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文檔簡介

第六章系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析無失真系統(tǒng)與理想低通抽樣與抽樣定理離散時間系統(tǒng)的頻域分析一、連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)通過系統(tǒng)的響應(yīng)任意非周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)頻響H(jw)的定義與物理意義H(jw)與h(t)的關(guān)系求H(jw)

的方法1.虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號f(t)的Fourier存在,則可由虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)的線性組合表示,即由系統(tǒng)的線性時不變特性,可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)。由均勻性由積分特性3.連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)系統(tǒng)把頻譜F(jw)

的輸入改變成頻譜H(jw)F(jw)的響應(yīng),改變的規(guī)律完全由H(jw)決定。

H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng),定義為H(jw)的物理意義:

H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。4.H(j)與h(t)的關(guān)系由H(jw)的定義,顯然有即H(jw)等于系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換假定

h(t)絕對可積5.求H(j)的方法由系統(tǒng)的動態(tài)方程式直接計算;由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅立葉變換計算;由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算。[例]已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解(1)利用Fourier變換的微分特性,微分方程的頻域表示式為由定義可求得(2)系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)h(t)滿足

h"(t)+3h'(t)+2h(t)=(t)得

圖示RC電路系統(tǒng),激勵電壓源為f(t),輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t),電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解:RC電路的頻域(相量)模型如右圖由Fourier反變換,系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加,系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小,說明信號的頻率越高,信號通過系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707,所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。二、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析1.已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進行Fourier變換,并利用時域微分特性,有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜Yf

(jw)2.已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對Yf

(jw)進行Fourier反變換,可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系:(1)兩種分析方法實質(zhì)相同,只不過采用單元信號不同。(2)分析域不同,卷積積分法——時域,頻域分析法——頻域。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"

(t)+3y'

(t)+2y(t)=3f'

(t)+4f(t),系統(tǒng)的輸入激勵f(t)=e-3tu(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)。[解]輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)的頻譜函數(shù)Yf

(jw)為三、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的

頻域分析正弦信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)

由Euler公式及虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點及系統(tǒng)的線性特性,可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為同理結(jié)論:

正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時,其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(jw0)|確定,輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了f(w0)。三、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的

頻域分析將是周期為T0的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為因為故由系統(tǒng)的線性特性可得周期信號f(t)通過頻率響應(yīng)為H(jw)的系統(tǒng)的響應(yīng)為若f(t)、h(t)為實函數(shù),則有求圖示周期方波信號通過系統(tǒng)H(jw)=1/(a+jw)的響應(yīng)y(t)。解:對于周期方波信號,其Fourier系數(shù)為由可得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)為系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)優(yōu)點:求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時,可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變,解釋激勵與響應(yīng)時域波形的差異,物理概念清楚。

不足:

(1)只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍按時域方法求解。(2)若激勵信號不存在傅立葉變換,則無法利用頻域分析法。(3)頻域分析法中,傅立葉反變換常較復(fù)雜。

解決方法:采用拉普拉斯變換無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想濾波器的頻響特性理想低通濾波器

沖激響應(yīng)

階躍響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若輸入信號為f(t),則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號y(t)應(yīng)為K為常數(shù),td是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。

輸出的信號與輸入的信號相比只是在幅度和出現(xiàn)時間上有變化,波形無任何變化。時域特性:頻域特性:

幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足兩個條件:(1)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jw)|在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K,即系統(tǒng)的帶寬為無窮大;(2)系統(tǒng)的相位響應(yīng)f(jw)在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比。相位特性

f(jw)在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比?設(shè)激勵信號響應(yīng)為了不產(chǎn)生相位失真,基波與二次諧波有相同的延時時間因此

系統(tǒng)的相位特性是一條通過原點的直線理想濾波器的頻響特性濾波器是指能使信號的一部分頻率通過,而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。低通高通帶通帶阻理想低通濾波器幅頻響應(yīng)|H(jw)|在通帶0~wc

恒為1,在通帶之外為0。相頻響應(yīng)f(w)在通帶內(nèi)與成線性關(guān)系

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)理想低通濾波器沖激響應(yīng)分析(1)h(t)的波形是一個取樣函數(shù),不同于輸入信號d(t)的波形,有失真。原因:理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng),而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。減小失真方法:增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc,wc越小,失真越大。當wc

時,理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng),

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。(2)h(t)主峰出現(xiàn)時刻t=td比輸入信號d(t)作用時刻t=0延遲了一段時間td。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。(3)h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出,可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)。求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t

-<t<,

通過線性相位理想低通濾波器

的響應(yīng)。解:因為利用Fourier變換的頻移特性,可得(1)當wc

>3時,輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng),即

y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos2(t-td)(2)當wc

<1時,輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng),即(3)當1<wc

<3時,只有1wc范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng),故由抽樣信號頻譜及Fourier變換的時域和頻域位移特性可得連續(xù)時間信號的時域抽樣信號抽樣的理論分析時域抽樣定理抽樣定理的工程應(yīng)用信號重建實際應(yīng)用舉例1.信號抽樣的理論分析理想抽樣信號的頻譜分析若連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω),則抽樣信號

的頻譜函數(shù)為

其中:

T

為抽樣間隔,ws=2p/T為抽樣角頻率抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系2.時域取樣定理若帶限信號f(t)的最高角頻率為ωm,則信號f(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。而抽樣間隔T需不大于1/2fm,或最低抽樣頻率fs不小于2fm。若從抽樣信號fs(t)中恢復(fù)原信號f(t),需滿足兩個條件:(1)

f(t)是帶限信號,即其頻譜函數(shù)在|w|>wm各處為零;(2)抽樣間隔T需滿足

3.抽樣定理的工程應(yīng)用許多實際工程信號不滿足帶限條件低通濾波器4.信號重建由抽樣信號fs(t)恢復(fù)連續(xù)信號f

(t)離散信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

ejWk通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)任意信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)信號

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