)果能事先明確每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果舉例投擲硬幣1.1概率論根本術(shù)語(yǔ)隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱為隨機(jī)事件根本領(lǐng)件隨機(jī)試驗(yàn)中最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件成為根本領(lǐng)件樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)??的所有根本領(lǐng)件組成的集合稱為樣本空間，記為??舉例投擲骰子141.1概率論根本術(shù)語(yǔ)1.1概率論根本術(shù)語(yǔ)頻數(shù)和頻率在相同條件下的??次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)??A稱為事件A的頻數(shù)，比值??A∕??稱為事件A發(fā)生的頻率。概率概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量。2023/1/1215定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)??的樣本空間為??={??}，如果對(duì)于每一個(gè)??∈??，有一個(gè)實(shí)數(shù)??(??)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在??上的單值函數(shù)??(??)，稱??(??)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為??。隨機(jī)變量是定義在樣本空間??上的單值函數(shù)。舉例：投擲硬幣2023/1/12161.2隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的分類連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：取值為有限個(gè)或者可列無(wú)窮個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布律1.2隨機(jī)變量的定義

X

x1

x2

...

xn

pk

p1

p2

...

pn

離散型隨機(jī)變量常見分布(0,1)分布：隨機(jī)變量的可能取值為0和1兩個(gè)值二項(xiàng)式分布貝努里試驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)??只有兩種可能的結(jié)果，將??獨(dú)立地重復(fù)??次，那么在??次試驗(yàn)中事件A發(fā)生??次的概率為2023/1/12181.2隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量常見分布泊松分布1.2隨機(jī)變量的定義分布函數(shù)設(shè)??為隨機(jī)變量,??為任意實(shí)數(shù),定義為??的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。性質(zhì)不減函數(shù)：

右連續(xù)：

2023/1/12201.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)是連續(xù)的:對(duì)離散型隨機(jī)變量，分布函數(shù)是階梯型的:階梯的跳變點(diǎn)出現(xiàn)在隨機(jī)變量的取值點(diǎn)上，跳變的高度為隨機(jī)變量取該值的概率。分布函數(shù)表示為1.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度1.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)變量的概率密度隨機(jī)變量??的分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為它的概率分布密度，記為??(??)性質(zhì)非負(fù)函數(shù)：面積為1：常見分布：正態(tài)分布〔高斯分布〕：均值為??，方差為??^2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：均值為0，方差為12023/1/12231.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度

-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8常見分布：均勻分布1.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度常見分布：瑞利分布1.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4＝2常見分布：指數(shù)分布1.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度0123456700.511.5二維隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)??的樣本空間??={??}，??=??(??)和

??=??(??)是定義在樣本空間??上的兩個(gè)隨機(jī)變量，由??和??構(gòu)成的矢量(??,??)稱為二維隨機(jī)變量。二維分布函數(shù)設(shè)(??,??)為二維隨機(jī)變量，??,??為實(shí)數(shù)，定義為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2023/1/12271.4多維隨機(jī)變量及分布二維分布函數(shù)性質(zhì)

邊緣分布：

落在某一區(qū)域的概率1.4多維隨機(jī)變量及分布二維概率密度二維分布函數(shù)??(??,??)的二階偏導(dǎo)數(shù)性質(zhì)非負(fù)函數(shù)

邊緣概率密度落在某一區(qū)域的概率2023/1/12291.4多維隨機(jī)變量及分布條件分布：設(shè)??為一隨機(jī)變量，??是一隨機(jī)事件，定義為??在??發(fā)生時(shí)的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)：令??={??=??}條件概率密度：??,??統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：2023/1/12301.4多維隨機(jī)變量及分布多維分布函數(shù)設(shè)有??維隨機(jī)變量(??1,??2,…,??n

)，定義為??維隨機(jī)變量的??維分布函數(shù)。性質(zhì)2023/1/12311.4多維隨機(jī)變量及分布多維概率密度假設(shè)??維分布函數(shù)的??階混合偏導(dǎo)數(shù)存在，那么定義為??維隨機(jī)變量的??維概率密度。多維條件概率密度對(duì)于??維隨機(jī)變量(??1,??2…,??n)，在??(k+1),??(k+2),…,??n2023/1/12321.4多維隨機(jī)變量及分布1.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值〔數(shù)學(xué)期望〕隨機(jī)變量X的均值離散型隨機(jī)變量性質(zhì)線性

X,Y不相關(guān)2023/1/1233方差定義：反映了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度性質(zhì)

獨(dú)立隨機(jī)變量：1.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征假設(shè)X是隨機(jī)變量，a,b是任意確定實(shí)數(shù)，令Y=aX+b，那么

2023/1/1235協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)：描述兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)：，描述線性相關(guān)性相關(guān)系數(shù)性質(zhì)：??,??不相關(guān)時(shí)：許瓦茲(Schwartz)不等式：2023/1/12361.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩：更高階的數(shù)字特征??階原點(diǎn)矩：??階中心矩：混合矩：兩個(gè)隨機(jī)變量??,????+??階混合矩：??+??階混合中心矩：2023/1/12371.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義：設(shè)有一實(shí)函數(shù)以及隨機(jī)變量??，定義一個(gè)新的隨機(jī)變量，稱隨機(jī)變量??是隨機(jī)變量??的函數(shù)。??的統(tǒng)計(jì)特性，如何求??的統(tǒng)計(jì)特性？2023/1/12381.6隨機(jī)變量的函數(shù)一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布假設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，求導(dǎo)，得，雅可〔Jacco〕比對(duì)于任意單調(diào)函數(shù)：如果不是單調(diào)函數(shù)：其中…,1.6隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)有二維隨機(jī)變量，其概率密度為

，二維隨機(jī)變量：

當(dāng)，單調(diào)時(shí)，1.6隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征設(shè)隨機(jī)變量??和??的函數(shù)關(guān)系為那么??的數(shù)學(xué)期望為方差：2023/1/12411.6隨機(jī)變量的函數(shù)一維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量：1.7多維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量性質(zhì)如果??1,??2是聯(lián)合正態(tài)的，那么??1,??2的邊緣分布也是正態(tài)的。如果，即??1,??2是不相關(guān)的，那么2023/1/12431.7多維正態(tài)隨機(jī)變量二維聯(lián)合正態(tài)概率密度其中協(xié)方差矩陣行列式1.7多維正態(tài)隨機(jī)變量定義：設(shè)有