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第三章

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3．1函數(shù)的單調(diào)性定理3.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。

1.如果x∈（a,b）時(shí)，f’(x)>0,則f’(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

2.如果x∈（a,b）時(shí)，f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。例1求函數(shù)f(x)=x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間。解函數(shù)f(x)=x2-2x+2的定義域?yàn)?-∞，+∞)∵f’(x)=2x-2=2(x-1)令f’(x)=2(x-1)=0得=1以=1為分點(diǎn)，將函數(shù)定義域分為兩個(gè)子區(qū)間（-∞，1），（1，+∞）當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f’(x)<0當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f’(x)>0∴函數(shù)f(x)=x2-2x+2的單調(diào)減少區(qū)間為（-∞，1]，單調(diào)增加區(qū)間為[1，+∞）。

3．2函數(shù)極值3．2．1函數(shù)的極值及其求法

定義3.1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義。如果對(duì)該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x(x≠x0),恒有f(x)≤f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值，稱x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)；如果對(duì)該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x(x≠x0),恒有f(x)≥f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值，稱x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定理3、2如果點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f’(x0)存在，則f’(x0)=0

使f’(x)=0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。

定理3、3設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導(dǎo)f’(x0)可以不存在，則1.如果在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)，f’(x)>0;在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)，f’(x)<0;那么x0是f(x)的極大值點(diǎn)，且f(x0)是f(x)的極大值；2.如果在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)，f’(x)<0;在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)，f’(x)>0;那么x0是f(x)的極小值點(diǎn)，且f(x0)是f(x)的極小值；3.如果在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)，f’(x)不變號(hào)，那么x0不是f(x)的極值點(diǎn)。

由定理3.2和定理3.3得出求函數(shù)極值點(diǎn)及極值的步驟如下：1.確定函數(shù)f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f’(x);2.解方程f’(x)=0,求出f(x)在其定義域的所有駐點(diǎn)；3.找出f(x)連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的所有點(diǎn)；4.討論f’(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn)；5.求出極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（極大值或極小值）例1.求函數(shù)

的極值。解（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞，-∞）,且(2)令f’(x)=0,得駐點(diǎn)(3)該函數(shù)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。(4)駐點(diǎn)將定義域分成三個(gè)子區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，+∞），表3—1給出f’(x)在子區(qū)間上符號(hào)變化情況和函數(shù)極值情況。由表3-1可知，x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，f(x)的極大值是f(0)=2x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+0-0-2極大極小3.2.2最大值、最小值及其求法

連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值只可能在以下點(diǎn)處取得；1.駐點(diǎn)；2.導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3.區(qū)間端點(diǎn).所以：只要求出以上點(diǎn)處的函數(shù)值，函數(shù)值中最大值就是函數(shù)的最大值，函數(shù)值中最小值就是函數(shù)的最小值.3.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3.3.1需求價(jià)格彈性

定義3.2設(shè)某種商品的市場(chǎng)需求量為q，價(jià)格為p，需求函數(shù)q=q(p)可導(dǎo)，則稱

為該商品的需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱為需求彈性。

當(dāng)Ep=-1(即|Ep|=1)時(shí)，稱為單位彈性，當(dāng)Ep<-1(即|Ep|>1)時(shí)，稱為富有彈性，當(dāng)-1<Ep<0(即|Ep|<1)時(shí)，稱為缺乏彈性。例2：設(shè)某商品的需求函數(shù)為q(p)=,(0<p<8)1.求需求彈性；2.討論當(dāng)價(jià)格為多少時(shí)，彈性分別為缺乏彈性、單位彈性、富有彈性？解（1）∵q’(p)=-4p,根據(jù)公式，得

（2）令Ep=-1，解得p=5，即當(dāng)價(jià)格p=5時(shí)，|Ep|=1是單位彈性；令|Ep|<1,解得0<p<5，即當(dāng)價(jià)格p滿足0<p<5時(shí)，|Ep|<1是缺乏彈性；

令|Ep|>1,解得5<p<8，即當(dāng)價(jià)格p滿足5<p<8時(shí)，|Ep|>1是富有彈性。

3.3.2邊際與邊際分析1.邊際成本若成本函數(shù)C=C(q)，則邊際成本為2.邊際收入若收入函數(shù)R=R(q)，則邊際收入為3.邊際利潤(rùn)所以，邊際利潤(rùn)L’(q)等于邊際收入R’(q)減去邊際成本C’(q)。

例6：某煤炭公司每天生產(chǎn)煤q噸的總成本函數(shù)為C(q)=2000+450q+如果每噸煤的銷售價(jià)為490元，求：1.邊際成本函數(shù)C’(q)；2.利潤(rùn)函數(shù)L（q）及邊際利潤(rùn)函數(shù)L’(q)；3.邊際利潤(rùn)為0時(shí)的產(chǎn)量。

解（1）∵C(q)=2000+450q+∴C’(q)=450+0.04q2.∵總收入函數(shù)R(q)=pq=490q∴利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)=490q–(2000+450q+)=40q-–2000邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)’(q)=40–0.04q3.當(dāng)邊際利潤(rùn)為0時(shí)，即

L’(q)=40–0.04q=0

由此可得q=1000(噸)。3.3.3經(jīng)濟(jì)分析中和最大值與最小值問(wèn)題例7：設(shè)某企業(yè)每季度生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)，總成本函數(shù)為C(q)=

其中，a>0,b＞0,c>0。求：1.使平均成本最小的產(chǎn)量；2.最小平均成本及相應(yīng)的邊際成本。

解（1）∵平均成本為

令

即2ap–b=0，得駐點(diǎn)

當(dāng)q<

時(shí)，<0；當(dāng)q>

時(shí)，>0

可知，q=

是平均成本函數(shù)的極小值點(diǎn)，因?yàn)樗俏ㄒ粯O值點(diǎn)，所以也是最小值點(diǎn)。即每季度產(chǎn)量為